ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Exercice 1: R´eponses
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2012, Steve Ambler Automne 2012
1 Propri´et´es de la covariance ´echantillonnale
Nous avons
n−1
n Cov(X, Y)
≡ 1 n
n−1 n−1
n
X
i=1
Xi−X
Yi−Y
= 1 n
n
X
i=1
XiYi−XiY −XYi+XY
= 1 n
n
X
i=1
XiYi−Y 1 n
n
X
i=1
Xi−X1 n
n
X
i=1
Yi+ 1 nXY
n
X
i=1
1
= 1 n
n
X
i=1
XiYi−Y X−X Y +X Y
=XY −X Y , ce qui fut `a d´emontrer.
2 Distributions de probabilit´e jointes
1. Voici le tableau :
X\Y Y=0 Y=1 Pr(X)
X=0 1/8 0 1/8
X=1 2/8 1/8 3/8
X=2 1/8 2/8 3/8
X=3 0 1/8 1/8
Pr(Y) 4/8 4/8
La derni`ere colonne donne la distribution marginale deX et la derni`ere rang´ee donne la distribution marginale deY.
2. Nous avons :
E(X|Y = 0)
= 0×Pr(X = 0|Y = 0) + 1×Pr(X = 1|Y = 0) +2×Pr(X = 2|Y = 0) + 3×Pr(X = 3|Y = 0)
= 0× Pr(X = 0, Y = 0)
Pr(Y = 0) + 1×Pr(X = 1, Y = 0) Pr(Y = 0) +2× Pr(X = 2 , Y = 0)
Pr(Y = 0) + 3× Pr(X= 3 , Y = 0) Pr(Y = 0)
= 0×1/8
1/2+ 1× 2/8
1/2 + 2× 1/8
1/2 + 3× 0
1/2 = 1.0, et
E(X|Y = 1)
= 0×Pr(X = 0|Y = 1) + 1×Pr(X = 1|Y = 1) +2×Pr(X = 2|Y = 1) + 3×Pr(X = 3|Y = 1)
= 0× Pr(X = 0, Y = 1)
Pr(Y = 1) + 1×Pr(X = 1, Y = 1) Pr(Y = 1) +2× Pr(X = 2 , Y = 1)
Pr(Y = 1) + 3× Pr(X= 3 , Y = 1) Pr(Y = 1)
= 0× 0
1/2+ 1× 1/8
1/2 + 2× 2/8
1/2 + 3× 1/8
1/2 = 2.0.
3. Nous avons
E(Y|X = 0)
= 0×Pr(Y = 0|X = 0) + 1×Pr(Y = 1|X = 0)
= 0× Pr(Y = 0, X = 0)
Pr(Y = 0) + 1×Pr(Y = 1, X = 0) Pr(X = 0)
= 0×1/8
1/8+ 1× 0 1/8 = 0, E(Y|X = 1)
= 0×Pr(Y = 0|X = 1) + 1×Pr(Y = 1|X = 1)
= 0× Pr(Y = 0, X = 1)
Pr(X = 1) + 1×Pr(Y = 1, X = 1) Pr(X = 1)
= 0× 2/8
3/8 + 1× 1/8
3/8 = 1/3, E(Y|X = 2)
= 0×Pr(Y = 0|X = 2) + 1×Pr(Y = 1|X = 2)
= 0× Pr(Y = 0, X = 2)
Pr(X = 2) + 1×Pr(Y = 1, X = 2) Pr(X = 2)
= 0× 1/8
3/8 + 1× 2/8
3/8 = 2/3, et
E(Y|X = 3)
= 0×Pr(Y = 0|X = 3) + 1×Pr(Y = 1|X = 3)
= 0× Pr(Y = 0, X = 3)
Pr(X = 3) + 1×Pr(Y = 1, X = 3) Pr(X = 3)
= 0× 0
1/8+ 1× 1/8 1/8 = 1.
4. Nous avons
E(X) = 0×Pr(X = 0) + 1×Pr(X= 1) +2×Pr(X = 2) + 3×Pr(X = 3)
= 0×1/8 + 1×3/8 + 2×3/8 + 3×1/8 = 1.5
E(Y) = 0×Pr(Y = 0) + 1×Pr(Y = 1)
= 0×1/2 + 1×1/2 = 1/2.
6. Nous avons
1/8 =Pr(X = 0, Y = 0)6=Pr(X = 0)Pr(Y = 0) = 1/8×4/8 = 1/16.
Il suffit d’un seul contre-exemple o`u cette ´egalit´e ne tient pas pour savoir que les deux variables al´eatoires ne sont pas ind´ependantes.
3 Convergence
1. Nous avons vu en classe que l’estimateur MCO de µY est la moyenne
´echantillonnale donn´ee par
1 n
n
X
i=1
Yi.
Donc, l’estimateur propos´e n’est clairement pas l’estimateur MCO.
2. Nous avons
E
Ye
=E 1 60
30
X
i=1
Yi+ 1 2(n−30)
n
X
i=31
Yi
!
= 1 60
30
X
i=1
E(Yi) + 1 2(n−30)
n
X
i=31
E(Yi)
= 1 60
30
X
i=1
EµY + 1
2(n−30)
n
X
i=31
EµY
= 1
2µY + 1 2
n−30
n−30µY =µY. L’estimateur est effectivement non biais´e.
3. Nous avons Var
Ye
= 1
60 2
30Var(Yi) + 1
2 2
1 n−30
2
(n−30)Var(Yi)
= 1 4
1
30σ2Y + 1 4
1 n−30σY2. 4. Nous avons
n → ∞
⇒Var Ye
→ 1 4
1
30σY2 >0.
5. Puisque sa variance reste strictement positive lorsque n → ∞, Ye ne peut ˆetre un estimateur convergent deµY.
4 Statistiques descriptives et tests d’hypoth`ese
J’ai affich´e un script (exer1231b.R) qui contient le code n´ecessaire pour faire les calculs. C’est dans le r´epertoire habituel. Vous pouvez l’ex´ecuter avec la com- mande suivante :
>source(’exer1231b.R’)
`a partir du r´epertoire o`u le script est sauvegard´e.
En fait, c’´etait mieux de regarder les r´eponses aux sous-questions 4) et 6) pour parler de cette question. La mesure normalis´ee de l’aplatissement de la variable wage est ´egale `a 7.933936. La mesure de l’asym´etrie est 229.7168. L’histogramme de la variable wage montre une variable dont la distribution est tr`es asym´etrique.
Sans faire de tests formels (de tels tests existent), la variable est trop asym´etrique et sa mesure d’aplatissement est trop ´elev´ee pour qu’elle soit g´en´er´ee par une distribution normale.
La moyenne ´echantillonale du log de la variable wage est 2.059189. Sa va- riance ´echantillonnale est 0.2785119. Le nombre d’observations dans l’´echantillon est 534. La statistiquetpour tester l’hypoth`ese nulle est donn´ee par
2.059189−2.05
p0.278119/534 ≈0.402646.
Lap-value associ´ee au test est
cr´e´e le 06/11/2012
