Devoir de Mathématiques N

T^aleS3 7 mars 2016

Devoir de Mathématiques N

^o

11 (1h30)

1

On considère une fonctionf dérivable sur l’intervalle]− ∞; +∞[.

On donne le tableau de ses variations :

x −∞ 0 2 +∞

f^′(x) + + 0 −

f(x)

−∞

0

1 +e⁻²

1 Soitgla fonction définie sur]−∞; +∞[parg(x) =

Z ^x

0

f(t)dt.

1. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe (C) susceptible de représenterf dans le plan muni d’un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses, 2 cm sur l’axe des ordonnées).

2. a) Interpréter graphiquementg(2).

b) Montrer que06g(2)62,5.

3. a) Soitxun réel supérieur à 2.

Montrer que Z ^x

2

f(t)dt>x−2. En déduire que g(x)>x−2.

b) Déterminer la limite de la fonction gen+∞.

4. Étudier le sens de variation de la fonctiongsur l’intervalle]−∞; +∞[.

#»_ı

#»_

−6 −5 −4 −3 −2 −1 O 1 2 3 4 5 6

−2

−1 1 2

2

On considère la suite(Iⁿ)définie pournentier naturel non nul par :

In = Z 1

0

xⁿe^x2 dx.

1. a) Soitgla fonction définie parg(x) =xe^x2.

Démontrer que la fonctionGdéfinie surRparG(x) = 1

2e^x2 est une primitive surRde la fonctiong.

b) En déduire la valeur deI1.

c) Pour tout entier non définit sur Rla fonction Hn par Hn(x) =xⁿ⁺¹G(x)

Exprimer la dérivéeHn^′(x)et en déduire que, pour tout entier natureln, supérieur ou égal à 1, on a :

In+2= 1

2e−n+ 1 2 In. d) CalculerI3 etI5.

2. On considère l’algorithme suivant :

Initialisation Affecter ànla valeur 1 Affecter àula valeur 1

2e−1 Tant quen <21 2

Affecter àula valeur 1

2e−n+ 1 2 u Affecter ànla valeurn+ 2 Sortie Afficheru

Quel terme de la suite (In)obtient-on en sortie de cet algorithme ? 3. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nuln,In>0.

b) Montrer que la suite(In)est décroissante.

c) En déduire que la suite (In)est convergente. On noteℓsa limite.

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la valeur deℓ.

3

Sur le cube ci-joint, tracer la section en laissant apparaître les traits de construction ou en donnant la propriété utilisée le cas échéant du cube par le planIJ K.

A B

C D

E F

H G

I

J

K