Devoir n°2 (07-08)

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Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2007-2008

http://www.taye.fr/ 1

Devoir de mathématique n°2 Enseignement de spécialité

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Question de cours

Prérequis: La fonction exponentielle, notée a les trois propriétés suivantes:

1) exp est une fonction dérivable sur ;

2) sa fonction dérivée, notée exp', est telle que, pour tout réel , exp'(

exp

x x

ℝ

) exp( );

3) exp(0) 1.

En n'utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que:

Pour tout nombre réel , exp( ) exp( ) 1;

*Pour tout nombre réel et tout nombre réel

x

x x x

a

=

∗ × − =

, exp(b a b+ =) exp( ) exp( ).a × b

Exercice 1

1) Sachant que ln A=2 et ln B

( )

² ^{= −}¹, trouver la valeur exacte des expressions données.

a) A b) B c) ln A

( )

²B d) ln B³ A



 

 e)ln 1 B²



 

 +ln A

( )

³ ⁻^{ln e}

( )

⁶

2) Résoudre chaque équation. Donner la réponse en valeur exacte.

a) 1−2ln x=0 b) e^2x +e^x−2=0 c) ln x

(

+1

)

⁻^{ln 3x}

( )

⁼⁰

d) 3ln x+ln 3x

( )

⁻^{3ln 2 x}

( )

⁼⁰

e) 2 ln x

( )

²⁻^{5ln x}⁺²⁼⁰

Exercice 2

( ) 0

Soit la fonction définie sur par: 1 (0) 1

1) Montrer que est continue en 0. On admettra que '(0) 1. 2 2) Calculer '( ) pour tout non nul.

3) Soit : 1. Etudier les va

x

x x

f x x si x

f e

f

f f

f x x

g x e xe

 = ≠

 −

 =



= −

− −

ℝ

֏ riations de puis le signe de .

4) Déduire des questions précédentes le tableau de variation de .

5) Construire dans un repère orthonormé (0; ; ) courbe représentative de ainsi que sa tanhgente

f

g g

f

i j C f

au points d'abscisse 0.

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Exercice 3

Soit un plan P rapporté à un repère orthonormal direct ( , , )O u v . On note A le point d'affixe i et B celui d'affixe -2i. M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'.

Soit f l'application du plan complexe définie par: f z z z i ( )= =' iz −

+ 2

1 1. Soit z un complexe différent de i.

a. On désigne par r et θ le module et un argument de z i− . Interpréter géométriquement r et θ^. b. Montrer que ( ' 2 )(z + i z i− =) 1.

c. On désigne par 'r etθ' le module et un argument de z' + 2i. Interpréter géométriquement 'r etθ'^. 2. Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 1. Montrer que si M appartient à (C), son image M' par f appartient à un cercle (C') de centre B dont on donnera le rayon.

3. Soit T le point d'affixe 2

2 1 2

+ + 2

 

i a. Calculer l'affixe de AT

; en déduire que T appartient au cercle (C) .

b. Déterminer une mesure en radians de l'angle

(

^{u AT}^,

)

. Tracer le cercle (unité 2cm) et placer T.

c. En utilisant les questions précédentes, construire l'image 'T de T par f .

Exercice 4

[ ] [ ]

10 4

40 40

1)a) Quel est le reste de la division euclidienne de 6 par 11?Justifier.

b) Quel est le reste de la division euclidienne de 6 par 5?Justifier.

c) En déduire que 6 1 11 et que 6 1 5 ; d) Démontrer que

≡ ≡

640 1 est divisible par 55.

2) Dans cette question et désignent des entiers relatifs.

a) Montrer que l'équation ( ): 65 40 1 n'a pas de solution.

b) Montrer que l'équation ( ') : 17 40 1 admet au moi

x y

E x y

−

− =

ns une solution.

c) Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide un couple d'entiers relatifs solution de l'équation ( ').

d) Résoudre l'équation (E').

En déduire qu'il existe un unique entier naturel

E

x

[ ]

[ ] [ ] [ ]

0 0

17 40 33

inférieur à 40 tel que: 17 1 40 . 3) Pour tout entier naturel a, démontrer que si 55 et si 1 55 alors: 55

x

a b a b a

≡

≡ ≡ ≡

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( )

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)

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( )

(

)

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ]

Barème probable : 2 – 4 – 4 – 5 - 5