Unit´ e Math´ ematiques 1 (S11M010)
Devoir ` a la maison I
I Exercice 1 : Cet exercice a pour but de d´emontrer une in´egalit´e d’une grande importance, appel´ee In´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Elle ´enonce ceci : Pour tous r´eelsx1, . . . , xn, y1, . . . , yn,
n
X
i=1
xiyi
!2
≤
n
X
i=1
x2i
! n X
i=1
yi2
! .
Posons A=
„ n P
i=1
x2i
« , B=
„ n P
i=1
xiyi
« , C=
„n P
i=1
y2i
«
et pour tout r´eelλ, T(λ) =
n
P
i=1
(λxi+yi)2. a) Expliquez pourquoi l’on a, pour tout r´eelλ, T(λ)≥0.
b) D´emontrez que, pour tout r´eelλ,Aλ2+ 2Bλ+C≥0.
c) Si l’on aA >0, montrer qu’alorsB2−AC≤0.
d) Examiner ce qui se passe siA= 0.
e) Conclure.
I Exercice 2 : Consid´erons un r´eelxqui n’est pas de la forme 2kπ(pourkentier relatif) et un entier naturel non nul n. PosonsC=
n
P
k=0
cos(kx), S=
n
P
k=0
sin(kx) etE=
n
P
k=0
eikx.
a) D´eterminer, en justifiant votre r´eponse, une relation liantC,SetE.
b) D´emontrez que pour tout entierm≥1 et tout complexez, on a l’identit´e suivante, d’une grande importance : zm−1 = (z−1)(zm−1+zm−2+· · ·+z+ 1)
(Vous pouvez la d´emontrer directement, ou bien utiliser vos souvenirs sur les suites g´eom´etriques).
c) A l’aide de ce qui a ´et´e vu dans l’exercice 8 et des questions pr´ec´edentes, montrer que l’on a :
C=
sin(n+ 1)x 2 cosnx
2 sin“x
2
” et S=
sin(n+ 1)x 2 sinnx
2 sin“x
2
” .
1
