L1 - "Calculus" - 2015/2016 - Examen du 14 juin 2016 - Session 2
Examen de Mathématiques "Calculus"
Durée: 2 heures les documents, calculatrices, téléphones, smartphones et tablettes ne sont pas autorisés
Exercice1 : On veut calculer: I = Z 1
0
x+ 1
3x2−3x+ 1dx. Soit le polynôme P = 43(3X2−3X+ 1). 1) Calculer l'expression du polynôme dérivéP0. En déduire la valeur de l'intégraleJ =
Z 1
0
2x−1
3x2−3x+ 1 dx. 2) Mettre le polynôme P sous la forme (aX+b)2+c2 aveca, b, c∈R à trouver.
3) Se servir des questions précédentes pour calculer la valeur de l'intégrale I = Z 1
0
x+ 1
3x2−3x+ 1dx. [Indication: on pourrait mettre le polynômeX+ 1 sous forme d'une expression ne dépendant que deP0].
Exercice2 : Soitf :R2 →Rdénie en chaque (x, y)∈R2 par f(x, y) = x2y−xy2. 1) Calculer les dérivées partielles premières ∂f
∂x,∂f
∂y de f en chaque point (x, y)∈R2.
2) Vérier que le pointM(1,1,0)∈R3 appartient au graphe de f et donner l'équation du plan tangent au graphe en ce point.
3) Montrer que le seul point critique def est(0,0). Calculer la valeur de f en ce point.
4) Montrer que le point critique (0,0) est point de selle pour f.
[Indication: on pourrait étudier les variations de la restriction de f à la2eme bissectrice dansR2, à savoir x7→f(x,−x)autour de x= 0].
5) Peut-on dire quef admet un extremum (minimum ou maximum) global surR2?
Exercice3 : On veut trouver l'ensemble des fonctions y :R → R de classe C1 qui vérient l'équation diérentielle du premier ordre
(E) : y0−2y=excos(2x).
1) Soit (E0) : y0−2y = 0 l'équation sans second membre attachée à (E). Trouver l'ensemble S0 des solutions y0 de(E0).
2) Calculer les primitives de la fonction f :R→R, f(x) = e−xcos(2x). [Indication: IPP]
3) Trouver une solution particulière de l'équation(E). [Indication: variation de la constante]
4) En déduire l'ensemble S des solutions de (E).
Exercice4 : On se propose de calculer l'intégraleI = Z π/2
0
(sinx)·ln(sin2x+ 1)dx. 1) Soit R(x) =f(x)dx où f(x) = cos2x
2−cos2xsinx.
1.a) Calculer R(−x),R(π+x),R(π−x) et les comparer à R(x).
1.b) Expliquer pourquoi le plus ecace changement de variables pour le calcul de l'intégrale J =
Z π/2
0
f(x)dx esty = cosx. [Indication: règles de Bioche]
1.c) Calculer l'intégrale K = Z 1
0
dy 2−y2.
[Indication: décomposition en éléments simples de la fraction]
1.d) En déduire la valeur de J.
2) Montrer queI = 2J. Déduire ainsi la valeur de I. [Indication: IPP]
