Chap. n°2 : Nombres premiersObjectifs :

(1)

Chap. n°2 : Nombres premiers Objectifs :

Niveau a eca n

C2.a ¹ Savoir décomposer un nombre en facteurs premiers.

C2.b ¹ Savoir détecter si un nombre est premier.

C2.c 1 Savoir déterminer tous les diviseurs d'un nombre et le

nombre de diviseurs de ce nombre.

Activité d'approche n°1 : Crible d'Eratosthène

Définition

On dit qu'un nombre p est premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui- même.

1. Zéro est-il un nombre premier ? Justifier.

...

2. Un est-il premier ? Justifier.

...

3. Construire ci-dessous un tableau de 9 colonnes sur 10 lignes, et remplir les cases de gauche à droite et de haut en bas avec la liste des entiers naturels. Rayer les multiples de 2, puis les multiples de 3, etc.

...…

(2)

4. À partir de quand aurait-on pu s'arrêter ?

...…

5. Dresser la liste des nombres premiers inférieurs à 150.

...

...…

6. Y a-t-il des nombres premiers impairs consécutifs ?

...…

7. a. Dans le tableau ci-dessus, quelle est la plus grande séquence sans nombre premier ?

...

b. 24=1×2×3×4 . Expliquer pourquoi, en ce cas, 24+2 , 24+3, et 24+4 ne sont pas premiers.

...

c. De manière général, notons n! = 1×2×3×4×...×n . Montrer que tous les nombres entiers compris entre n!+2 et n! + n ne sont pas premiers.

...

Cours n°1

Chapitre n°2 : les nombres premiers

I) Nombres premiers Définition n°1

Un nombre entier naturel p est premier s'il a exactement

…... , …... et

…...

Par opposition, on dit qu'un nombre qui n'est pas premier est composé.

Remarques

0 …... car

…...

1 …... car

…...

Les nombres premiers inférieurs à 50 sont :

…...

Propriété n°1

Soit n un nombre entier strictement supérieur à 1 . Alors le plus petit diviseur de n,

(3)

autre que 1, est …...

Démonstration : Par l'absurde :

...

... ...

...

Exemple n°1

Décomposer le nombre 50 en facteurs premiers :

...

Se tester – Test n°1 Ex.1

Décomposer le nombre $/t{4;5;6;7;8}0$ en facteurs premiers :

...

Interrogation n°1 Objectifs :

C2.a_Niv1 :Savoir décomposer un nombre en facteurs premiers.

Exercice n°1 Ex.25 p.27 Exercice n°2 Ex.28 p.27 Exercice n°3**

Ex.86 p.30 Exercice n°4**

Ex.87 p.30

Cours n°2

Propriété n°2

(4)

Tout nombre composé n admet un diviseur premier au plus égal à √ ⁿ ^.

Démonstration

On utilise la propriété précédente : comme n est composé, il existe un plus petit diviseur premier d de n , distinct de n .

...

... ...

...

... ...

...

Conséquence :

Si un nombre n ne possède pas de diviseur autre que 1 entre 1 et √ ⁿ ^{, alors,}

…...

Exemple n°2

97 est-il un nombre premier ? Justifier.

...

Propriété n°3

Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration :

Par l'absurde et en utilisant la propriété n°2 :

... ...

... ... ...

... ...

Se tester – Test n°2 Ex.1

$/t{127;131;137;139;149;151;157;163;167;129;133;141;159;169}$ est-il un nombre premier ? Justifier.

...

(5)

...

Interrogation n°2 Objectifs :

C3.b_Niv1 :Savoir détecter si un nombre est premier.

Exercice n°5 Ex.32 p.27 Exercice n°6 Ex.81 p.29 Exercice n°7 Ex.82 p.29

Cours n°3

II) Décomposition en facteurs premiers

Propriété n°4 (Existence d'une décomposition) Soit n un nombre entier naturel.

Alors il existe un nombre fini de nombres premiers p 1 , p 2 , p 3 ,..., p k distincts tels que

n = ... où  1 ,  2 ,  3 , …  k sont des entiers non nuls.

Démonstration : Par l'absurde :

...

Supposons que la propriété ne soit pas vraie pour tous les entiers, et soit n le premier entier qui ne soit ni premier, ni décomposable en produit de nombres premiers .

...

Exemple n°3:

Décomposer 140 en facteurs premiers.

...

Propriété n°5 (Unicité d'une décomposition) - admise

Soit n un nombre entier naturel. Alors la décomposition de n en facteur premiers

p 1 

₁

× p 2 ^

²

×p 3 

₃

× …. …. × p k ^

^k

où  1 ,  2 ,  3 , …  k sont des entiers non nuls, et où les p i ,

1i  k sont des nombres premiers tous distincts, est …...

(6)

Propriété n°6 (diviseurs)

Soit n un nombre entier naturel et p 1 

₁

× p 2 

₂

×p 3 

₃

× …. …. × p m ^

^m

sa décomposition en facteurs premiers. Alors tout produit partiel p i

1

i

1

× p i

2

i

2

×p i

3

i

3

× …. …. × p i

k

i

k

de cette décomposition (les  i

j

étant tous inférieurs ou égaux aux  i

j

) ...

...

Exemple n°4

En utilisant la décomposition en facteurs premiers, donner tous les diviseurs de 140 . ...

...

Propriété n°7 (Nombre de diviseurs)

Soit n un nombre entier naturel et p 1 

₁

× p 2 ^

²

×p 3 

₃

× …. …. × p m ^

^m

sa décomposition en facteurs premiers. Alors le nombre de diviseurs de n est

…...

Exemple n°5

Soit a un nombre entier tel que a=2 ⁵ ×3 ⁿ . Donner le nombre de diviseurs de a .

...

Se tester Test n°3 Ex.1 1. Décomposer

/t{110;120;130;140;150;160;170;180;190;210;220;230;240;250;260;270;280;290;310;320;

330;340;350;360;370;380;390} en facteurs premiers.

...

...…

2. En utilisant la décomposition en facteurs premiers, donner tous les diviseurs positifs de ce nombre :

...

(7)

...

Ex.2

Soit a un nombre entier tel que a=2 ^/t{3;4} ×3 ⁿ . Donner le nombre de diviseurs de a .

...

...…

Interrogation n°3 Objectifs :

C3.c :Savoir déterminer tous les diviseurs d'un nombre et le nombre de diviseurs de ce nombre.

Exercice n°8 Ex.30 p.27 Exercice n°9 Ex.99 p.30

Exercice n°10*

Ex.101 p.31 Exercice n°11**

Sujet E p.38

Exercice n°12***

On considère la suite (u n ) d'entiers naturels définie par u 0 = 1 et, pour tout entier n

supérieur à 0 , u n+1 = 10 × u n + 21 . 1. Calculer u 1 , u 2 et u 3 .

2.a. Démontrer, pour tout entier naturel n , 3u n = 10 ⁿ⁺¹ – 7 . b. En déduire l'écriture décimale de u n .

3. Montrer que u 2 est un nombre premier.

(8)

4. Montrer que, pour tout entier naturel n , u n n'est ni divisible par 2 , ni divisible par 3 , ni divisible par 5 .

5.a. Démontrer que, pour tout entier naturel n , 3u n ≡ 4 –(–1) ⁿ [11]

b. En déduire que, pour tout entier naturel n , u n n'est pas divisible par 11 . 6.a. Donner le reste de la division division euclidienne de 10 ⁴ par 17 . En déduire que

10 ¹⁶ ≡ 1 [17] .

b. En déduire que, pour tout entier naturel k , 3u 16k+8 est divisible par 17 , puis, par l'absurde, que u 16k+8 est divisible par 17 .

Exercice n°13**

Pour tout entier naturel n , on considère le nombre N = n ⁴ + 4 . On se demande s'il existe des valeurs de n pour lesquels N est premier.

1. En remarquant que n ⁴ + 4 = n ⁴ + 4n ² + 4 – 4n ² , factoriser n ⁴ + 4 .

2. En déduire que N est premier si et seulement si n=1 .

(9)

Indices et résultats

Test n°1 : $/si{#1=4;2 ^3 × 5;/si{#1=5;2 × 5^2;/si{#1=6;2^2 × 3 × 5;/si{#1=7;2 × 5 × 7;/si{#1=8;2 ^4 × 5;2 × 3^2 × 5}}}}}$

Exercice n°1 (Ex.25 p.27) : 113 et 227 sont premiers. Les autres ne le sont pas.

Exercice n°2 (Ex.28 p.27) : 45 = 3 ² ×5 ; 1400 = 2 ³ ×5 ² ×7 ; 735 = 3 × 5 × 7 ² .

Exercice n°3 (Ex.86 p.30) : 1. différencier n=2** et n≠2. Si n est premier, n n'est pas pair. 2.

Non. 3. Non.

Exercice n°4 (Ex.87 p.30) : 2. Les nombres premiers sont de la forme 6q+1 ou 6q+5. 3.**

Distinguer le cas 6q+1 et le cas 6q+5.

Test n°2 : /si{#2=127|#2=131|#2=137|#2=139|#2=149|#2=151|#2=157|#2=163|

#2=167;Oui;Non}

Exercice n°5 (Ex.32 p.27) : a : 24 ; b : 8.

Exercice n°6 (Ex.81 p.29) : Diviser 1789 par chaque entier de la liste.

Exercice n°7 (Ex.82 p.29) : 1. Factoriser f. 2. Penser aux entiers négatifs.

Test n°3 :

Exercice n°8 (Ex.30 p.27) : et 130 17 Exercice n°9 (Ex.99 p.30) : 3696 .

**Exercice n°10* (Ex.101 p.31) : p** ¹⁴ ou p ² ×q ⁴ , p et q étant premiers.

Exercice n°11 (Sujet E p.38) : A.2. 17×37 B.1. (1;5;5),(5;1;5),(-1;-5;5),(-5;-1;5) B.2. n** ⁴ +4. B.3.

Montrer que les deux facteurs sont strictement plus grands que 1.

Exercice n°12***

1. u

0

=1, u

1

=31, u

2

=331, u

3

=3331. 2.b. 333....31 (le nombre de 3 est n). 6.a. 14.

Exercice n°13**

1. n

⁴

+ 4 =(n²+2-2n)(n²+2+2n).

(10)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …

Chap. n°2 : Nombres premiersObjectifs :