3.4 LOIS DISCRÈTE 2

cours 15

3.4 LOIS DISCRÈTE 2

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

X ⇠ B(n; p) Binomiale

Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

✓n k

◆

p^kq^{n k} X ⇠ B(n; p)

Binomiale Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

np

✓n k

◆

p^kq^{n k} X ⇠ B(n; p)

Binomiale Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

np npq

✓n k

◆

p^kq^{n k} X ⇠ B(n; p)

Binomiale Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

np npq

✓n k

◆

p^kq^{n k} X ⇠ B(n; p)

Binomiale

X ⇠ G(p) Géométrique

Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

np npq

✓n k

◆

p^kq^{n k}

q^{k 1}p X ⇠ B(n; p)

Binomiale

X ⇠ G(p) Géométrique

Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

np npq

✓n k

◆

p^kq^{n k}

q^{k 1}p 1

p X ⇠ B(n; p)

Binomiale

X ⇠ G(p) Géométrique

Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

np npq

✓n k

◆

p^kq^{n k}

q^{k 1}p 1

p

1 p p² X ⇠ B(n; p)

Binomiale

X ⇠ G(p) Géométrique

Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

np npq

✓n k

◆

p^kq^{n k}

q^{k 1}p 1

p

1 p p² X ⇠ B(n; p)

Binomiale

X ⇠ G(p) Géométrique

X ⇠ BN (r, p) Binomiale négative

Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

np npq

✓n k

◆

p^kq^{n k}

q^{k 1}p 1

p

1 p p²

✓k 1 r 1

◆

p^rq^{k r} X ⇠ B(n; p)

Binomiale

X ⇠ G(p) Géométrique

X ⇠ BN (r, p) Binomiale négative

Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

np npq

✓n k

◆

p^kq^{n k}

q^{k 1}p 1

p

1 p p²

r p

✓k 1 r 1

◆

p^rq^{k r} X ⇠ B(n; p)

Binomiale

X ⇠ G(p) Géométrique

X ⇠ BN (r, p) Binomiale négative

Loi

Au dernier cours, nous avons vu

E(X) Var(X) P (X = k)

np npq

✓n k

◆

p^kq^{n k}

q^{k 1}p 1

p

1 p p²

r(1 p) p²

r p

✓k 1 r 1

◆

p^rq^{k r} X ⇠ B(n; p)

Binomiale

X ⇠ G(p) Géométrique

X ⇠ BN (r, p) Binomiale négative

Loi

Aujourd’hui, nous allons voir

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

✓

Loi de poisson

Une variable aléatoire pouvant prendre pour valeurs

Loi de poisson

Une variable aléatoire pouvant prendre pour valeurs 0, 1, 2, 3, …

Loi de poisson

Une variable aléatoire pouvant prendre pour valeurs 0, 1, 2, 3, …

avec paramètre

Loi de poisson

P (X = k) =

k

k! e

Une variable aléatoire pouvant prendre pour valeurs 0, 1, 2, 3, …

avec paramètre

Loi de poisson

P (X = k) =

k

k! e

Une variable aléatoire pouvant prendre pour valeurs 0, 1, 2, 3, …

avec paramètre

= p(k)

Loi de poisson

P (X = k) =

k

k! e

Une variable aléatoire pouvant prendre pour valeurs 0, 1, 2, 3, …

avec paramètre

est dite loi de Poisson

= p(k)

Loi de poisson

P (X = k) =

k

k! e

Une variable aléatoire pouvant prendre pour valeurs 0, 1, 2, 3, …

avec paramètre

est dite loi de Poisson

= p(k)

X ⇠ P ( )

On peut vérifier que cette loi est bien une loi de probabilité

X1 k=0

P (X = k) =

X1 k=0

k

k! e

On peut vérifier que cette loi est bien une loi de probabilité

X1 k=0

P (X = k) =

X1 k=0

k

k! e

= e

X1 k=0

k

k!

On peut vérifier que cette loi est bien une loi de probabilité

X1 k=0

P (X = k) =

X1 k=0

k

k! e

= e

X1 k=0

k

k!

On peut vérifier que cette loi est bien une loi de probabilité

X1 k=0

P (X = k) =

X1 k=0

k

k! e

= e

X1 k=0

k

k!

On peut vérifier que cette loi est bien une loi de probabilité

e^x =

X1 k=0

x^k k!

X1 k=0

P (X = k) =

X1 k=0

k

k! e

= e

X1 k=0

k

k!

On peut vérifier que cette loi est bien une loi de probabilité

e^x =

X1 k=0

x^k k!

La série de Taylor de e^x

X1 k=0

P (X = k) =

X1 k=0

k

k! e

= e

X1 k=0

k

k!

On peut vérifier que cette loi est bien une loi de probabilité

e^x =

X1 k=0

x^k k!

La série de Taylor de e^x

X1 k=0

P (X = k) =

X1 k=0

k

k! e

= e

X1 k=0

k

k!

= e e

On peut vérifier que cette loi est bien une loi de probabilité

e^x =

X1 k=0

x^k k!

La série de Taylor de e^x

X1 k=0

P (X = k) =

X1 k=0

k

k! e

= e

X1 k=0

k

k!

= e e = 1

On peut vérifier que cette loi est bien une loi de probabilité

e^x =

X1 k=0

x^k k!

La série de Taylor de e^x

Un des intérêts qu’on porte à la loi de Poisson est dû au fait que dans certaines situations elle permet d’obtenir une approximation de la loi

binomiale.

Un des intérêts qu’on porte à la loi de Poisson est dû au fait que dans certaines situations elle permet d’obtenir une approximation de la loi

binomiale.

Soit _{X ⇠ B(n, p)}

Un des intérêts qu’on porte à la loi de Poisson est dû au fait que dans certaines situations elle permet d’obtenir une approximation de la loi

binomiale.

Soit _{X ⇠ B(n, p)}

tel que n est grand et p est petit

Un des intérêts qu’on porte à la loi de Poisson est dû au fait que dans certaines situations elle permet d’obtenir une approximation de la loi

binomiale.

Soit _{X ⇠ B(n, p)}

tel que n est grand et p est petit de telle sorte que soit moyen.np

Un des intérêts qu’on porte à la loi de Poisson est dû au fait que dans certaines situations elle permet d’obtenir une approximation de la loi

binomiale.

Soit _{X ⇠ B(n, p)}

tel que n est grand et p est petit de telle sorte que soit moyen.np

par exemple

Un des intérêts qu’on porte à la loi de Poisson est dû au fait que dans certaines situations elle permet d’obtenir une approximation de la loi

binomiale.

Soit _{X ⇠ B(n, p)}

tel que n est grand et p est petit de telle sorte que soit moyen.np

par exemple n = 100

Un des intérêts qu’on porte à la loi de Poisson est dû au fait que dans certaines situations elle permet d’obtenir une approximation de la loi

binomiale.

Soit _{X ⇠ B(n, p)}

tel que n est grand et p est petit de telle sorte que soit moyen.np

par exemple n = 100 p = 1

25

Un des intérêts qu’on porte à la loi de Poisson est dû au fait que dans certaines situations elle permet d’obtenir une approximation de la loi

binomiale.

Soit _{X ⇠ B(n, p)}

tel que n est grand et p est petit de telle sorte que soit moyen.np

par exemple n = 100 p = 1

25 np = 4

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np =

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

=

✓n k

◆

p^k(1 p)^{n k} P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n!

k!(n k)!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

=

✓n k

◆

p^k(1 p)^{n k} P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n!

k!(n k)!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

=

✓n k

◆

p^k(1 p)^{n k} P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n!

k!(n k)!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

=

✓n k

◆

p^k(1 p)^{n k} P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n!

k!(n k)!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

=

✓n k

◆

p^k(1 p)^{n k} P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n!

k!(n k)!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

= n(n 1) · · · (n k + 1)

k!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

=

✓n k

◆

p^k(1 p)^{n k} P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n!

k!(n k)!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

= n(n 1) · · · (n k + 1)

k!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

=

✓n k

◆

p^k(1 p)^{n k} P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n!

k!(n k)!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

= n(n 1) · · · (n k + 1)

k!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

= n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

✓

1 n

◆n k

=

✓n k

◆

p^k(1 p)^{n k} P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n!

k!(n k)!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

= n(n 1) · · · (n k + 1)

k!

✓ n

◆k ✓

1 n

◆n k

= n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

✓

1 n

◆n k

=

✓n k

◆

p^k(1 p)^{n k} P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

✓

1 n

◆n k

P (X = k)

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

✓

1 n

◆n k

P (X = k)

= n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

✓

1 n

◆n k

P (X = k)

= n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

nlim!1

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k = 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

= n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

✓

1 n

◆n k

P (X = k)

= n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

nlim!1

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k = 1

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

nlim!1

✓

1 n

◆n

= e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

nlim!1

✓

1 n

◆n

= e

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

nlim!1

✓

1 n

◆n

= e

nlim!1

✓

1 n

◆k

= 1

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

nlim!1

✓

1 n

◆n

= e

nlim!1

✓

1 n

◆k

= 1

✓

1 n

◆k

⇡ 1

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

✓

1 n

◆k

⇡ 1

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

✓

1 n

◆k

⇡ 1

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

✓

1 n

◆k

⇡ 1

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

✓

1 n

◆k

⇡ 1

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

✓

1 n

◆k

⇡ 1

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

⇡

k

k! e

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

✓

1 n

◆k

⇡ 1

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

⇡

k

k! e

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

✓

1 n

◆k

⇡ 1

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

⇡

k

k! e

Considérons _{X ⇠ B(n, p)}

avec les conditions précédentes et posons np = =) p =

n

P (X = k) = n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k

k

k!

1 _n ⁿ 1 _n ^k

✓

1 n

◆k

⇡ 1

✓

1 n

◆n

⇡ e

n(n 1) · · · (n k + 1)

n^k ⇡ 1

⇡

k

k! e

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k!

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k!

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

t = k 1

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

t = k 1

k = 1 =) t = 0

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

= e

X1 t=0

t

t!

t = k 1

k = 1 =) t = 0

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

= e

X1 t=0

t

t!

t = k 1

k = 1 =) t = 0

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

= e

X1 t=0

t

t!

t = k 1

k = 1 =) t = 0

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

= e

X1 t=0

t

t!

t = k 1

k = 1 =) t = 0

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

= e

X1 t=0

t

t!

t = k 1

k = 1 =) t = 0

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

= e

X1 t=0

t

t! = e e

t = k 1

k = 1 =) t = 0

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

= e

X1 t=0

t

t! = e e

t = k 1

k = 1 =) t = 0

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

X ⇠ P ( )

= e

X1 k=0

k

k

k! = e

X1 k=1

k

k

k!

= e

X1 k=1

k 1

(k 1)! = e

X1 k=1

k 1

(k 1)!

= e

X1 t=0

t

t! = e e =

t = k 1

k = 1 =) t = 0

=

X1 k=0

k

k

k! e E(X)

p(k) =

k

k! e

E(X) =

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)² E(X)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X) = E(X²) ²

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X) = E(X²) ²

E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X) = E(X²) ²

=

X1 k=0

k²

k

k! e E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X) = E(X²) ²

=

X1 k=0

k²

k

k! e = e

X1 k=1

k

k 1

(k 1)!

E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X) = E(X²) ²

=

X1 k=0

k²

k

k! e = e

X1 k=1

k

k 1

(k 1)!

E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X) = E(X²) ²

=

X1 k=0

k²

k

k! e = e

X1 k=1

k

k 1

(k 1)!

= e

X1 k=1

(k 1 + 1)

k 1

(k 1)!

E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X) = E(X²) ²

=

X1 k=0

k²

k

k! e = e

X1 k=1

k

k 1

(k 1)!

= e

X1 k=1

(k 1 + 1)

k 1

(k 1)!

= e

X1 k=1



(k 1)

k 1

(k 1)! +

k 1

(k 1)!

E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X) = E(X²) ²

=

X1 k=0

k²

k

k! e = e

X1 k=1

k

k 1

(k 1)!

= e

X1 k=1

(k 1 + 1)

k 1

(k 1)!

= e

X1 k=1



(k 1)

k 1

(k 1)! +

k 1

(k 1)!

E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X) = E(X²) ²

=

X1 k=0

k²

k

k! e = e

X1 k=1

k

k 1

(k 1)!

= e

X1 k=1

(k 1 + 1)

k 1

(k 1)!

= e

X1 k=1



(k 1)

k 1

(k 1)! +

k 1

(k 1)!

E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

= Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X) = E(X²) ²

=

X1 k=0

k²

k

k! e = e

X1 k=1

k

k 1

(k 1)!

= e

X1 k=1

(k 1 + 1)

k 1

(k 1)!

= e

X1 k=1



(k 1)

k 1

(k 1)! +

k 1

(k 1)!

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! +

X1 k=1

k 1

(k 1)!

# E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

E(X) =

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! +

X1 k=1

k 1

(k 1)!

# E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ²

E(X) =

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! +

X1 k=1

k 1

(k 1)!

#

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

# E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ²

E(X) =

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! +

X1 k=1

k 1

(k 1)!

#

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

# E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ²

E(X) =

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! +

X1 k=1

k 1

(k 1)!

#

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

#

= e

" ₁ X

k=2

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

# E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ²

E(X) =

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! +

X1 k=1

k 1

(k 1)!

#

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

#

= e

" ₁ X

k=2

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

# E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ²

E(X) =

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! +

X1 k=1

k 1

(k 1)!

#

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

#

= e

" ₁ X

k=2

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

# E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ²

E(X) =

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! +

X1 k=1

k 1

(k 1)!

#

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

#

= e

" ₁ X

k=2

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

#

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

# E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ²

E(X) =

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! +

X1 k=1

k 1

(k 1)!

#

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

#

= e

" ₁ X

k=2

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

#

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

# E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ²

E(X) =

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! +

X1 k=1

k 1

(k 1)!

#

= e

" ₁ X

k=1

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

#

= e

" ₁ X

k=2

(k 1)

k 1

(k 1)! + e

#

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

# E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ²

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

# E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ²

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

# E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

#

= e

" ₁ X

t=0

t

t! + e

# E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

#

= e

" ₁ X

t=0

t

t! + e

# E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

#

= e

" ₁ X

t=0

t

t! + e

# E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

#

= e

" ₁ X

t=0

t

t! + e

# E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

#

= e

" ₁ X

t=0

t

t! + e

#

= e ⇥

e + e ⇤ E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

#

= e

" ₁ X

t=0

t

t! + e

#

= e ⇥

e + e ⇤ E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

#

= e

" ₁ X

t=0

t

t! + e

#

= e ⇥

e + e ⇤

= e e [ + 1]

E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

#

= e

" ₁ X

t=0

t

t! + e

#

= e ⇥

e + e ⇤

= e e [ + 1]

E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

#

= e

" ₁ X

t=0

t

t! + e

#

= e ⇥

e + e ⇤

= e e [ + 1]

= [ + 1]

E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

E(X) =

= e

" ₁ X

k=2

k 2

(k 2)! + e

#

= e

" ₁ X

t=0

t

t! + e

#

= e ⇥

e + e ⇤

= e e [ + 1]

= [ + 1] = ² + E(X²)

=

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²) ² t = k 2

=

Var(X) = E(X²) E(X)² E(X)

= E(X²) ²

= ² + E(X²)

X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

=

Var(X) = E(X²) E(X)² E(X)

= E(X²) ²

= ² + E(X²)

= ² + ² X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

=

Var(X) = E(X²) E(X)² E(X)

= E(X²) ²

= ² + E(X²)

= ² + ² X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

=

Var(X) = E(X²) E(X)² E(X)

= E(X²) ²

= ² + E(X²)

= ² + ² X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

=

Var(X) = E(X²) E(X)² E(X)

= E(X²) ²

= ² + E(X²)

= ² + ² X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

=

Var(X) = E(X²) E(X)² E(X)

= E(X²) ²

= ² + E(X²)

= ² + ²

= X ⇠ P ( ) p(k) =

k

k! e

Voici quelques exemples de variable aléatoire qui suivent une loi de Poisson

Voici quelques exemples de variable aléatoire qui suivent une loi de Poisson

• Le nombre de coquilles par page d’un livre.

Voici quelques exemples de variable aléatoire qui suivent une loi de Poisson

• Le nombre de coquilles par page d’un livre.

• Le nombre d’individus dépassant l’âge de100 ans dans une ville.

Voici quelques exemples de variable aléatoire qui suivent une loi de Poisson

• Le nombre de coquilles par page d’un livre.

• Le nombre d’individus dépassant l’âge de100 ans dans une ville.

• Le nombre de maisons vendu par un agent d’immeuble par jour.

Voici quelques exemples de variable aléatoire qui suivent une loi de Poisson

• Le nombre de coquilles par page d’un livre.

• Le nombre d’individus dépassant l’âge de100 ans dans une ville.

• Le nombre de maisons vendu par un agent d’immeuble par jour.

• Le nombre de particules alpha émis par un élément radioactif par seconde

Voici quelques exemples de variable aléatoire qui suivent une loi de Poisson

• Le nombre de coquilles par page d’un livre.

• Le nombre d’individus dépassant l’âge de100 ans dans une ville.

• Le nombre de maisons vendu par un agent d’immeuble par jour.

• Le nombre de particules alpha émis par un élément radioactif par seconde

• Le nombre de postes devenu vacant dans une école par an.

Voici quelques exemples de variable aléatoire qui suivent une loi de Poisson

• Le nombre de coquilles par page d’un livre.

• Le nombre d’individus dépassant l’âge de100 ans dans une ville.

• Le nombre de maisons vendu par un agent d’immeuble par jour.

• Le nombre de particules alpha émis par un élément radioactif par seconde

• Le nombre de postes devenu vacant dans une école par an.

Dans ces cas on utilise pour la valeur moyenne

Exemple

moyenne 2,3 particules par seconde par gramme.

Quelle est la probabilité qu’au plus 3 particules soient émises?

↵

↵

Exemple

moyenne 2,3 particules par seconde par gramme.

Quelle est la probabilité qu’au plus 3 particules soient émises?

↵

↵ Ici le nombre d’atomes par gramme est grand n

Exemple

moyenne 2,3 particules par seconde par gramme.

Quelle est la probabilité qu’au plus 3 particules soient émises?

↵

↵ Ici le nombre d’atomes par gramme est grand n

et la probabilité qu’un atome se désintègre est petite. ^{p = 2, 3} n

Exemple

moyenne 2,3 particules par seconde par gramme.

Quelle est la probabilité qu’au plus 3 particules soient émises?

↵

↵ Ici le nombre d’atomes par gramme est grand n

et la probabilité qu’un atome se désintègre est petite. ^{p = 2, 3} n

= 2, 3

Exemple

moyenne 2,3 particules par seconde par gramme.

Quelle est la probabilité qu’au plus 3 particules soient émises?

↵

↵ Ici le nombre d’atomes par gramme est grand n

et la probabilité qu’un atome se désintègre est petite. ^{p = 2, 3} n

= 2, 3 X ⇠ P (2, 3)