UDS - UFR Physique et Ing´enierie - Lyc´ee Couffignal Licence QM2E
7 juin 2011
Bases scientifiques – Contrˆ ole continu n˚3 Correction
Enseignant : E. Laroche
1 Rejet de perturbation par correcteur PI
1. Voir sur la figure 1.
−60
−50
−40
−30
−20
−10
Magnitude (dB)
10−1 100 101 102 103
−90
−45 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figure 1 – Diagramme de Bode de H(s) 2. Voir sur la figure 2.
3. Sans correction (u = 0) et en r´egime statique (s = 0), on a y = bad. Pour une perturbation unitaire, on a donc y=b/a= 0.2.
4. On a Y(s) = H(s) (D(s) − K(s)Y(s)), ce qui donne (1 + H(s)K(s))Y(s) = H(s)D(s) d’o`u D(s)Y(s) = 1+HH(s)(s)K(s) = τ bτis
is2+τi(a+bKp)s+bKp.
5. Le correcteur a un pˆole en 0 (z´ero du num´erateur) et un z´ero en −1/τi. 6. Le syst`eme a un pˆole en −a et ne poss`ede pas de z´ero.
7. Il faut donc prendre τi = 1/a.
8. On obtient Hbf(s) = YD(s)(s) = (s+a)(s+bKbs
p). 1
u
Systme y b s+a
Correcteur tau_i.s Kp*[tau_i 1](s) Add
d 1
Figure 2 – Sch´ema-bloc du syst`eme asservi
−70
−60
−50
−40
−30
−20
Magnitude (dB)
10−1 100 101 102 103
−90
−45 0 45 90
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figure 3 – Diagramme de Bode du transfert en boucle ferm´ee
9. Les cassures des asymptotes sont situ´ees `a a= 10 rad/s etbKp = 20 rad/s. Le trac´e r´eel est donn´e sur la figure 3.
10. Grˆace `a l’effet int´egral, le gain statique est nul.
2 R´ egime transitoire ` a partir de la transform´ ee de Laplace
1. L’´equation diff´erentielle s’´ecrit v(t) = Ri(t) +Ldi(t)/dt.
2. En passant dans le domaine fr´equentiel, on obtient V(s) =RI(s) +L(sI(s)−i(0)) 3. Le signal v(t) est un ´echelon d’amplitude V. Sa TL est V(s) = V /s. On obtient
donc I(s) = i0/s+V /(s(R+Ls)) =i0/s+ (V /L)/(s(s+a)) avec a=R/L.
4. Le signal s’´ecrit sous la forme de deux ´el´ements simples, soitI(s) =A/s+B/(s+a).
Il y a diff´erentes techniques permettant de d´eterminerA=i0+V /R etB =−V /R.
5. En appliquant la TL inverse `a chacun des ´el´ements simples, on obtienti(t) =Au(t)+
Bexp(−at)u(t) o`uu(t) est l’´echelon unitaire. En simplifiant, on obtient i(t) = (i0+ V /R(1−exp(at)))u(t).
2
3 Mesure
1. Seules les composantes dex(t) `a une fr´equence inf´erieure `a la fr´equence de Shannon
´egale `a fe/2 peuvent th´eoriquement ˆetre restitu´ees.
2. Le signal `a temps continu avant ´echantillonnage et les ´echantillons obtenus `a la fr´equence fe sont repr´esent´es sur la figure 4.
3. Apr`es repliement de spectre, le signal apparait `a la fr´equence |f −fe| = 200 Hz, soit `a une p´eriode de 5 ms.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−0.5 0 0.5 1
temps (ms)
Figure 4 – Signal avant (bleu) et apr`es (rouge) ´echantillonnage
3
