ULP - IPST - Master IT 6 novembre 2007
Commande des Machines Examen de contrˆ ole continu
Enseignant : E. Laroche Dur´ee : une heure
Epreuve sans document et sans calculatrice´
A. Transform´ ee de Laplace inverse
Soit y(t) un signal dont on connaˆıt la transform´ee de Laplace : Y(s) = s+ 5
s(s+ 2)(s+ 10)
D´eterminez l’expression de y(t). Vous pourrez utiliser les formules donn´ees en annexe.
B. Transform´ ee de Laplace inverse
On consid`ere un moteur ´electrique asservi en courant. La commande du syst`eme est donc la consigne de courant. En supposant que cet asservissement de courant est parfait, on peut donc consid´erer que le couple appliqu´e est C(t) = Ku(t) o`u u(t) est la tension de commande et K est une contante.
On note J l’inertie du moteur et des parties tournantes ; le moteur subit un couple de frottement proportionnel `a la vitesse, de coefficient f. On note y(t) la vitesse de rotation du moteur qui est aussi la mesure effectu´ee sur le syst`eme. Si vous n’arrivez pas `a r´epondre `a la premi`ere question, vous pourrez r´epondre aux questions suivantes en consid´erant un syst`eme du premier ordre quelconque.
1. A partir du second principe fondamental de la dynamique, d´eterminez l’´equation diff´erentielle liant la vitesse et la tension de commande.
2. Donnez la fonction de transfert entre la commande et la mesure.
3. Donnez un mod`ele d’´etat de ce syst`eme.
4. D´eterminez la r´eponse du syst`eme `a un ´echelon unitaire. Vous utiliserez la m´ethode de votre choix.
5. En vous appuyant sur le trac´e asymptotique, repr´esentez le diagramme de Bode (gain et phase) du syst`eme.
1
Formulaire
Transform´ees de Laplace
On donne les transform´ee de Laplace des signaux suivants, o`u ue(t) est l’´echelon unitaire :
y(t) Y(s) ue(t) 1s tue(t) s12
exp(−at)ue(t) s+a1
Mod`ele d’´etat
Le mod`ele d’´etat d’un syst`eme lin´eaire s’´ecrit sous la forme :
˙
x(t) = Ax(t) +Bu(t) y(t) = Cx(t) +Du(t)
2
