3 Ψ - Φ enfonctiondel’inclinaison β •Illustrerl’idéed’unrotorradialetlestrianglesdevitesses•Décrirelechoixpourlescoefficientsdechargeetdedébit•Regarderl’équationd’Eulerenmoduledevitesses•Présenterleconceptdeglissement•Regarderdesformulesde

3

• Illustrer l’idée d’un rotor radial et les triangles de vitesses

• Décrire le choix pour les coefficients de charge et de débit

• Regarder l’équation d’Euler en module de vitesses

• Présenter le concept de glissement

• Regarder des formules de Ψ - Φ en fonction de l’inclinaison β

❶

❷

Diffuseur

D_0s D_0i D₂ b

C W

U

F _m

F _x

β

Ω θ

r x

Ligne de courant

W

F  _u

C_u C_m

r

θ

ligne de courant

P

W

U C

C vitesse absolue de l’écoulement W vitesse relative de l’écoulement U vitesse périphérique du rotor

C_u, C_m, C_x, composante tangentielle, radiale et axiale de la vitesse absolue du fluide

W_u, W_m, W_x, composante tangentielle, radiale et axiale de la vitesse relative du fluide

U

UU

W C

R₁

R₂

U₁

W ₁

U₂

W₂ C₁

Ω

C ₂

W_i : vitesse relative U_i: vitesse tangentielle C_i :vitesse absolue

C_i = U_i + W_i

Coefficient de charge

2 2

W

e

Ψ = U

Coefficient de débit

2 2

c

m

Φ = U

2 2 2

2 2

2 cos 2

= + −

= + −

_u

w c u uc

c u uc

α

W C

β α

C_m

W_u U C_u

2u 2 1u 1 t

c U c U

H g

= −

Pour les machines hydrauliques on introduit la constante gravitationnelle g dans le travail spécifique pour obtenir une quantité en m ,notamment

2 2 2

( ) / 2

= + −

c u

u

c u w

2 2

2 1

2

− =

u u

g

Tête due à la variation de la vitesse périphérique Tête due à la variation de la vitesse absolue

Tête due à la variation de la vitesse relative

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 2 2

− − −

= + −

t

u u c c w w

H g g g

2 2

2 1

2

− =

c c g

2 2

2 1

2

− =

w w

g

(

2 2 1 1

)

0

e u u

W = c u − c u = ∆ h

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 2 2

0

− − −

= + − = ∆

      

e

I II III

u u c c w w

W h

Pour un compresseur opérant avec un fluide compressible, on lie le travail spécifique à la variation d’enthalpie du fluide, c’est-à-dire:

Alors:

• Taux de compression élevée (10:1)

• Bon rendement pour une plage relativement grande de vitesses de rotation.

• Simple à fabriquer ($$$) par rapport au compresseur axial.

• ^{Plus léger}

• Moins de puissance requise pour le démarrage

Compresseur

• Aire frontale grande

• Pertes importantes entre les étages

Compresseur

2 2 2 2

2 1 2 1

2 1

2 2

u u w w

h − = h − − −

2 2

2 2

u w

dh d   d  

=   −  

   

Tds dh dp

= − ρ

2 2

2 2

dp u w

d d Tds

ρ

   

=   −   −

   

2 2

2 2

dp u w

d d

ρ

   

=   −  

   

Variation d’enthalpie statique

Forme différentielle

Écoulement isentropique

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 2 2 0

− − −

= + − = ∆

e

u u c c w w

W h

Dans un compresseur radial u

₂

>u

₁

. Cette expression indique alors qu’il est possible d’augmenter la pression sans modifier la vitesse relative w

On note que dans un compresseur axial u

₂

=u

₁

, de sorte que pour augmenter la pression l’écoulement doit être décéléré, ce qui favorise le décollement de la couche limite.

Même si dans les compresseurs centrifuges l’écoulement peut être décéléré, ceux-ci sont moins susceptibles au décollement.

Ainsi, ils peuvent fournir un rapport de compression plus élevé

que les compresseurs axiaux. Mais…

On note que, l’équation d’Euler peut s’écrire sous une forme différente de l’expression classique. Pour une machine radiale l’utilisation de la relation

Permet d’écrire

U

W C

Cu W_u

u u u

C = W + = U W + ω R

(

^{2 2 1 1}

) (

^{22 12}

)

e u u

W = U W − U W + U − U

Travail aérodynamique Travail des forces de Coriolis

Rappel:l’accélération de Coriolis est décrite par le produit

2 Ω ×  W 

Gaspard-Gustave de Coriolis

Ω:vitesse angulaire

1 dw = Ω 2 r d θ

Cette équation indique qu’il y a une variation de la vitesse relative w dans la direction tangentielle ( θ )

Dans un repère cylindrique, la prise en compte de l’accélération

de Coriolis dans les équations du mouvement permet de trouver,

après quelques étapes…, la relation:

c

2u

c

2

u

2

w

²

w

1 dw = Ω 2

r d θ

Le profil de vitesses non uniforme de w engendre un écoulement tourbillonnaire entre les pales. Ce phénomène entraine une déviation de l’angle moyen à la sortie par apport à l’aube.

W W

ω

W

U C

W C

C_ua C_uf

C_SL C_SL

angle de l’ aube angle du fluide

Remarque. Cette définition fournie une valeur de σ comprise entre zéro et un.

2

(

2

)

σ = U ⁻ c

^ua

⁻ c

^uf

= − 1 c

^SL

U U

?

Remarque. Cette définition mesure l’écart de la vitesse absolue par rapport à la direction radiale à la sortie du rotor. La valeur absolue de σ sera comprise entre zéro et un, mais la quantité ainsi définie, ne correspond nullement au sens physique.

σ = c

2^uf

U

Remarque. La valeur de σ est aussi inférieure ou égale à un. Par contre, cette définition a une origine énergétique d’intérêt en ingénierie

2 2 2

2

2

σ = =

^{ua− SL}

= − 1

^SL

ua u

ua uf

a

c c c

c c

c

c

ef ea

W

σ = W

Le rapport entre le travail effectif

W

_ef, engendré par l’écoulement ayant un angle différent à celui des aubes et, W_ea, le travail théorique, (produit par un nombre infini d’aubes) lorsque la vitesse à la sortie du rotor est alignée avec les aubes, est :

Mais, lorsque c _1u = 0 ²

2 uf ua

c

σ = c

2 2 1 1 2 2 2 2

( )

e uf uf e uf ua

W = c U −c U =W = c U = σc U

Ainsi, le travail spécifique transmis à l’arbre devient^:

Si les aubes à la sortie sont radiales c_2ua =U₂ ^{, alors We = σU22}

2 2

e ua

W = σc U

c₂ c_2u=U₂

c_2m

w₂

U₂

En conclusion: la formulation C et la plus appropriée pour définir et pour quantifier la variable σ

2 2

uf ua

c

σ = c

Wiesner 1967

2 0.7

1 cos

^a

s

Z

σ = − β

Stanitz 1952

2 2 2

0.63 / 1 1 ( / ) tan

s

ma a

Z c U σ π

= − β

−

β_2a :l’angle de l’aube p/r à la direction radiale Z :le nombre de pales

Stodola 1927

2

2 2 2

1 sin

1 ( / ) cot

a s

ma a

Z c U

π β

σ β

 

= −   −  

Pfleiderer-Eckert

2 1 2

1 1 sin

2 1

=

+  

 − 

 

s

a

Z r

r

σ π β

β_2a: l’angle de l’aube p/r à la direction tangentielle Z:le nombre de pales

u2

w2

β2a

r1

r2

2 2 1 1

( )



e u u

prérotation

W = C U − C U

Pour des pales radiales (β

_2a

=0), lorsque la prérotation est nulle, on a

2

= σ

2

e s

W U

La formule de Stanitz est rapide pour estimer σ

_s

pour les pales radiales. Notamment:

1 2

σ = − Z

Cas: c_2u < U c₂

c_2m

c_2u=U₂

c₂

c_2m

c_2u U₂

Cas pour des pales radiales

w₂

Coefficient de charge

2 2

W

e

Ψ = U

Coefficient de débit

2 2

c

m

Φ = U

ef ea

W σ = W

0

2 2

Ψ = W

^e

= C

^p

∆ T

U U

2 2

Ψ = = σ

ea

W

ef

W

U U

0

2 2

Ψ = = ∆ σ

ea

C

p

T

W

U U

Un choix possible pour W_e

0

2 2 2

ef a p

W W C T

U U U

σ σ ∆

Ψ = = =

Un second choix pour W_e

Diffuseur à aubes Volute

Aubes Entrée

Rotor

❸

Calculer: ❶

Le ΔT_0(1-3) isentropique Le ΔT_0(1-3) réel

Le travail spécifique isentropique Le travail spécifique réel

L’exposant polytropique n et le travail spécifique polytropique c_p=1000 J/kg K ̇𝒎𝒎=3kg/s

p₀₃/ p₀₁ =2 η_s(1-3)=0.75 R_g=287 J/kg K γ=1.4

p₀₁ =101.3kPa T₀₁=288 K

03 01

03 01

s s

T T

T T η = −

−

01 03

03 01

01 s

1

s

T T T T

T

 

− =  − 

η  

1/

01 03

03 01

01

1

s

T p

T T

p

 γ− γ 

 

− = η   − 

c_p=1000 J/kg K ̇𝒎𝒎=3kg/s

p₀₃/ p₀₁ =2 η_s(1-3)=0.75

R_g=287 J/kg K γ=1.4 p₀₁ =101.3kPa T₀₁=288 K Le ΔT_0(1-3) isentropique, le ΔT_0(1-3) réel, le travail isentropique, le travail réel,

le travail polytropique et l’exposant polytropique n

( )

= (

03

−

01

)

e r p

W c T T

03 01

T

r

T T

∆ = − T

₀₃

= T

₀₁

+ ∆ T

_r

(Travail réel)

01 03 01

03 01

(

_s

/ 1)

T T T T T

= −

−

(Travail polytropique)

03 01

( )

s s

T T T

∆ = η − T

_03s

= T

₀₁

+ ∆ T

_s

/( 1)

03 03

01 01

n n

p T

r

p T

   

−

   = 

   

n

( )

( )

= 1 ∆

−

s p r

W nR T

n

Le ΔT_0(1-3) isentropique, le ΔT_0(1-3) réel, le travail isentropique, le travail réel, le travail polytropique et l’exposant polytropique n

( )

= (

03

−

01

)

e s p s

W c T T

(Travail isentropique)

Calculer

d) l’épaisseur du rotor à la sortie 2 c) p₂,T₂ et ρ₂

b) La vitesse U₂ et le diamètre D₂

La vitesse d’entrée est axiale Tuyau:considérer T₀₂= T₀₃

Les aubes à la sortie du rotor sont radiales!

On note que le nombre de Mach absolu à la sortie du rotor vaut 1

Image à fins d’illustration seulement

σs=0.92 M₂= 1 ηs(1-3)=0.82 Ψ =1.04(sur U2) p₀₃/ p₀₁ =3.8 n=1200 rpm ̇𝒎𝒎=8kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 c_p=1005 J/kg K p₀₁ =101.3kPa T₀₁=288 K η_sr(1-2)=0.91 (rotor)

a) T₀₃ - T₀₁

ηs=0.82

03 01 01 03 01

03 01 03 01

( / 1)

s s

s

T T T T T

T T T T

− −

η = =

− −

03

03 01 01

01

( ) ^s 1

s

T T T T

T

 

η − =  − 

 

1

01 03

03 01

01

( ) 1

s

T p

T T

p

γ−

  γ 

 

− = η   − 

03 01

(T −T ) =163.3K

σ_s=0.92 M₂= 1 η_s(1-3)=0.82 Ψ =1.04(sur U₂)

p₀₃/ p₀₁ =3.8 n=1200 rpm ̇𝒎𝒎=8kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 c_p=1005 J/kg K p₀₁ =101.3kPa T₀₁=288 K

η_sr(1-2)=0.91 (rotor) T₀₃ - T₀₁?

03 01 2

2

( )

ψσ

− ×

= ^p

s

T T c U

03 01

2

( ) 163.3 1005

414.15 1.04 0.92

p s

T T c K J kg K

U m s

ψ σ

− × × −

= = =

× ×

2

2 60

D n

U =

π

× × ^{D2 =0.659 m}

σ_s=0.92 M₂= 1 η_s(1-3)=0.82 Ψ =1.04(sur U₂)

p₀₃/ p₀₁ =3.8 n=1200 rpm ̇𝒎𝒎=8kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 c_p=1005 J/kg K p₀₁ =101.3kPa T₀₁=288 K

η_sr(1-2)=0.91 (rotor) U₂ , D₂ =?

2 2

2

0

(

03 01

)

σ σ

∆ −

Ψ =

^p

=

^p

s s

T c T

U U

c T

(^{1ère convention})

02 01

02 01

s sr

T T

T T η = −

−

/( 1)

02 02

01 01

p T

s

p T

 

γ γ−

=  

 

02 01 01 02

T = T + ∆ T

₋

02 01 03 01

T − T = T − T

σ_s=0.92 M₂= 1 η_s(1-3)=0.82 Ψ =1.04(sur U₂)

p₀₃/ p₀₁ =3.8 n=1200 rpm ̇𝒎𝒎=8kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 c_p=1005 J/kg K p₀₁ =101.3kPa T₀₁=288 K

η_sr(1-2)=0.91 (rotor) p₂ , T₂, ρ₂?

Tuyau:considérer T₀₂= T₀₃

plus tard

02 01

02 01

s sr

T T

T T η = −

−

2 2

2 2 2

c = a = γ RT

2 2

2 02

2

_p

T T c

= − c

01 02

01 02 02 01

01 s

1

sr

T T T T T

−

T

 

∆ = − =  − 

η  

2

1

M =

σ_s=0.92 M₂= 1 η_s(1-3)=0.82 Ψ =1.04(sur U2)

p₀₃/ p₀₁ =3.8 n=1200 rpm ̇𝒎𝒎=8kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 c_p=1005 J/kg K p₀₁ =101.3kPa T₀₁=288 K

η_sr(1-2)=0.91 (rotor) p₂ , T₂, ρ₂?

0 1 2

1 2

T M

T

γ −

= +

σ_s=0.92 M₂= 1 η_s(1-3)=0.82 Ψ =1.04(sur U2) p₀₃/ p₀₁ =3.8 n=1200 rpm ̇𝒎𝒎=8kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 c_p=1005 J/kg K p₀₁ =101.3kPa T₀₁=288 K

η_sr(1-2)=0.91 (rotor) p₂ , T₂, ρ₂?

2 2 02

01 02 01

p p p

p p p

  

=   

  

/( 1)

2 2

02 02

p T

p T

   

γ γ−

   = 

   

/( 1)

02 0

01 01

2s

p T

p T

   

γ γ−

   = 

   

/( 1)

02 02

01 01

p T

p T

   

γ γ−

   = 

 X   

2 2 02

01 02 01

p p p

p p p

  

=   

  

2 2

2

p

ρ = RT ₂

2 2

A m

= c ρ



σ_s=0.92 M₂= 1 η_s(1-3)=0.82 Ψ =1.04(sur U2)

p₀₃/ p₀₁ =3.8 n=1200 rpm ̇𝒎𝒎=8kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 c_p=1005 J/kg K p₀₁ =101.3kPa T₀₁=288 K

η_sr(1-2)=0.91 (rotor) p₂ , T₂, ρ₂?

/( 1)

2 2

02 02

p T

p T

   

γ γ−

   = 

   

/( 1)

02 0

01 01

2s

p T

p T

   γ γ−

  = 

   

2u 2

c =

σ

U

2 2 2

2 2u 2m

c = c + c c_2m

2

2 2m

A m

= c ρ



2 2

2

b A

= D π

Les aubes à la sortie sont radiales!

σ_s=0.92 M₂= 1 η_s(1-3)=0.82 Ψ =1.04(sur U₂) p₀₃/ p₀₁ =3.8 n=1200 rpm ̇𝒎𝒎=8kg/s R_g=287 J/kg K γ=1.4 c_p=1005 J/kg K p₀₁ =101.3kPa T₀₁=288 K η_sr(1-2)=0.91 (rotor)

r 2= 6 cm b=2 cm

r 3= 10 cm

2 3

2

3

Pour le compresseur centrifuge illustré précédemment, on a les données suivantes:

p₀₂ = 2.4 bars, T₀₂ = 378 K, M₂= 0.38, α₂=0⁰

p₀₃ = 6.1 bars, T₀₃ = 533 K, M₃= 0.88, n =42 000 rpm C₂ est dans la direction radiale (C_2u= 0)

Considérez γ=1.4 et calculez

• La température T₂, la vitesse relative W₂ et la température de stagnation relativeT_02r à l’entrée du rotor

• Le débit massique ̇𝒎𝒎

• La température T₃, la vitesse absolue C₃et l’angle α3 entre la vitesse absolue et la direction radiale à la sortie du rotor

• La vitessse relative W₃ , l’angle β3 entre la vitesse relative et la direction radiale et la température de stagnation relativeT_03r

Remarque: Cette équation est dans l’espace unidimensionnel. Par définiton, il ne peut donc pas y avoir aucune sorte de projection de composante de vitesse. Des notions telles que vecteur normal ou tangentiel n’existent pas. Cependant...

1 2( 1)

0 2

0

1 1

2

m RT M M

P A

γ

γ

γ

γ

− +

−

−

 

=   +  



m m2

m =

ρ

c A =

ρ

c

π

rb

Pour un écoulement sortant en périphérie, tel qu’illustré sur la figure, l’équation de continuité peut s’écrire:

avec b la grandeur de la profondeur (l’épaisseur) normale à l’écran.

Si on écrit encore l’equation de conservation de la masse en fonction du module de la vitesse absolue c on a:

cos 2

m = × ×

ρ

c

α

×

π

rb

2 cos

m c

rb

ρ

π α

⁼



2 cos

m c

rb

ρ

π α

⁼



0 1 2

, , , 1

2 T

p RT M c a RT M

a T

ρ γ γ

⁻

= = = = +

Tel que précedemment, lorsqu’on utilise dans cette expression :

/( 1) 1/( 1)

0 0 , 0 0

p T T

p T T

γ γ− γ−

  ρ  

=   ρ =  

on trouve :

1 2( 1)

0 2

0

1 1

2 cos 2

γ

γ

γ

π α γ

− +

−

−

 

=   +  

 RT

m M M

p rb

U

3

W

³

C

3

U2

C2

W2

α3

β

3

❷

❸

1 2( 1)

0 2

0

1 1

2

− +

−

−

 

=   +  

 RT

m M M

P A

γ

γ

γ

γ

1 2( 1)

0 2

0

1 1

2 cos 2

γ

γ

γ

π α γ

− +

−

−

 

=   +  

 RT

m M M

p rb

( 1)

0 1 2

1 2

p M

p

γ

γ

− γ⁻

 

=  + 

0 1 2

1 2

T M

T

γ

−

= +

Remarque: Bien que cette équation demeure unidimensionnelle, l’aire est modifiée pour tenir compte de l’angle qui distingue la composante radiale de la vitesse absolue en périphérie.

0 1 2

1 2

T M

T

γ

−

= + ⁰ 1 ^{2 ( 1)}

1 2

p M

p

γ

γ

− γ⁻

 

=  + 

1 2( 1)

0 2

0

1 1

2 cos 2

γ

γ

γ

π α γ

− +

−

−

 

=   +  

 RT

m M M

p rb

02 2

2 2

1 1

2

T M

T

γ

−

= + T₂ = 367.39

2 2 2

C = M

γ

RT C₂ =145.99

2 2

2 2 2

W = U +C W² = 301.58

2 2

2 263.9

= 60r n =

U

π

T₂, c₂ , W₂ ?

Ouf, on commence

2 2

2 2

02 02

2 2

r

p p

W C

T T

c c

= + − T_02r = 464.51

T_2r ?

Température de stagnation (d’arrêt) relativeT_02r à l’entrée du rotor

1 2( 1)

02 2

2 2

02 2 2

1 1

2 cos 2

− +

− −

 

=  + 

 RT

M M

m p

r b

γ

γ

γ

π α γ

2.71 m =

1 2( 1)

03 2

3 3

03 3 cos 3

1 1

2 2

− +

− −

 

=  + 

 RT

m M M

p r b

γ γ

α

γ γ π

3 85.29

α

=

̇𝐦𝐦, T₃, C₃, α3

03 2

3 3

1 1

2

T M

T

γ

−

= + T₃ = 462.12

3_m 3 cos 3

C = C

α

C³_m = 31.12

3m 3m

W = C W³_m = 31.12

3_u 3 sin 3

C = C

α

3_u ( 3 3_u)

W = − U −C W_3u = −61.90

3 3 3

C = M γ RT

3_u 377.92 C =

Τ3,C₃,W₃, β3

2 2

3 3u 3m

W = W +W W3 = 69.29

3 3

3

tan ^u

m

W

β

= W

β

₃ = 63.30

2 2

3 3

03 03

2 2

r

p p

W C

T T

c c

= + − T_03r = 464.52

0r 03r 02r

T T T

∆ = − ∆T⁰_r = 51.85

W₃, β3 , Τ03r

0 2

cp T σU Ψ = ∆

/( 1)

03 03

01 01

p T s

p T

 γ γ−

=  

 

/( 1)

03 01

01

( )

1 ^c T T

T

 η − γ γ−

= + 

 

/ ( 1) 2

03

01 01

1

^c

p

p U

p c T

η σ

γ γ⁻

 Ψ 

=    +   

p₀₃ indique la pression (de stagnation) à la sortie du compresseur p₀₂ est utilisée pour noter la pression entre le rotor et le diffusseur p₀₁ est utilisée pour noter la pression à l’entreé du rotor

Fomule compacte avec σ,ψ et η

(1^èreconvention)

On note trois types d’aubages définis en fonction d’angle de sortie du rotor. Notamment: tournés vers le sens de l’écoulement, radiales, ou tournés vers l’arrière de l’écoulement.

Aujourd’hui, la grande majorité des machines utilisent des aubes

courbés vers l’arrière. Ce type d’aubage produit une vitesse

absolue plus faible à la sortie du rotor par rapport aux deux autres

alternatives

Courbées en arrière

𝛽𝛽₂> 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛽𝛽₂ = 90⁰ − 𝛽𝛽₂ : Transfert d’énergie faible. Utilise un petit diffuseur. Il est plus stable (pompage)

Courbées en avant

𝛽𝛽₂ < 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛽𝛽₂ = 90⁰ − 𝛽𝛽₂: Transfert d’énergie élevé, mais ceci demande un diffuseur plus grand. Moins stable.

Radiales

𝛽𝛽₂ = 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛽𝛽₂ = 90⁰: Plus facile à construire

Remarque: β₂ est mesurée par rapport à la direction radiale dans le sens contraire à la rotation.

�𝜷𝜷_𝟐𝟐est mésurée par rapport la direction tangentielle. Cet angle correspond au complément de β₂

C2

U2

W2

W2u

W2m

C2m

C2u

α2

β2

β2

On remarque que les aubes tournés vers l’arrière produisent la plus petite vitesse absolue à la sortie. Ceci exige moins d’effort au diffuseur pour traduire l’énergie cinétique en pression. En outre, les aubages courbés vers l’arrière permettent une plus grande plage de vitesse de rotation, tout en gardant un rendement acceptable

.