SUITES (introduction)
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Objectif 2 (45 min) :
Savoir conjecturer : ex.6 à 10
Exercice 6 : M. Mystherbe est fier de son verger.
La première année, il a planté 12 pommiers. La deuxième année, il en a planté 20. La troisième année, il en a planté 30. La quatrième année, il en a planté 42.
En continuant selon le même rythme, combien M. Mystherbe a-t-il planté de pommiers la 10e année ? On peut représenter les nombres donnés par un rectangle de points.
On pose 𝑢" le nombre de pommiers plantés la 𝑛$ année.
1. Que vaut 𝑢% ?
2. Conjecturer l’expression de 𝑢" en fonction de 𝑛.
3. Répondre au problème posé.
Exercice 7 : on considère la suite des nombres entiers impairs : 1, 3, 5, 7, 9 … On note 𝑢, le premier terme de la liste, 𝑢% le second, 𝑢- le troisième, etc.…
1) Donner les valeurs de 𝑢., 𝑢/ et 𝑢%0.
2) Quel lien existe-t-il entre 𝑢"1% et 𝑢", pour tout 𝑛 ∈ ℕ ? Autrement dit : quelle formule de récurrence définit cette suite ?
3) a) Conjecturer l’expression de 𝑢" en fonction de 𝑛.
b) En déduire la valeur de 𝑢%,0. Ex.6
Ex.7
Ex.8
Ex.10 Ex.9
Exercice 8 : la matière vivante retient dans ses tissus du carbone 14. Après la mort, le carbone 14 radioactif se désintègre à raison de 1,2% tous les 100 ans. C'est en mesurant cette désintégration que les archéologues procèdent à des datations. Un échantillon de matière contient 5 grammes de carbone 14.
On définit la suite (𝑢") donnant la quantité de carbone 14, en grammes, de cet échantillon au bout de n siècles.
1. Que vaut 𝑢, ? 2. Calculer 𝑢% et 𝑢-.
3. Exprimer 𝑢"1% en fonction de 𝑢".
4. Conjecturer la formule explicite de la suite (𝑢").
Exercice 9 : on place 200 € sur un compte en banque qui propose 3% d’intérêts par an. Notons 𝑢" la somme d’argent sur le compte la 𝑛e année.
a) Que vaut 𝑢, ?
b) Compléter : 3% = ….: = 0,……
c) A quel coefficient multiplicateur 𝑐 correspond une hausse de 3% ? d) En déduire l’expression de 𝑢"1% en fonction de 𝑢".
Exercice 10 : on considère la suite (𝑢") définie pour tout entier naturel non-nul 𝑛 par :
? 𝑢, = 1
𝑛 × 𝑢" = (𝑛 + 1) × 𝑢"B%+ 1 1) Calculer 𝑢%, 𝑢- et 𝑢:.
2) Quelle conjecture peut-on émettre sur la forme explicite de cette suite ? Remarque : ce résultat conjecturé pourra se démontrer en Terminale.
3) Pour confirmer cette conjecture, on calcule à l’aide d’un tableur les premiers termes de cette suite.
Quelle formule faut-il entrer en C2 et étirer vers la droite pour calculer des termes de la suite ?
