ENSEEIHT — 2`ıeme Ann´ee Informatique & Math´ematiques Appliqu´ees Contrˆole optimal
2014–2015 TP Bang–Bang
TP : Tir multiple et probl` eme Bang–Bang
Olivier Cots & Joseph Gergaud
1 Introduction
L’objectif est ici la r´esolution num´erique des probl`emes de contrˆole optimal
`
a solution Bang–Bang, c’est-`a-dire des probl`emes o`u le contrˆole optimal est discontinu. On consid`ere pour cela le probl`eme simple suivant :
(P)
M inR2
0 |u(t)|dt
˙
x(t) =−x(t) +u(t)
|u(t)| ≤1 x(0) =x0 = 0 x(2) =xf = 0.5
2 Choix du point de d´ epart
2.1 Etude de´ (P)
1. Visualiser la fonction de tir associ´ee `a (P) ;
2. Peut-on ici calculer la d´eriv´ee de la fonction de tir `a l’aide des ´equations variationnelles vues au TP pr´ec´edent ?
3. R´esoudre (P) par le tir simple. On prendra comme erreurs locales re- lative et absolueRelTol=AbsTol=1.e-10et on consid`erera les points de d´epartsp0 =−1.1,−0.5; 0; 0.5.
2.2 M´ethodes homotopiques 1
On consid`ere la famille de probl`emes de contrˆole optimal suivante :
(Pε)
M inR2
0(|u(t)| −ε(ln|u(t)|+ ln(1− |u(t)|)))dt
˙
x(t) =−x(t) +u(t)
|u(t)|<1 x(0) =x0 = 0 x(2) =xf = 0.5
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Contrˆole optimal Pb Bang–Bang
La minimisation du hamiltonien est donn´ee par
uε(p) =
−2εsign(p) ψ(p)−2ε−√
ψ2(p)+4ε2 si p6= 0,
±2ε
−1−2ε−√
1+4ε2 si p= 0, o`uψ(p) =−1 +|p|.
Remarque 2.1. Dans le code on prendra uε(0) = −2ε
−1−2ε−√
1 + 4ε2. On donne aussi pourp6= 0
u0ε(p) =
2ε
1− √ ψ(p)
ψ2(p)+4ε2
(ψ(p)−2ε−p
ψ2(p) + 4ε2)2. 1. Pour ε= 1
(a) Visualiser la fonction de tir ;
(b) R´esoudre (Pε) par le tir simple. On prendra comme erreurs locales relative et absolue RelTol=AbsTol=1.e-10 et on consid`erera les points de d´eparts p0 =−10,−1,0,1,10.
2. R´esoudre successivement (Pε) pour ε= 1,0.5,0.1,0.01,0.0001. Pour r´esoudre le probl`eme pour εi+1 on prendra la solution trouv´ee pour εi.
2.3 R´esolution par tir multiple
Sachant que sur ce petit probl`eme le contrˆole optimal est ´egal `a
u(t) =
(0 sit < t1
sign(p(t)) sit > t1,
on peut trouver la solution en recherchant un z´ero de la fonction de tir multiple
S :R4 −→ R4
p0
t1 z1
7−→
z(t1, t0, z0)−z1
z1(tf, t1, z1)−0.5 p1−1
,
o`uzi = xi pi
T
etz(ti, ti−1, zi−1) est la solution du syst`eme diff´erentiel en ti avec la condition initiale z(ti−1) =zi−1.
1. R´esoudre le probl`eme par le tir multiple d´efini ci-dessus.
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