ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Exercice 2
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2011, Steve Ambler Hiver 2011
Veuillez ´ecrire lisiblement. Veuillez bien agraferles feuilles de votre tp en- semble avant de le remettre. Date de remise du tp : avant la fin du cours le 15 f´evrier. Je vais afficher les solutions tout de suite apr`es la date de remise. Pour cette raison, les copies remises en retard ne seront pas accept´ees. Vous ˆetes libres de travailler seul(e)s ou en groupe. J’encourage la collaboration – discuter avec les coll`egues est sans doute la meilleure fac¸on d’apprendre. Par contre, le nombre maximal de membres par groupe ne peut d´epasser 4 personnes. Veuillez remettre seulement une copie en notant clairement les noms et les codes permanents de tous les membres du groupe sur la premi`ere page.
En r´epondant `a toutes les questions du tp, expliquez ce que vous faites et montrezvotre travail.
1 Propri´et´es de la covariance (10 points)
Soit deux variables al´eatoires discr`etes X et Y. Par d´efinition, la covariance entre les deux est donn´ee par :
Cov(X , Y) =
m
X
i=1 n
X
j=1
(Xi−E(X)) (Yj −E(Y))Pr(X =Xi , Y =Yj).
Montrezexplicitementet en d´etail `a partir de cette d´efinition que Cov(a+bX , c+dY) =bdCov(X Y).
Soyez explicites concernant les propri´et´es que vous utilisez dans vos d´emonstrations.
2 Distributions de probabilit´e jointes (15 points)
SoitX etY deux variables al´eatoires discr`etes, avec les r´ealisations possibles suivantes :
Pr(X =−1, Y = 0) = 1/4, Pr(X = 0, Y =−1) = 1/4, Pr(X = 0, Y = 1) = 1/4, Pr(X = 1, Y = 0) = 1/4, R´epondez aux questions suivantes.
1. Trouvez les distributions de probabilit´e marginales des deux variables.
2. Trouvez la covariance entreXetY. 3. Trouvez la corr´elation entreX etY.
4. Est-ce queXetY sont ind´ependantes ? Justifiez votre r´eponse.
3 Tests d’hypoth`ese, intervalles de confiance, etc. (30 points)
La compagnie Acme vient de d´evelopp´e un nouveau type de pile. L’ing´enieur qui est chef de projet affirme que la nouvelle pile a une dur´ee de vie d’au moins 7 minutes plus ´elev´ee que le mod`ele actuel.
La compagnie choisit deux ´echantillons al´eatoires de 100 piles du nouveau type et 100 piles du vieux type. En op´eration continue, les piles du vieux type ont une dur´ee moyenne de 190 minutes avec un ´ecart type de 20 minutes. Les piles du nouveau type ont une dur´ee moyenne de 200 minutes avec un ´ecart type de 40 minutes. D´efinissions :
– Y¯1 = 200, la dur´ee moyenne ´echantillonnale du nouveau type ; – Y¯2 = 190, la dur´ee moyenne ´echantillonnale du vieux type ;
– sY1 = 40, l’´ecart type ´echantillonnal de la dur´ee du nouveau type ; – sY2 = 20, l’´ecart type ´echantillonnal de la dur´ee du vieux type ; – µ1, la dur´ee moyenne du nouveau type ;
– µ2, la dur´ee moyenne du vieux type.
Notez bien qu’il s’agit de sY1 et sY2, les ´ecarts types ´echantillonnaux, et non les
´ecarts types des moyennes ´echantillonnales, qui seraientsY¯1 etsY¯2
La compagnie veut savoir si la dur´ee des nouvelles piles est au moins 7 minutes plus longue de fac¸on significative. Donc on veut tester l’hypoth`ese nulle qui voici :
H0 :µ1−µ2 = 7, contre
H1 :µ1−µ2 >7.
R´epondez aux questions suivantes.
1. Calculez les intervalles de confiance de 95% pour la dur´ee moyenne des deux types de pile.
2. Calculez les intervalles de confiance de 99% pour la dur´ee moyenne des deux types de pile.
3. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle ´enonc´ee ci-dessus, avec son hypoth`ese alternative unilat´erale.
4. Si les deux ´echantillons sont de taille ´egale, et si les moyennes ´echantillonnales et les ´ecarts types ´echantillonnaux ne changent pas, quelle serait la taille mi- nimale des ´echantillons requise pour pouvoir rejeter l’hypoth`ese nulle `a un taux marginal de 5% ?
5. Avec les r´esultats obtenus, est-ce qu’il y a une valeur pour la diff´erence de dur´ee qu’on pourrait rejeter `a un taux marginal de 5%, c’est `a dire une valeur de X qui permettrait de rejeter
H0 :µ1−µ2 =X?
4 Convergence (20 points)
Soit la variable al´eatoireY qui est i.i.d. avec E(Y) = µY
et avec une variance finie donn´ee par
Var(Y) =σY2.
Soit l’estimateur de la moyenne bas´e sur n r´ealisations de la variable al´eatoire donn´e par :
Ye = 1 nm
n/2
X
i=1
Y2i−1+2m−1 nm
n/2
X
i=1
Y2i,
o`u m est un nombre entier positif. Notez que la premi`ere sommation calcule la somme des observations impaires, et la deuxi`eme sommation calcule la somme des observation paires.
1. Montrez que l’estimateurYe est non biais´e.
2. Calculez la variance de l’estimateur pour une taille arbitraire de l’´echantillon donn´ee parn. Votre r´eponse sera fonction dem.
3. Qu’est-ce qui arrive `a la variance de l’estimateur lorsque n devient tr`es grand ?
4. Est-ce que l’estimateurYe est un estimateur convergent (convergence en pro- babilit´e) de µY ? Ne donnez pas de preuve formelle. Il suffit de parler de l’esp´erance et de la variance de l’estimateur.
5. Quelle est la valeur demde l’estimateur qui minimise la variance de l’esti- mateur ? Expliquez ce que vous trouvez.
5 Convergence et th´eor`eme de la limite centrale (25 points)
Le but de cette question est de d´emontrer la convergence en distribution vers la loi normale. Soit
X ∼B(n, p),
o`u n est le nombre de r´ep´etitions et p la probabilit´e de succ`es. Il s’agit d’une variable al´eatoire qui suit une distribution binomiale. Nous savons que
E(X) =np et que
Var(X) =np(1−p).
1. Utilisant le logiciel de votre choix, g´en´erez 500 ´echantillons de nombres al´eatoires provenant d’une distribution binomiale avec p = 14, et pour n
´egal `a 1, 5, 20, 100 et 500.
2. Pour chaque valeur de n, produisez un histogramme des 500 valeurs nor- malis´ees d´efinies par
X−np pnp(1−p).
En variantn, gardez le mˆeme nombre de classes dans vos histogrammes.
3. D´ecrivez ce que vous trouvez.
Incluez les histogrammes et votre code (GRETL,STATA, etc.) avec vos r´eponses.
cr´e´e le 07/02/2012
