DEVOIR A LA MAISON N°1. 1S Pour le . I.

DEVOIR A LA MAISON N°1. 1S

Pour le . I. Construire le tableau de signes des expressions suivantes, après les avoir transformées si nécessaire.

f( x) ( 2 x 5)( 4 x ) g( x) 3x 6

2 x 1 h( x) x² 4 m( x) 2

x 8 x 4 n( x) 4x 4

x 1

II. f est la fonction définie sur par f (x ) (2 x )(3x 1) (2 x)(x 4 ).

1. Développer f (x ).

2. Factoriser f (x ).

3. Montrer que, pour tout réel x, f( x) 2

 

  x ⁷

4

2 1

8 . Pour les questions suivantes, choisir la forme la plus adaptée.

4. Déterminer les coordonnées des points d intersection de la courbe de f avec les axes du repère.

5. Déterminer l abscisse du (ou des) point(s) de la courbe de f d ordonnée 6.

6. Déterminer l ordonnée du (ou des) point(s) de la courbe de f d abscisse 2.

7. Résoudre l équation f( x) 1 8 .

III. Sur le graphique suivant, on a tracé les courbes représentatives des fonctions f et g définies par f( x) x² et g (x ) a

x où a est un réel fixé. Le point A appartient aux deux courbes et a pour ordonnée 2.

1. Quelle est la courbe de la fonction f ? Justifier.

2. Déterminer la valeur de a.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°1. 1S

I. Construire le tableau de signes des expressions suivantes, après les avoir transformées si nécessaire.

f( x) ( 2 x 5)( 4 x )

x ‒ 5/2 4 +

2 x 5 0 pour x 5/2 4 x 0 pour x 4

2x 5 +

+

( 2x 5)( 4 x) +

g( x) 3x 6

2 x 1 2 x 1 0  x 1

2 . La valeur interdite est 1 2 . x ‒ 2 1/2 +

3 x 6 0 pour x 2 2 x 1 0 pour x 1/2 +

3x 6 2x 1

h( x) x² 4 ( x 2)( x 2)

x ‒ 2 2 +

x 2 0 pour x 2 x 2 0 pour x 2 +

( x 2)( x 2)

m( x) 2 x

8 x 4 x 4 0 x 4

Les valeurs interdites sont 0 et 4.

m( x) 2 x

8 x 4

2(x 4) 8 x x( x 4)

2x 8 8 x x (x 4)

6 x 8 x (x 4) .

x 4 0 4/3 +

6x 0 pour x 4/3 x 0

x 4 0 pour x 4

x

x+4 +

m(x)

n( x) 4x 4 x 1

x 0 x 1 La valeur interdite est 1.

Méthode 1 :

Pour tout x différent de 1, n( x) 4x 4 x 1

4(x 1)

x 1 4 0 donc n( x) 0 sur ] 1[ ]1 [.

Méthode 2 :

x ‒ 1 +

4 x 4 0 pour x 1 x 1 0 pour x 1 +

4 x 4 x 1

II. f est la fonction définie sur par f (x ) (2 x )(3x 1) (2 x)(x 4).

1. f( x) (6x 2 3x ² x) (2 x 8 x² 4 x) 6x 2 3 x² x 2x 8 x ² 4x 2 x² 7x 6.

La forme d évelopp ée d e f( x) est 2 x² 7x 6.

2. f( x) (2 x)[(3 x 1) ( x 4)] (2 x)(3 x 1 x 4) (2 x)(2 x 3)

La forme factoris ée de f( x) est (2 x )(2x 3).

3. Soit x un réel. 2

 

  x ⁷

4

2 1

8 2

 

  x² ⁷

2 x ⁴⁹ 16

1

8 2 x² 7 x 49 8

1

8 2 x² 7x 6. On retrouve la forme développée de f( x).

Ainsi, pour tout réel x, f( x) 2

 

  x ⁷

4

2 1

8 . C est la forme canonique de f (x ).

4. Intersection avec l axe des ordonnées :

f(0) 2 0² 7 0 6 6. La courbe coupe l axe des ordonnées en A(0 ; 6).

Intersection avec l axe des abscisses :

f(x ) 0 (2−x )(2x −3) 00 2 x 0 ou 2x 3 0 x 2 ou x 3 2 . La courbe coupe l axe des abscisses en B(2 ; 0) et C(3/2 ; 0)

5. f( x) 6  2x ² 7x 6 6  2x² 7x 0  x ( 2x 7) 0  x 0 ou 2x 7 0

 x 0 ou x 7 2

La courbe passe par deux points d ordonnée 6 : A(0 ; 6) et D(7/2 ; 6).

6. f(2) (2 2)(2 2 3) 0. Le point de la courbe d abscisse 2 a pour ordonnée 0.

7. f( x) 1

8  2

 

  x ⁷

4

2 1

8 1 8  2

 

  x ⁷

4

2 0  x 7

4 0  x 7

4 . L équation f( x) 1

8 a pour unique solution 7 4 .

III. Sur le graphique suivant, on a tracé les courbes représentatives des fonctions f et g définies par f( x) x² et g (x ) a

x où a est un réel fixé. Le point A appartient aux deux courbes et a pour ordonnée 2.

1. f est la fonction carré étudiée en seconde. Sa courbe est la parabole C ₂ .

2. A est un point de C ₂ d ordonnée 2 donc son abscisse est solution de l équation x² 2.

x² 2 a pour solutions 2 et 2 . L abscisse de A est positive donc A ( ^{2 2 .} )

D autre part, A est un point de la courbe de g donc g ( ² ) ^2.

g ( ² ) ^{2 donc a}

2 2 donc a 2 2 . La fonction g est définie par g(x ) 2 2

x .