Cours - Dérivé

Dérivabilité

I) Définitions et généralités

Définition Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I=(a,b)

. Soit

x

0 un élément de

I

. On appelle taux d’accroissement de

f

en

x

0 la fonction :

0 0

) ( ) (

x x

x f x x f

−

→ −

.

Définition 1) On dit que

f

est dérivable en

x

0 si le taux d’accroissement de

f

en

x

0 admet une limite finie en

x

0:

0 0

) ( ) lim (

0

x x

x f x f

x

x

−

−

→

On appelle cette limite dérivée (ou nombre dérivée) de

f

en

x

0 et on la note

f ' ( x

₀

)

. Définition 2) On dit que

f

est dérivable en

x

0 si la limite:

h

x f h x f

h

) ( )

lim (

^{0 0}

0

− +

→ existe et est finie.

Définition 3) On dit que

f

est dérivable en

x

0 s’il existe un nombre réel

f ' ( x

₀

)

et une fonction

ε

avec la propriété

lim ( ) 0

0

=

→

h

ε h

, tels que

) ( )

( ' )

( )

( x

₀

h f x

₀

h f x

₀

h h

f + − = + ε

.

On montre que les trois définitions sont équivalentes.

I.2) Fonction dérivée

Lorsqu’une fonction

f

admet un nombre dérivé en tout point

x

0 d’un intervalle

I

, on dit que

f

est dérivable sur

I

. On définit alors la fonction dérivée, notée

f '

, qui à tout point

x

0 de

I

associe le nombre dérivé

f ' ( x

₀

)

.

I.3) Interprétation graphique du nombre dérivé

Soit A( ) et B( ) 2 points du graphique de la fonction

f

. (On note ). Le taux d’accroissement

) (

,

₀

0

f x

x x

₀

+ h , f ( x

₀

+ h ) x

x x

h = −

₀

= Δ

h

x f h x

f (

₀

+ ) − (

₀

)

de

f

en

x

0 représente le coefficient directeur de la droite sécante (AB). Lorsque le point B se rapproche du point A, la sécante (AB) s’approche de la tangente à la courbe en

x

₀ et le taux d’accroissement de

f

en

x

₀ tend vers la dérivée de

f

en

x

0.

La dérivée de

f

en

x

0 représente donc le coefficient directeur de la tangente au graphique de

f

en

x

0.

Détermination de l’équation de la tangente T au graphique de

f

, au point A d’abscisse

x

0. Soit M(x, y) un point quelconque de cette tangente, M distinct de A.

Le coefficient directeur de T est

f ' ( x

₀

)

et

0 0 0

) ) (

(

' x x

x f x y

f −

= −

.

Donc l’équation de T est:

y = f ( x

₀

) + ( x − x

₀

) f ' ( x

₀

)

. Exemple Soit la fonction

f

définie sur R par

f ( x ) = − x

²

+ 2

.

On cherche une équation de la tangente T au point d’abscisse

x

₀ = 2. On calcule

f ' ( 2 )

^:

4 ) 4 ( 4 lim

) lim 3 2 ( 3 ) 2 lim ( ) 2 ( ) 2 lim (

0 2

0 2

2

0

0

+ − = − + + − − + = − − = − − = −

→

→

→

→

h

h h h h

h h

f h f

h h

h h

L’équation de T est donc :

7 4 ) 2 ( 4 1 ) 2 ( ' ) 2 ( ) 2

( + − = − − − = − +

= f x f x x

y

^.

I.4) Interprétation numérique du nombre dérivé

D’après les définitions, lorsque

x

est voisin de

x

0,

h

est voisin de 0 et on a l’approximation :

) ( ' ) (

) ( )

( x f x

₀

x x

₀

f x

₀

f ≈ + −

La fonction affine

x → f ( x

₀

) + ( x − x

₀

) f ' ( x

₀

)

s’appelée approximation affine de

f

en

x

₀. En représentation graphique, près de

x

0, la courbe est approximée par la droite tangente en

x

0.

I.5) Théorème (Dérivabilité et continuité):Toute fonction dérivable sur un intervalle

I

est continue sur

I

. Corollaire : Si une fonction n’est pas continue sur un intervalle

I

, alors elle n’est pas dérivable sur

I

.

Exemple : La fonction module

f ( x ) = x

est continue sur R, mais n’est pas dérivable en

x=0

.

1

) 0 (

' = −

f

g et

f

_d

' ( 0 ) = + 1

, donc

)

0 ( ' ) 0 (

'

_d

g

f

f ≠

,

donc f n’est pas dérivable en O.

I.6) La notion de différentielle

La formule d’approximation affine de

f

en

x

0,

f ( x ) ≈ f ( x

₀

) + ( x − x

₀

) f ' ( x

₀

)

s’écrit :

, où et

) ( ) ( ' )

( x

₀

f x

₀

x x

₀

f ≈ × Δ

Δ Δ f ( x

₀

) Δ x ( x

₀

)

sont les variations de la fonction et de l’argument, en

x

0. Pour des « petites » variations on a :

) ( ) ( ' )

( x

₀

f x

₀

dx x

₀

df = ×

où

df

est la différentielle de la fonction

f

et

df ( x

₀

)

la différentielle calculée en

x

0.

II) Opérations algébriques avec les dérivés

II.1) Théorème : Dérivée de la somme, du produit et du rapport de deux fonctions

Soit

f

et

g

fonctions définies sur un intervalle

I

. Si elles sont dérivables en

x

0œ

I,

alors les fonctions :

f + g, α f, f g, f/g

sont dérivables en

x

0œ

I,

et on a :

) ( ' ) ( ' ) ( )'

( f + g x

₀

= f x

₀

+ g x

₀ ;

( α f )' ( x

₀

) = α f ' ( x

₀

)

, pour tout α réel

) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( )'

( f × g x

₀

= f x

₀

g x

₀

+ f x

₀

g x

₀

( ^{g( ) )} ) ^{( ) ' ( ) , ( ) 0}

( ) ( ) '

(

₂

0

0 0

0 0 0

'

− ≠

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ si g x

x

x g x f x g x x f

g f

II.2) Dérivation d’une fonction composée

Soit

I

et

J

des intervalles et les fonctions

f

et

g

,

f : I → J ; g : J → R

. Si

f

est dérivable en

x

0 œ

I

et

g

est dérivable en

y = f(x

0

) œ J,

alors la fonction

g

o

f : I → R

est dérivable en

x

0 et on a :

( ( ) ) ' ( ).

' ) )(

( g o f x

₀

= g f x

₀

× f x

₀

Les dérivées des fonctions composées élémentaires :

Fonction Dérivée Conditions

u

r

ru

^r−1

u ' u > 0 , r ∈ R

u u

u 2

' _{u > 0}

) ln(u

u

u' u > 0

e

u

u' e

^u

a

u

u ' a

^u

ln( a )

)

sin(u u ' cos( u )

)

cos(u − u ' sin( u )

) tan(u

) ( cos

'

2

u

u cos( u ) ≠ 0

) tan( u c

) ( sin

'

2

u

− u sin( u ) ≠ 0

) arcsin( u

1

2

' u u

− u

²

< 1

) arccos(u

1

2

' u u

− − u

²

< 1

) arctan( u

1

2

' u u + )

tan(u arcc

1

2

' u u

− +

Exemples :

1. On considère la fonction

f

définie sur R+ par :

f ( x ) = x

²

+ x

.

On peut écrire

f ( x ) = u

avec

u ( x ) = x

²

+ x

. La fonction u est strictement positive sur

( 0 , ∞ )

. Donc

f

est dérivable sur

( 0 , ∞ )

^{et on a}

u f u

2

' = '

, donc :

x x f x

+

= + 2

2

1

' 2

, pour tout

x ∈ ( ) 0 , ∞

.

2. En pratique, s’il n’y a pas d’ambiguïté sur les intervalles, on ne précise plus la composition : Si

^{f ( x ) =} ( ^{2 x}

²

^{− x + 1} )

⁶, alors

^{f ' ( x ) = 6 ( 4 x − 1 )} ( ^{2 x}

²

^{− x + 1} )

^5.

II.3) La dérivée des fonctions réciproques

Soit

I

et

J

des intervalles et la fonction

f : I → J

bijective. Si

f

est dérivable en

x

₀ œ

I

et

,

alors sa fonction réciproque est dérivable en

y

0

= f(x

0

) œ J

et on a :

0 ) ( ' x

₀

≠

f f

⁻¹

: J → I

) . ( ' ) 1 )(

(

0 0

1

x y f

f

⁻

=

Exemples :

, ( 1 , 1

1 ) 1 ( (arcsin)'

2

∀ ∈ −

= − y

y y )

;

, ( 1 , 1 )

1 ) 1

( (arccos)'

2

∀ ∈ −

− −

= y

y y

y R

y y ∀ ∈

= + , 1 ) 1 (

(arctan)'

₂ ;

y R

y y

arcc ∀ ∈

− +

= ,

1 ) 1 ( tan)'

(

₂

III) Applications de la dérivée à l’étude des fonctions: Variations et extremums d’une fonction III.1) Rappels fonctions monotones : On dit qu’une fonction

f

est

- croissante sur un intervalle

I,

si pour tout

x

1 ≤

x

2 de

I

, on a

f

(

x

1) _≤

f

(

x

2), ou

( ) ( ) 0

1 2

1

2

≥

−

− x x

x f x f

- strictement croissante sur

I,

si pour tout

x

1 <

x

2 de

I

, on a

f

(

x

1) <

f

(

x

2), ou

( ) ( ) 0

1 2

1

2

>

−

− x x

x f x f

- décroissante sur

I,

si pour tout

x

1 ≤

x

2 de

I

, on a

f

(

x

1)

≥ f

(

x

2), ou

( ) ( ) 0

1 2

1

2

≤

−

− x x

x f x f

- strictement décroissante sur

I,

si pour tout

x

1 <

x

2 de

I

, on a

f

(

x

1) >

f

(

x

2), ou

( ) ( ) 0

1 2

1

2

<

−

− x x

x f x f

III.2) Théorème 1 (Le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction) Soit

f

une fonction dérivable sur un intervalle

I

.

1.

f

est constante sur

I

si et seulement si

f

’ = 0 sur

I

. 2.

f

est croissante sur

I

si et seulement si

f

‘ > 0 sur

I

. 3.

f

est décroissante sur

I

si et seulement si

f

’< 0 sur

I

. Exemples :

1. On considère la fonction

f

définie sur R ( fig.(a) ) par

f

(

x

) =

x

³. On a

f

‘(

x

) = 3

x

². La dérivée est toujours strictement positive sauf en 0 où elle s’annule.

La fonction

f

est donc strictement croissante sur R.

fig.(a) fig.(b) 2. On considère la fonction

g

définie sur R ( fig.(b) ) par :

( )

[ ]

( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

>

−

−

∈

−

<

+

=

1 , 1

1 , 1

, 0

1

, 1 )

(

3 3

x si x

x si

x si x

x

g

. Alors

( )

[ ]

( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

>

−

−

∈

−

<

+

=

1 , 1 3

1 , 1

, 0

1

, 1 3 ) ( '

2 2

x si x

x si

x si x

x g

La dérivée

g

‘ est toujours positive. De plus, elle est nulle sur tout intervalle [−1, 1].

Par conséquent, la fonction

g

est croissante (non strictement) sur R.

fig.(c)

Remarque 1. Soit

h

la fonction définie sur (−2 ,−1)U(1 , 2) par :

( )

⎩ ( )

⎨ ⎧

∈

−

−

∈

= −

2 , 1 , 1

1 , 2

, ) 1

( si x

x x si

h

.

On a clairement

h

’ = 0 sur (−2 ,−1)U(1 , 2). Cependant

h

n’est pas constante, d’où la nécessité de la condition «

I

est un intervalle » dans le théorème précédent.

On a

h

=constante sur chaque intervalle, mais on a une autre constante sur chaque intervalle.

Remarque 2. Les fonctions

x x

f 1

)

( =

^et

a x x

g = − 1 )

(

( fig.(c) ) sont strictement décroissantes sur R, mais elles n’ont pas d’extremum. Le théorème ne s’applique pas, car les fonctions ne sont pas continues en

x=0

, donc pas dérivables en

x=0

.

Définitions points d’extremum

1. Une fonction

f

admet un maximum local en

x

0, s’il existe un intervalle ouvert J du type

( x

₀

− ^ε , x

₀

+ ^ε ) ,

(avec

ε

> 0) tel que pour tout

x

de J, on ait

f

(

x

) <

f

(

x

0).

2. Une fonction

f

admet un minimum local en

x

0, s’il existe un intervalle ouvert J du type

( x

₀

− ε , x

₀

+ ε ) ,

(avec

ε

> 0) tel que pour tout

x

de J, on ait

f

(

x

) >

f

(

x

0).

3. On appelle un extremum local un point qui est soit un maximum local, soit un minimum local.

4. Une fonction peut avoir plusieurs points d’extremum local (min ou max) sur un même intervalle

I

. Le plus grand d’entre eux est appelé extremum global (minimum ou maximum) de

f

sur

I

.

Exemples : La fonction f a :

- 3 maxima locaux, en a, c et e - 2 minima locaux en b et d - Le maxima global en e - Le minima global en b

Remarque: Si a et b représentent les extrémités d’un l’intervalle

I

(avec éventuellement a et/ou b infinies), l’intérieur de

I

est l’intervalle ouvert (a , b).

Théorème 2 (La condition nécessaire d’extremum)

Soit

f

une fonction dérivable sur un intervalle

I

et

x

0 un point intérieur à

I

. Si

f

admet un extremum local en

x

0, alors f ’(x0) = 0.

Interprétation géométrique : En un point d’extrema la tangente au graphique est parallèle à l’axe (

Ox

).

Théorème 3 (La condition suffisante d’extremum)

Soit

f

une fonction dérivable sur un intervalle

I

et

x

0 un point intérieur à

I

.

1. Si

f

‘ s’annule en

x

0 en changeant de signe, alors

f

a un extremum local en

x

0. 2. Si

f

‘ s’annule en

x

0 et

f

’’ > 0, alors

f

a un minimum local en

x

0.

3. Si

f

‘ s’annule en

x

₀ et

f

’’ < 0, alors

f

a un maximum local en

x

₀.

4. Si

f

‘ s’annule en

x

0 et

f

’’ = 0, alors il faut étudier la dérivée suivante en

x

0.

Si f ‘ s’annule en x0 et f ‘(x)≤ 0 pour x ≤ a et f ‘(x) 0 pour x a , alors f est décroissante à gauche de a et croissante à droite de a, donc elle admet un minimum local en a.

≥ ≥

Si f ‘ s’annule en x0 et f ‘(x) 0 pour x ≤ a et f ‘(x) ≤ 0 pour x a , alors f est croissante à gauche de a et décroissante à droite de a, donc elle admet un maximum local en a.

≥ ≥

^Si

^f

‘ s’annule en

x

0 mais la fonction

f

ne change pas de monotonie en

x

₀ alors ce point n’est pas un extrema de

f.

Conclusions : Il ne suffit pas de vérifier la condition f ’(x0) = 0 pour conclure que la fonction admet un extrema en

x

0. Il faut aussi vérifier que la fonction

f

change de monotonie en

x

0.

Exemple : La fonction

f : R → R , f ( x ) = x

³

,

(fig.3), a la dérivée

f ' ( x ) = 3 x

²

,

qui s’annule en

x=0

, mais n’a ni un minimum ni un maximum en

x=0

.