Dénition 2 On dit que f est continue en a si lim x→af(x

Département de Mathématiques et Informatique El Jadida

Complément de cours¹ : Fonctions de Rⁿ dans R^p

SoitΩ un ouvert deRⁿ et soit f : Ω−→R^p, une application.

Dénition 1 On dit que f admet pour limite l∈R^p lorsque x tend vers adans Ω si

∀ε >0,∃δ >0 :∀x∈Ω,||x−a||< δ=⇒ ||f(x)−l||< ε.

On écritl= lim

x→af(x).

Notons que si la limite existe, elle est unique.

Dénition 2 On dit que f est continue en a si lim

x→af(x) = f(a). On dit que f est continue surΩ si elle est continue en tout point de Ω.

Remarques 1 a) Pour prouver la continuité d'une fonction de plusieurs variables en un point a de son domaine, on majore |f(x)−f(a)| par une expression mieux connue, tendant vers0 avec ||x−a||.

b)Pour prouver la discontinuité d'une fonction de plusieurs variables en un pointa de son domaine, on prouve que pourxtendant versale long d'un chemin particulier, f(x) ne tend pas vers f(a).

c) Quelques majorations utiles :

|x| ≤p

x²+y², |y| ≤p

x²+y², |xy| ≤ 1

2(x²+y²).

Exercice 1 Etudier la continuité des fonctions dénies surR² par f(x, y) =

½ xsin¹_y, y 6= 0

0, y = 0 , f(x, y) =

( x²y

x⁴+y²,(x, y)6= (0,0) 0,(x, y) = (0,0)

f(x, y) =

( x³+y³

x²+y²,(x, y)6= (0,0)

0,(x, y) = (0,0) , f(x, y) =

( x⁴y

x⁶+y⁴,(x, y)6= (0,0) 0,(x, y) = (0,0) Exercice 2 Même question pour la fonction dénie sur R³ par

f(x, y, z) =

( xy³z³

x⁴+y⁶+z⁸, (x, y, z)6= (0,0,0) 0, (x, y, z) = (0,0,0)

1(Responsable : Prof. Lesfari, [email protected], http ://lesfari.com)

Soita= (a₁, ..., a_n)∈Ω⊂Rⁿ,f : Ω−→R^p. Notons

Ω_i ={x_i ∈R: (a₁, ..., a_i−1, x_i, a_i+1, ..., a_n)∈Ω},1≤i≤n et considérons l'application suivante :

fⁱ: Ω_i −→R^p, x_i7−→f(a₁, ..., a_i−1, x_i, a_i+1, ..., a_n).

Dénition 3 On dit quefⁱ est la ième fonction partielle def au pointa(c'est une fonction vectorielle).

Proposition 1 Sif est continue en a, alors chaque fⁱ est continue en a_i. La réci- proque est fausse.

Soita∈Rⁿ,Ωun voisinage dea,f : Ω−→R^p, etu∈Rⁿ avecu6= 0. Dénition 4 Si la limite lim

λ→0λ6=0

f(a+λu)−f(a)

λ existe, alors on l'appelle dérivée de f en adans la directionu et on la note ∂f

∂a(a) ou ∂_uf(a).

Un cas particulier important de dérivée directionnelle est celui de dérivée partielle.

La dérivée partielle def au point apar rapport à laième variable, s'obtient en pre- nant pouru leième vecteure_i = (0, ...,0,1,0, ...,0)de la base canonique (e₁, ..., e_n) deRⁿ. On la note ∂f

∂x_i(a) ouf_i⁰(a). D'après la dénition des dérivées directionnelles, on a

∂f

∂x_i(a) = lim

λ→0λ6=0

f(a+λe_i)−f(a)

λ ,

= lim

λ→0λ6=0

f(a₁, ..., a_i+λ, ..., a_n)−f(a₁, ..., a_i, ..., a_n)

λ .

Au fond, on calcule la dérivée au pointa_i de laième fonction partielle def au point a:

x_i 7−→f(a₁, ..., a_i−1, x_i, a_i+1, ..., a_n).

En d'autres termes, pour calculer la dérivée partielle ∂f

∂x_i(a), on xe toutes les va- riables, sauf laième, et on dérive la fonction d'une variable ainsi obtenue.

Remarques 2 a) L'existence des dérivées partielles en un point n'assure pas la continuité de la fonction en ce point, ni l'existence des dérivées directionnelles en ce point.

b) L'existence de toutes les dérivées directionnelles en un point n'implique pas la continuité de la fonction en ce point.

Soita∈Rⁿ,Ωun voisinage deaetf : Ω−→R^p, une application.

Dénition 5 On dit quef est diérentiable en a s'il existe une application linéaire L:Rⁿ−→R^p, telle que :

∀h∈Rⁿ, f(a+h) =f(a) +L(h) +ε(h),

avec lim

h→0h6=0

ε(h)

||h|| = 0 (i.e., ε(h) = o(||h||)). De façon équivalente (il sut de poser x=a+h), s'il existe une application linéaireL:Rⁿ−→R^p, telle que :

f(x) =f(a) +L(x−a) +ε(x−a),

avec lim

x∈Ω\{a}x→a

ε(x−a)

||x−a|| = 0. L'application L si elle existe, est unique et s'appelle la diérentielle de f au point a. On la notedf(a) ou df_a.

Signalons l'observation triviale suivante : La fonction f à valeurs dans R^p est diérentiable enasi et seulement si ses composantesf_j sont diérentiables ena. Proposition 2 Si f est diérentiable au point a, alors f est continue en a. (La réciproque est fausse en général).

On montre que si f est diérentiable en a, alors f est dérivable suivant tout vecteuru de Rⁿ et

∂f

∂u(a) =df(a)u,

pour chaque u de Rⁿ. Cette formule implique que si L est l'application linéaire intervenant dans la dénition de la diérentiabilité def ena, alors

L(u) = ∂f

∂u(a), ∀u∈Rⁿ d'où l'unicité deL.

Proposition 3 Sif est diérentiable au pointa, alors les dérivées partielles ∂f

∂x_i(a) existent et on a

df = Xn

i=1

∂f

∂x_idx_i. (La réciproque est fausse en général).

Exercice 3 Quelle est la valeur approchée de(1,02)^3,01?

Remarque 1 La seule existence des dérivées partielles ne sut pas à assurer la diérentiabilité. Par contre, on a le théorème suivant très utile en pratique.

Théorème 1 Si les dérivées partielles ∂f

∂x_i (1 ≤ i ≤ n) de f existent dans un voisinage de aet sont continues en a, alors f est diérentiable en a. (La réciproque est fausse en général).

Proposition 4 (Condition susante de diérentiabilité dans le cas des fonctions f(x, y) de deux variables) : Si ∂f

∂x et ∂f

∂y existent au point (a, b) et que l'une est continue au point(a, b), alorsf est diérentiable en (a, b).

Dénition 6 On dit que f est continûment diérentiable ou de classe C¹ sur Ω lorsque les dérivées partielles ∂f

∂x_i def existent et sont continues sur Ω. Sif est de classeC¹ sur Ω, alors f est diérentiable sur Ω.

Exercice 4 Etudier la diérentiabilité des fonctions dénies surR² par f(x, y) =p

x²+y², f(x, y) =

( (x²+y²)²sin√ ¹

x²+y²,(x, y)6= (0,0) 0,(x, y) = (0,0)

f(x, y) =

( xy³

x⁴+y²,(x, y)6= (0,0)

0,(x, y) = (0,0) , f(x, y) = (

xy^x_x⁴4^−y+y⁴⁴,(x, y)6= (0,0) 0,(x, y) = (0,0)

Exercice 5 Montrer que la fonction f de R² dans Rdénie par f(x, y) = |x|y³

x²+y²,

admet un prolongement continue à l'origine. Etudier la diérentiabilité en tout point de la fonction prolongée.

Exercice 6 Soit f une fonction de classe C¹ de R dans R. On pose g(x, y) =

( f(x)−f(y)

x−y , x6=y f⁰(x), x=y a) Etudier la continuité de g sur R².

b) Sif⁰⁰(a) existe, g est-elle diérentiable en (a, a)?

Proposition 5 Soient

f, g: Ω⊂Rⁿ−→R^p, h: Ω⊂Rⁿ−→R,

des fonctions diérentiables au point a∈ Ω. Alors f +g et f h sont doérentiables enaet on a

d(f+g)(a) =df(a) +dg(a), d(f h)(a) =h(a)df(a) +f(a)dh(a).

Si de plus, h(a)6= 0, alors f

h est diérentiable en aet d

µf h

¶

(a) = (df(a))h(a)−f(a)dh(a)

h²(a) .

Proposition 6 (Diérentiabilité d'une fonction composée) : Soient a ∈ Rⁿ, Ω un voisinage de a et f : Ω −→ R^p. Posons b = f(a) et soit ∆ un voisinage de b et g : 4 −→ R^q. On suppoe que f est diérentiable en a et g est diérentiable en b. Alorsg◦f est diérentiable en aet

d(g◦f)(a) =dg(b).df(a).

Exercice 7 On considère une fonction f de R³ dans R appartenant à C¹(R³). On pose,

∀(x, y)∈R², F(x, y) =f(cosx², xy, f(y, y, y)).

Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de F par rapport à x et à y en un point (a, b)∈R².On exprimera les dérivées partielles de F en fonction de celles de f. Exercice 8 Même question pour la fonction

∀(x, y)∈R², F(x, y) =f(cosx², xy, f(x, y, x)).

Considérons l'application f : Ω⊂Rⁿ−→R^p,x7−→y=f(x). On a y₁ = f₁(x₁, ..., x_n),

y₂ = f₂(x₁, ..., x_n), ...

y_p = f_p(x₁, ..., x_n).

On suppose que les dérivées partielles ∂f_i

∂x_j(a),1≤i≤p,1≤j≤n,a∈Ω, existent.

Dénition 7 On appelle matrice jacobienne de f en a, la matrice d'ordre p×n suivante :

J_f(a) =









∂f1

∂x1(a) ... _∂x^∂f1

n(a)

∂f2

∂x1(a) ... _∂x^∂f2

n(a)

... ...

∂fp

∂x1(a) ... _∂x^∂fp_n(a)









Sip= 1,J_f(a) se réduit à un vecteur de Rⁿ, gradf =

µ∂f

∂x₁(a), ..., ∂f

∂x_n(a)

¶

, (f ≡f₁),

appelé gradient def; (On le note gradf ou∇f).

Sin =p, le déterminant de la matrice J_f(a) s'appelle jacobien def en a et on écrit

detJ_f(a) = ∂(f₁, ..., f_n)

∂(x₁, ..., x_n)(a).

Exprimé en terme de matrice jacobienne, la proposition 6 (sur la diérentielle d'une fonction composée) fournit le résultat suivant :

Proposition 7 On a

J_g◦f(a) =J_g(f(a)).J_f(a).

Supposons de plus quef est bijective avecg=f⁻¹. D'oùdetJ_g◦f(a) = 1, et par conséquent

∂(f₁, ..., f_n)

∂(x₁, ..., x_n) = 1

∂(x₁, ..., x_n)

∂(f₁, ..., f_n) .

Cette formule est très utile car permet souvent d'éviter l'inversion explicite d'une fonction.

Proposition 8 (théorème des accroissements nis) : Soient Ω un ouvert de Rⁿ et f : Ω−→R une application,a∈Ω, h∈Rⁿ tels que le segment [a, a+h] ={a+th: 0≤ t ≤1} soit inclus dans Ω. On suppose que f est diérentiable sur Ω. Alors, il existe un réelθ∈]0,1[ tel que :

f(a+h)−f(a) = Xn

i=1

h_i∂f

∂x_i(a+θh),

avech= (h₁, ..., h_n)∈Rⁿ.

Remarque 2 Le théorème des accroissements nis n'est plus vrai pour les fonctions à valeurs vectorielles (en particulier à valeurs complexes).

Proposition 9 (Inégalité des accroissements nis) : Soient Ω un ouvert de Rⁿ et f : Ω−→R^p une application, a∈Ω, h∈E tels que le segment[a, a+h] soit inclus dans Ω. On suppose que f est continue sur [a, a+h], diérentiable sur ]a, a+h[ et que :

∃M,∀x∈]a, a+h[,kdf(x)k≤M.

Alors,

kf(a+h)−f(a)k≤M khk.

Soienta∈Rⁿ,Ωun voisinage deaetf : Ω−→R^p. Si les dérivées partielles ∂f

∂x_i existent au pointa∈Ωet sont continues ena, on sait quef est de classeC¹ ena. Si ces dérivées partielles possèdent elles-mêmes des dérivées partielles, on les appellent dérivées partielles secondes et on note

∂²f

∂x_j∂x_i(a) = ∂

∂x_j µ ∂

∂x_i

¶ (a).

Si ces dérivées partielles secondes existent au voisinage de a et sont continues en a, on dit que f est de classe C² en a. On dénit ainsi par récurrence les dérivées partielles kèmes et la notion de fonction de classe C^k. On dit enn qu'une fonction est de classeC^∞en asi toutes ses dérivées partielles, de tous les ordres, existent au voisinage deaet sont continues ena.

Exercice 9 Soientf :R² −→R etg:R−→R, dénies par f(x, y) =





g(xy)

g(x²) +g(y²) si(x, y)6= (0,0) 0 si(x, y) = (0,0)

, g(x) = (

e^−x12 si x6= 0 0 si x= 0 Montrer que la fonctionf est de classeC^∞ sur R²\{0}.

Proposition 10 (théorème ou lemme de Schwarz) : Soit f : Ω ⊂ Rⁿ −→ R et a ∈ intΩ. Soient i 6= j ∈ {1, ..., n}. Supposons que ∂²f

∂x_i∂x_j et ∂²f

∂x_j∂x_i existent en tous les points d'un voisinage U dea et que ces deux fonctions sont continues ena. Alors,

∂²f

∂x_i∂x_j(a) = ∂²f

∂x_j∂x_i(a).

Remarques 3 a) Pour désigner les dérivées partielles d'ordre≤kd'une fonctionf den variables de classeC^k, on utilise parfois la notation suivante :

D^αf = ∂^|α|f

(∂x_n)^αn...(∂x₁)^α1,

avecα= (α₁, ..., α_n) : n-uple d'entiers ≥0 et |α|=α₁+· · ·+α_n≤k.

b) Une variante du théorème précédent : Soient f : Ω⊂Rⁿ −→ R, a∈ intΩ et i6=j∈ {1,2, ..., n}. Sif est deux fois diérentiable en a, alors

∂²f

∂x_i∂x_j(a) = ∂²f

∂x_j∂x_i(a).

Exercice 10 Montrer que l'interversion des dérivées partielles n'est cependant pas légitime dans tous les cas.(Réponse : il sut de considérer l'exemple

f(x, y) = (

xy^x_x²2^−y+y²²,(x, y)6= (0,0) 0,(x, y) = (0,0)

On montre que _∂y∂x^∂2f (0,0) =−1 et _∂x∂y^∂2f (0,0) = 1).

Proposition 11 (Formule de Taylor) : Soient a ∈ Rⁿ, Ω un voisinage de a et f : Ω −→ R. Soit h ∈ Rⁿ, tel que le segment [a, a+h], soit contenu dans Ω. On suppose quef ∈ C^r+1 sur Ω. Alors, il existe θ∈]0,1[ tel que :

f(a+h) = f(a) + Xn

i=1

∂f

∂x_i(a)h_i+ 1 2

Xn

i1,i2=1

∂²f

∂x_i2∂x_i1(a)h_i1h_i2+· · ·

+1 r!

Xn

i1,...,ir=1

∂^rf

∂x_ir...∂x_i1(a)h_i1...h_ir

+ 1

(r+ 1)!

Xn

i1,...,ir+1=1

∂^r+1f

∂x_ir+1...∂x_i1(a+θh)h_i1...h_ir+1.

Soient Ω ⊂ Rⁿ, un ouvert, f : Ω −→ R^p et a ∈ Ω. On dit qu'un polynôme P :Rⁿ −→ R^p, de degré≤n est un développement limié def à l'ordre n au point a, si ||f(a+x)−P(x)|| = o(||x||ⁿ). Dans le cas où f est n-fois diérentiable au pointa, la formule de Taylor (proposition 11), exprime précisément quef admet un développement limitéP à l'ordrenau pointa.

Exercice 11 Quelle est la valeur approchée de(0,95)^2,01?

Proposition 12 (théorème d'inversion locale) : SoitΩun ouvert de Rⁿ et f : Ω−→Rⁿ,

une fonction de classe C¹. Soit x₀ ∈ Ω, b₀ = f(x₀). Supposons que df(x₀) soit inversible (i.e., detJ_f(x₀) 6= 0). Alors, il existe un voisinage U(x₀) de x₀ et un voisinageV(b₀) deb₀ tels que la restriction de f àU(x₀) soit une bijection deU(x₀) sur V(b₀). En outre, la réciproque

f⁻¹:V(b₀)−→U(x₀),

est de classeC¹. (Sif est de classeC^k,k∈N^∗, alors f⁻¹ est également de classeC^k. Exercice 12 Soit Ω ⊂Rⁿ, un ouvert et f : Ω −→ Rⁿ, une fonction de classe C¹. Soit x₀ ∈ Ω, b₀ = f(x₀). Supposons que : ∀x ∈ Ω, df(x) est un isomorphisme.

Montrer que :

a)∆⊂Ω,ouvert=⇒ f(4)⊂Rⁿ, ouvert.

b)f injective au voisinage de chaque point deΩ.

c)f peut ne pas être injective sur Ω tout entier même siΩ est connexe.

Exercice 13 Soit f : Ω ⊂Rⁿ −→ Rⁿ, une fonction de classe C¹ sur l'ouvert Ω et supposons que df(x) est un isomorphisme pour tout x ∈ Ω. Montrer que f(∆) est ouvert dans Rⁿ pour chaque ouvert∆⊂Ω.

Exercice 14 Sous les hypothèses de l'exercice précédent, montrer que a)f est injective au voisinage de chaque point de Ω.

b)f peut ne pas être injective sur Ω tout entier (même lorsque Ωest connexe).

Dénition 8 Un bijectionf d'un ouvertΩde Rⁿ sur un ouvert f(Ω)deRⁿ qui est de classe C^k, k ∈ N^∗, ainsi que sa réciproque f⁻¹ s'appelle un diéomorphisme de classeC^k.

Exercice 15 Plaçons nous dans la situation du théorème d'inversion locale dont nous utilisons les notations : Ω, f, x₀, U, V et f₁. Montrer que pour tout voisinage ouvert W ⊂U de x₀, f(W) est un voisinage ouvert de f(x₀), et f est bijective de W sur f(W) avec une réciproque de classe C¹ (C^k si f l'est).

Proposition 13 (théorème des fonctions implicites) : SoitΩ un ouvert deRⁿ×R^p etg: Ω−→R^p une fonction de classe C¹. Soit(a, b)∈Ω. Supposons que :

(i) g(a, b) = 0. (ii) la matrice

µ∂g_i

∂y_j(a, b)

¶

1≤i,j≤p

est inversible.

Montrer qu'il existe un voisinageU(a) deadans Rⁿ et un voisinage V(b) de bdans R^p, avec U(a)×V(b)⊂Ω, tels qu'il existe une fonction unique f :U(a) −→V(b), avec (i)' b=f(a).

(ii)' g(x, f(x)) = 0, ∀x∈U(a).

Cette fonction f est de classe C¹. De plus, si g est de classe C^k (k ≥ 1), f est de classeC^k.

Exercice 16 On considère la relation :

g(x₁, ..., x_n, y) = 0,

où g : Rⁿ×R −→ R est de classe C¹ et soit (a, b) ∈ Rⁿ×R avec g(a, b) = 0 et

∂g

∂y(a, b) 6= 0. Montrer que qu'il existe f dénie et de classe C¹ au voisinage de a dans Rⁿ avec

∂f

∂x_i(a) =−

∂g

∂xi(a, b)

∂g

∂y(a, b). Exercice 17 On considère deux surfaces d'équations :

x²(y²+z²) = 2, et

(x−z)²+y² = 1.

Peut-on représenter la courbe intersection de ces surfaces par des équations de la forme y =f₁(x) et z =f₂(x) au voisinage du point (1,1,1)? Si oui, calculer f₁⁰(1) etf₂⁰(1).

Exercice 18 On considère la courbe d'équation : g(x, y) =y²−2x³−x² = 0.

Peut-on représenter cette courbe par une équationx=f(y).

a) au voisinage du point (1,√ 3)? b) au voisinage du point (0,0)?

Si oui, calculer la dérivée de f au point considéré.

Exercice 19 On suppose que les variables réelles x, y, z sont liées par la relation f(x, y, z) = 0.Montrer que sous des hypothèses à préciser

∂x

∂y

∂y

∂z

∂z

∂x =−1.

Exercice 20 On considère la surface d'équation : xy−zlny+ expxz= 1.

Cette surface peut-elle être représentée,

a) par une équation de la formez=f(x, y) au voisinage du point(0,1,1)? b) par une équation de la formey=h(x, z) au voisinage du point(0,1,1)? Si oui, calculer les dérivées premières def et h au point considéré.

Exercice 21 Soitf l'application deR² dans R² dénie par (x, y)∈R²−→f(x, y) = (x²−y²−2xy, y)∈R².

1) Montrer que f dénit une bijection de U = {(x, y) ∈ R² : x > y} sur V = {(u, v)∈R² :u+ 2v² >0}.

2)f est-elle un homéomorphisme deU sur V ?

3)f est-elle un diéomorphisme de classeC¹ deU sur V ?

4) Soitg une fonction continument dérivable de Rdans R, et h l'application (x, y)∈R² −→h(x, y) =g(x²−y²−2xy)∈R.

4.1) Calculer ∂h

∂x et ∂h

∂y. 4.2) Montrer l'égalité

∀(x, y)∈R², (x+y)∂h

∂x+ (x−y)∂h

∂y = 0. (∗)

4.3) On cherche les fonctions de classeC¹ de U dans R vériant l'égalité (*).

(i) Soith₁ une fonction de classe C¹ vériant l'égalité (*). Montrer que l'appli- cationg₁ :

(u, v)∈V 7−→g₁(u, v) =h₁◦f(u, v)∈R, est de classeC¹ et vérie ∂g₁

∂v = 0.

(ii) On admet que si une fonctionH de classeC¹ deV dansR vérie ∂H

∂v = 0 alors H ne dépend pas de la variable u.

En déduire la forme générale des fonctions vériant l'égalité (*) dans U.

Exercice 22 SoientΩun ouvert deRⁿetf : Ω−→Rⁿune application diérentiable injective. Montrer que f est un diéomorphisme de Ωsur f(Ω)si et seulement si le rang de f en tout point de Ω estn.

Exercice 23 SoientΩ un ouvert de E etf : Ω−→F une application diérentiable de rang constant r. Montrer que pour tout a∈Ω, il existe

(i) un voisinage ouvert U(a) de adans Ω.

(ii) un voisinage ouvert V(b) deb=f(a) dans F, contenantf(U(a)).

(iii) un diéomorphisme localg:U(a)−→W deE et un diéomorphisme local h:V(b)−→W⁰ de F.

tels que l'on ait :

(h◦f ◦g⁻¹)(x₁, ..., x_n) = (x₁, ..., x_r,0, ...,0), ∀(x₁, ..., x_n)∈W.

Dénition 9 On dit qu'une fonction f : Rⁿ −→ R^p, est homogène de degré α si, pour λ∈^∗₊ et tout x∈R, on ait

f(λx) =λ^αf(x).

Sif etg sont homogènes de degré α, alorsf+g est homogène de degréα. Sif est homogène de degréα et g est homogène de degréβ, alors f g est homogène de degré α+β et f

g est homogène de degré α−β. Si f est homogène de degré α et s∈ R^∗, alors f^s est homogène de degré α^s. Si f est diérentiable et homogène de degréα, alors les dérivées partielles de f sont homogènes de degréα−1.

Proposition 14 Si f est diérentiable en x et homogène de degréα, alors on a la formule d'Euler :

Xn

k=1

x_k ∂f

∂x_k(x) =αf(x).

Exercice 24 Déterminerf : (R^∗₊)³−→Rhomogène de degréαen(y, z), β en(z, x) etγ en (x, y).

Exercice 25 SoitE,F deux espaces vectoriels réels normés etf :E−→F, vériant f(x+y) =f(x) +f(y), ∀x, y∈E.

On suppose que f est bornée sur la boule unité de E.Montrer que : a) ∀λ∈Q, ∀x∈E, f(λx) =λf(x).

b) f est continue en tout point de E. c) f est linéaire.

Exercice 26 On appelle cône (positif) d'un evn E une parte C de E vériant :

∀x ∈ E,∀λ > 0, λx ∈ C. Vérier que C = {(x, y) ∈ R² : y−x ≥ 0} est un cône positif et quef : (x, y)7→√

y−x est homogène (préciser son degré).

Exercice 27 Déterminer les fonctionsϕ de classe C¹ telles que : ϕ

µx y

¶

=f(x)g(y).

SoientΩun ouvert de Rⁿ,f : Ω−→Reta∈Ω.

Dénition 10 a) On dit quef possède enaun maximum (resp. minimum) local ou relatif s'il existe un voisinage V dea inclus dans Ω tel que :

∀x∈ V, f(x)≤f(a) (resp. f(x)≥f(a)).

b) On dit que f possède en aun maximum (resp. minimum) global si :

∀x∈Ω, f(x)≤f(a) (resp. f(x)≥f(a)).

c) Un extremum est un maximum ou un minimum.

Proposition 15 (Condition nécessaire) : Sif est diérentiable en aet présente un extremum ena, alors df(a) = 0.

SoitΩ un ouvert deRⁿ,f : Ω−→Rune fonction de classe C² eta∈Ω tel que : df(a) = 0.

Dénition 11 On appelle matrice hessienne (ou tout simplement hessienne) de f ena, la matrice suivante :

H(f, a) =









∂²f

∂x²₁(a) _∂x^∂₁²_∂x^f_n(a) ... _∂x^∂₁²_∂x^f_n(a)

∂²f

∂x2∂x1(a) ^∂_∂x^2f2

2(a) ... _∂x^∂₂²_∂x^f_n(a)

... ... ...

∂²f

∂xn∂x1(a) _∂x^∂2f

n∂x2(a) ... _∂x^∂2f2 n(a)









=

µ ∂²f

∂x_j∂x_i(a)

¶

1≤i,j≤n

.

A la matrice hessienne H de f en a (comme toute matrice carée d'ordre n), on associe la forme quadratiqueQ:Rⁿ−→R, dénie par

Q(h) = Xn

i,j

∂²f

∂x_j∂x_i(a)h_ih_j, ∀h= (h₁, ..., h_n)∈Rⁿ.

Cette forme quadratique est parfois notéed²f(a)et sa valeur en h,d²f(a)(h). Rap- pelons qu'une forme quadratiqueQest dite

- dénie positive si∀h∈Rⁿ, h6= 0, Q(h)>0. - semi-dénie positive si∀h∈Rⁿ, Q(h)≥0. - dénie négative si∀h∈Rⁿ, h6= 0, Q(h)<0. - semi-dénie négative si∀h∈Rⁿ, Q(h)≤0. - indénie si∃h, g∈Rⁿ avecQ(h)>0 etQ(g)<0.

Proposition 16 (Conditions susantes) : Soit Ω un ouvert de Rⁿ, f : Ω −→ R une fonction de classeC² eta∈Ω tel que : df(a) = 0.

1) Sid²f(a) est une forme quadratique dénie positive, alors f possède un minimum local au pointa.

2) Sid²f(a) est une forme quadratique dénie négative, alorsf possède un maximum local au pointa.

3) Si la forme quadratiqued²f(a) est indénie, alorsf n'a pas d'extremum au point a.

Proposition 17 Sif possède un minimum local (resp. un maximum local) au point a, alors d²f(a) est semi-dénie positive (resp. semi-dénie négative).

Remarque 3 On démontre en algèbre qu'une forme quadratique Q associée à une matrice symétrique H est dénie positive (resp. semi-dénie positive) si et seule- ment si toutes les valeurs propres de la matrice H sont strictement positives (resp.

positives).

Proposition 18 (Conditions susantes) : Soit Ω un ouvert de Rⁿ, f : Ω −→ R une fonction de classeC² eta∈Ω tel que : df(a) = 0.

1) Si les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont strictement positives, alors f possède un minimum local au point a.

2) Si les valeurs propres de la matrice hessienneH(f, a) sont strictement négatives, alors f possède un maximum local au point a.

3) S'il existe deux valeurs propresλ₁ etλ₂ deH(f, a)de signe contraire,f ne possède ni maximum, ni minimum local au pointa.

Remarque 4 Comme f est de classe C², on montre que la matriceH(f, a) est sy- métrique et toutes ses valeurs propres sont réelles. De plus, toutes ses valeurs propres sont strictement positives si et seulement si H(f, a) est dénie positive. De même, toutes ses valeurs propres sont strictement négatives si et seulement si H(f, a) est dénie négative.

Exercice 28 (Conditions nécessaires) : Dans les hypothèses de la proposition pré- cédente, montrer que :

1) Sif possède un minimum local au pointa,toutes les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont positives ou nulles.

2) Sif possède un maximum local au pointa,toutes les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont négatives ou nulles.

Dans le cas de fonctions de deux variablesf(x, y)de classe C², on peut se passer du calcul explicite des deux valeurs propres de la matrice hessienne et se contenter du signe du déterminant. Soitaun point critique, i.e., tel que :df(a) = 0. Posons

r = ∂²f

∂x²(a), s= ∂²f

∂x∂y(a), t= ∂²f

∂y²(a).

La matrice hessienne

H=

µ r s s t

¶ , a pour déterminant :

detH=rt−s². L'équation caractéristique est alors

det

µ λ−r −s

−s λ−t

¶

=λ²+ (r+t)λ+ (rt−s²) = 0.

SidetH <0, les deux racines sont de signes contraires et la matrice hessienne est indénie. On n'a donc pas d'extremum en a. On dit dans ce cas que f admet un point col ou point selle ena. Si detH>0, les deux racines sont de même signe etf admet un extremum ena. C'est un minimum local sir >0 et un maximum local si r <0. En résumé, on a

Proposition 19 (Conditions susantes dans le cas de fonctions de deux variables) : 1) SidetH>0 et r >0, alors f admet un minimum local au point a.

2) SidetH>0 et r <0, alors f admet un maximum local au point a. 3) SidetH<0, alorsf n'admet pas d'extremum local au point a.

Remarque 5 Si detH= 0, il faut faire une étude plus complète de f. Exercice 29 Déterminer les extremums de la fonction :

f(x, y) =x³+ 3xy²−15x−12y.

Exercice 30 Déterminer les extremums de la fonction : f(x, y) = sinx.siny.

Les extremums étudiés précédemment sont dites libres. Mais bien des cas, on cherche à maximiser ou à minimiser une fonction, mais en tenant compte de certaines contraintes : on parle dans ces cas d'extremums liés.

Dénition 12 Soient f : Ω ⊂ Rⁿ −→ R et g : Ω ⊂ Rⁿ −→ R^p, deux fonctions données et a ∈ Ω. On dit que f possède au point a un maximum local sous les contraintes g(x) = 0 si

∃ε >0,∀x∈A={x∈Ω :g(x) = 0},||x−a||< ε=⇒f(x)≤f(a).

La fonctionf possède au point a un minimum local sous les contraintes g(x) = 0 si

∃ε >0,∀x∈A={x∈Ω :g(x) = 0},||x−a||< ε=⇒f(x)≥f(a).

Si f possède au point a un maximum ou un minimum local sous les contraintes g(x) = 0, on dit que f possède au point a un extremum local sous les contraintes g(x) = 0.

Proposition 20 Soient f : Ω⊂ Rⁿ −→ R et g : Ω ⊂ Rⁿ −→ R^p, deux fonctions de classeC¹. Supposons que f possède au point a un extremum sous les contraintes g(x) = 0et que la matrice jacobienne J_g(a) deg au point asoit de rang p.Alors, il existe des constantesλ₁, ..., λ_p (appelées multiplicateurs de Lagrange) telles que :

∂f

∂x(a) = Xp

i=1

λ_i∂g_i

∂x(a).

Méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si le pointa est un extremum local def sous les contraintesg(x) = 0, alors les relations suivantes permettent en général de déterminera :

i) ∂f

∂x(a) = Xp

i=1

λ_i∂g_i

∂x(a). ii) g(a) = 0.

Exercice 31 Chercher un extremum de la fonction : f(x, y) =x²₁+x²₂, sous la contrainte :g(x₁, x₂) =x²₁−x²₂−1 = 0.

Exercice 32 Chercher les extremums de la fonction : f(x, y, z) =xlnx+ylny+zlnz, sous la contrainte :x+y+z=a, (a >0).

Exercice 33 Déterminer les extremums de la fonctionf dénie surR³ par f(x, y, z) = expx+ expy+ expz,

lorsque(x, y, z) est soumis à la contrainte : x+y+z= 0.

Exercice 34 Soitf, g∈ C¹(R³,R),S={(x, y, z)∈R³ :g(x, y, z) = 0}.On suppose que la diérentielle de g est non nulle en tout point de S. Montrer que si f admet un extremum surS ena∈ S, il existe λ∈R,tel que : df(a) =λdg(a).

Exercice 35 SoitA∈M_n(R)symétrique dénie positive etf ∈Rⁿ.On leur associe l'application

F :Rⁿ−→R, x7−→F(x) = 1

2 < Ax, x >−< f, x > . a) Etudier la diérentiabilité deF.

b) Calculer gradF.

c) Déterminer les extremums de F.

Exercice 36 Soitn∈N^∗.Dans ce problème, on considère l'espace vectorielRⁿmuni du produit scalaire canonique et on désigne parf une fonction de classe C² sur Rⁿ. On dit quef est convexe sur Rⁿ si :

∀(x, y)∈(Rⁿ×Rⁿ),∀ ∈[0,1], f(λx+ (1−λ)y)≤λf(x) + (1−λ)f(y).

1) Soitg une fonction de classe C² et convexe surR telle que : ∃x₀ ∈R, g⁰(x₀) = 0.

Montrer queg admet un minimum en x₀.

2) a) Montrer quef est convexe surRⁿsi et seulement si pour tout(x, y)∈(Rⁿ×Rⁿ), la fonctionϕ_x,y dénie surR par :

∀t∈R, ϕ_x,y(t) =f(x+yt), est convexe sur R.

b) Montrer que pour tout (x, y) ∈ (Rⁿ×Rⁿ), ϕ_x,y est de classe C² sur R. Dé- terminer alors, pour tout (x, y) ∈ (Rⁿ×Rⁿ), ϕ⁰_x,y et ϕ⁰⁰_x,y en fonction des dérivées partielles de f.

c) Soient x∈Rⁿ etA_x∈ M_n(R), A_x= (a_ij)_1≤i,j≤n,la matrice dénie par

∀(i, j)∈[1, n]², a_ij = ∂²f

∂x_i∂x_j(x).

Soit alorsψ_x l'endomorphisme de Rⁿ dont la matrice dans la base canonique de Rⁿ estA_x.Montrer que les valeurs propres deA_x sont positives ou nulles si et seulement

si∀y∈Rⁿ,hψ_x(y), yi ≥0.

d) En déduire que f est convexe sur Rⁿ si et seulement si pour tout x ∈ Rⁿ, toutes les valeurs propres deA_x sont positives ou nulles.

3) Soitx₀ ∈Rⁿ.Montrer que si f est convexe sur Rⁿ et si ∀i∈[1, n], ∂f

∂x_i(x₀) = 0, alors f admet un minimum en x₀.