Exercices - Analyse vectorielle
: ´enonc´eAnalyse vectorielle
Exercice 1 - Calculs effectifs - L2/Math Sup - ?
1. D´eterminer les coordonn´ees degrad f o`u f est le champ scalaire suivant : (a) f(x, y, z) =xy2−yz2.
(b) f(x, y, z) =xyzsin(xy).
2. D´eterminer divf o`u f est le champ de vecteurs suivant : (a) f(x, y, z) = (2x2y,2xy2, xy).
(b) f(x, y, z) = (sin(xy),0,cos(xz)).
(c) f(x, y, z) = (x(2y+z),−y(x+z), z(x−2y)).
Exercice 2 - Passage en coordonn´ees polaires- L2/Math Sp´e - ?
Soit f :U →Rune fonction de classe C1 d´efinie sur un ouvertU de R2. Calculer ∂f∂x2+ ∂f
∂y
2
en coordonn´ees polaires.
Exercice 3 - Laplacien en coordonn´ees polaires- L2/Math Sup - ?
On rappelle que si F est une fonction de classe C2 de R2 dans R, son laplacien est d´efini par :
∆F = ∂2F
∂x2 +∂2F
∂y2.
On fait le changement de variables en coordonn´ees polaires x = rcosθ et y =rsinθ. Donner la nouvelle expression du laplacien par rapport aux variablesr etθ(c’est-`a-dire poserf(r, θ) = F(rcosθ, rsinθ) et exprimer ∆F en fonction de f,r,θ et des d´eriv´ees partielles def).
Exercice 4 - Potentiel scalaire- L2/Math Sup - ?
On rappelle qu’on dit qu’un champ de vecteursF d´erive d’un potentiel scalaire s’il existe un champ scalairef tel queF =grad(f). Montrer que les champs suivants d´erivent d’un potentiel scalaire, et d´eterminer tous les potentiels scalaires dont ils d´erivent.
1. F(x, y, z) = (2xy+z3, x2,3xz2), d´efini sur R3. 2. F(x, y) =−(x−y)y 2,(x−y)x 2
, d´efini sur U ={(x, y)∈R2, x > y}.
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