4éme Année * Section : Mathématique Série d’exercices Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893 Conique
EXERCICE N° 1
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,i,j).
Cocher la réponse exacte
1°/ La parabole de foyer F(3,0) et de directrice D :x = -3 a pour équation : a) y2 = 3x b) x2 = 6y c) y2 = 6x 2°/ L’ensemble des points M(x,y) vérifiant : x2 + y2 = 1 est une ellipse de foyer : a) F( 3,0) b) F(
2
3, 0) c) F(0, 2
3)
3°/ L’ensemble des points M(x,y) vérifiant : 4(x - 8)2 - 9 (y + 5)2 = 1 est une hyperbole de centre le point A : a) de coordonnées A(-8, 5) b) de coordonnées A(8, -5) c) de coordonnées A(4, -9) 3°/ L’ensemble des points M(x,y) vérifiant : 4(x - 8)2 + 9 (y + 5)2 = 36 est une ellipse d’excentricité : a) e =
2
1 b) e = 2
3 c) e = 4
3 EXERCICE N° 2
Répondre par vrai ou faux :
1°/ Il existe une seule parabole de foyer F et de directrice D fixes.
2°/ Une hyperbole équilatère a quatre axes de symétries.
3°/ Deux hyperbole ayant les mêmes asymptotes sont égales.
4°/ Une droite qui rencontre une parabole en un seul point lui est tangente.
5°/ Deux coniques ont même excentricité et même directrice sont égales.
EXERCICE N° 3 :
Pour chacune des paraboles suivantes, déterminer son foyer, son sommet et une équation de sa directrice, puis la tracer. a) y2 = 8 x b) ) y2 = - 8 x c) x2 = 10 y d) x2 = - 6 x EXERCICE N° 4:
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,i,j).
On considère la conique P d’équation : y2 + 2 x – 6y + 10 = 0. Caractériser P.
EXERCICE N°5:
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,i,j).
Soit P une parabole de foyer F , de directrice D et d’équation : y2 = 2 px.
Soit M0 ( x0, y0 ) un point de P distinct de O et H0 son projeté orthogonale sur D.
1°/ Montrer que la tangente T à P en M0 est la médiatrice du segment [ FH0].
2°/ La tangente T coupe D en T0.Montrer que l’angle M0FT0. EXERCICE N °6 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,i,j).
Soit S la similitude plane de centre (0, 1) d’angle 4
et de rapport 2
A tout point M d’affixe z = x + i y, S associe le point M’ d’affixe z’ = x’ + iy’.
1°/ Exprimer z’ en fonction de z. Quelle est la similitude réciproque S’ de S ? 2°/En déduire l’expression de x’ et y’ en fonction de x et y.
3°/ Soit C la conique dont une équation cartésienne dans le repère (O, u, v) est : x2 + y2 – 2xy + x - 3y = 0 a) Déterminer une équation de la courbe C’image de C par S.
b) En déduire que C’est une parabole dont on précisera le sommet, le foyer et la directrice.
c) Tracer C’ à laide des éléments trouvés.
4°/ En déduire la nature de C et la construire.
Série d’exercice : conique 1 Dhahbi A
Série d’exercices : 4éme Maths EXERCICE N° 7:
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,i,j).
On considère la conique H d’équation : 9x2 - 4y2 - 18 x – 16y - 43 = 0.
Donner la nature de H, déterminer ses axes, ses sommets et éventuellement ses asymptotes et dessiner H.
EXERCICE N° 8:
Soient A et B deux points distincts du plan, I le milieu de [AB]. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : MI2 = MA . MB (on prend AB = 2)
EXERCICE N° 9:
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,i,j).
Soit D la droite du plan d’équation x = 6 et F le point de coordonnées (8, 0).
Soit un réel de [0, 2
[. On appelle H0 l’ensemble des points M du plan tels que:
MH MF =
cos
1 ou H étant le projeté orthogonale de M sur D.
1°/ Déterminer la nature de H0 suivant puis construire H0. 2°/ Ecrire une équation cartésienne de
6
H et préciser les éléments caractéristiques.
EXERCICE N° 10:
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,i,j).
On considère la conique H d’équation : 4x2 - 9y2 + 16 x + 18y - 29 = 0.
1°/ Montrer que H est une hyperbole, déterminer son centre, ses axes, ses sommets et éventuellement ses asymptotes et dessiner H.
2°/ Soit les vecteurs u = 3i + 2j et v = 3i - 2 j. Donner l’équation de H dans le repère (,u,v) EXERCICE N° 11 :
Soit dans le plan rapporté au repère orthonormé direct (O,i,j) la courbe (C) d’équation:xy -2x -3y -1 = 0 et la transformation f du plan qui à tout point M(z), associe le point M’(z) tel que: z’ =
2
1iz – 2 + 2i.
1°/ Montrer que f admet un point invariant unique que l’on déterminera. Reconnaître la nature de f et donner ses éléments caractéristiques.
2°/ Exprimer les coordonnées (x, y) du point M en fonction des coordonnées (x’ ,y’) de M’ . 3°/Montrer que l’image de la courbe (C) par f est la courbe (C) d’équation: x2 - y2 - x + 3y - 9 = 0
4°/ a) Montrer que la courbe (C’) est une hyperbole dont on donnera dans le repère (O,i,j) les coordonnées du centre et les sommets . Représenter (C’) dans le repère (O,i,j).
b) Déterminer la nature de (C) EXERCICE N° 12 :
Soit (O; i;j) un repère orthonormé du plan et f : P P M(z) M’(z) / z’ = 2z- z2 1°/ Soit M1 et M2 les points d’affixes respectives z2 et 2z ou z C
Montrer que OM1M2M’ est un parallélogramme
2°/ Soit H l’ensemble des points M(z) tels que z’ soit un nombre imaginaire pure , a) Déterminer une équation cartésienne de H
b) Montrer que H est une hyperbole passant par O
c) Ecrire une équation cartésienne de la tangente T à H en O.
EXERCICE N°13 :
Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j).
On considère la conique E d’équation : x2 + 9y2 + 4 x - 18y - 23 = 0.
Montrer que E est une ellipse, déterminer son centre, son excentricité, ses sommets et ses foyers et dessiner E.
Série d’exercice : conique 1 Dhahbi A
Série d’exercices : 4éme Maths EXERCICE N° 14:
Soit D une droite du plan, F un point dont la distance à D est égal à 2,25 (unité 1cm) et la droite passant Par F et perpendiculaire à D.
1°/ Déterminer l’ensemble (E) de points M du plan tels que MH
MF = 0,8. H étant le projeté orthogonale de M sur D. Donner la nature de ( E ). Préciser le directrice, les foyers et les sommets de ( E ).
2°/ Déterminer une équation cartésienne de (E) dans un repère orthonormé formé paret la médiatrice de [AA’].
EXERCICE N° 15:
Le plan orienté est rapporté au repère orthonormé (O,i,j).
Soit (C) la conique d’équation: 3(x +1)2 + 4y2 = 12.
1°/ Montrer que E est une ellipse dont on précisera l’excentricité, ainsi que les coordonnées des foyers et des sommets dans le repère (O,i,j), puis construire (C) .
2°/ A chaque point M de (C) de coordonnées (x ,y),on associe le nombre complexe z = x + i y affixe de M a) Démontrer que | z | =
2
1(3-x) b) En déduire que | z | = 2 cos
3 , étant un argument de z.
3°/ Soit M’et M’’les points de (C) ayant pour affixes z’ et z’’ d’argument respectifs et + .
a) Calculer M'M '' en fonction de .
b) Déterminer pour que M'M '' soit maximum puis minimum.
EXERCICE N°16 :
Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormé (O , u ,v) . Soit le point de coordonnées ( -2 , 3 ).
Soit S la similitude plane de centre d’angle 4
et de rapport 2
A tout point M d’affixe z = x + i y ( x et y réels ) , S associe le point M’ d’affixe z’ = x’ + iy’ (x’ et y’ réels ) 1°/ Exprimer z’ en fonction de z . Quelle est la similitude réciproque S’ de S ?
2°/En déduire l’expression de x’ et y’ en fonction de x et y.
3°/ Soit C’ la conique dont une équation cartésienne dans le repère (O , u ,v) est : 9x2 + 16 y2 – 144 = 0 a) Quelle est la nature de C’ et préciser les coordonnées des foyers et des sommets de C’.
b) Tracer C’ à laide des éléments trouvés .
4°/ Soit C la conique image de C’ par la similitude S’. Sans chercher à déterminer une équation cartésienne de C , donner la nature de C , placer son centre et ses sommets et donner son allure sur la même figure . EXERCICE N°17 :
Soit la fonction définie sur [ 0 , 2 ] par : f ( x ) = 2 2xx2 ,
On désigne par ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O , i , j ) . 1°/ (C’) =
) , (oi
S (C) et () = (C) (C’).
a) Montrer que () à pour équation : (x – 1) 2 + 4 y2
= 1.
b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (). Tracer ().
2°/ Soit x [0, ] : F( x ) =
01cosx f(t)dt .Montrer que F est dérivable sur [0,] et que F’(x) = - 2 sin2x.
3°/ a) Calculer F () et en déduire l’expression de F (x) pour tout x [0, ].
b) En déduire l’aire de l’intérieur de ().
pour une bonne réussite
Série d’exercice : Conique 3 Dhahbi A
EXERCICE N° 8 :
Soit un paramètre appartenant à [0 ,2 ] et E l’équation d’inconnue z : z2 – 2cos z +9 - 8 cos2 = 0 1°/ Résoudre dans C l’équation E , on désigne par z’ et z’’ les solutions de l’équation E ,
2°/ Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O,i, j)
Soient M’ et M’’les points d’affixes z’ et z’’ et (E) l’ensemble des points M’ et M’’ lorsque varie dans [0 ,2 ]
a) Trouver une équation cartésienne de (E)
b) Montrer que (E) est une ellipse dont on précisera le centre, les sommets, les foyers et l’excentricité.
c) Tracer (E)
3°/ Soit M E et A le point de coordonnée ( 1 , 0 ) , soit G le barycentre du système { (A,1) ;(M,2)}
Montrer que lorsque M varie sur E alors G varie sur une ellipse (E’) que l’on précisera EXERCICE N°13 :
Soit un réel appartenant à l’intervalle ] - 2
, 2
[
On considère l’ équation (E) d ’ inconnue complexe z : (E) (cos2 )z2-4cos z +5- cos2 =0
1°/ Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes . Préciser pour quelle valeur de l’équation admet une racine double . Donner la valeur de cette valeur double .
2°/ Soit P le plan complexe rapporté à un repère orthonormé . On appelle M’ et M’’ les points de P dont les affixes respectives sont les nombres z’ et z’’ solution de l’équation (E).
Montrer que lorsque varie M’et M’’ se déplacent sur une hyperbole (H) , déterminer le centre , les sommets et les asymptotes de H. Tracer H .
3°/ Montrer que lorsque décrit l’intervalle ] - 2
, 2
[ , l’ensemble (E) décrit par les points M’ et M’’ est une branche de H
EXERCICE N°6 :
On donne l’application de C dans C qui au nombre complexe z associe le nombre complexe Z = z2 + z + 1 . Dans le plan orienté rapporté à un repère orthonormé (O,i,j).Construire l’ensemble des M image des nombres z tels que arg ( Z )
2
[2] EXERCICE N°6 :
On donne l’application f de P dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point f ’( M ) = M’ d’affixe z’
tel que z’ = z2 + 2z + 2 1.
1°/ Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
2°/ Soit D la droite d’équation x = - 2
1. Dans le repère (O,u,v) M étant un oint de D , calcule les coordonnées de f ( M ) en fonction de l’ordonné de M. Ecrire une équation cartésienne de l’image de D par f.
Reconnaître la courbe obtenue et la tracer.
EXERCICE N°16
1°/ On appelle H l’ensemble des points M du plan dont les coordonnés (x ,y) relativement à un repère orthonormé vérifiant :x2 - y2 = 1 . Caractériser et construire H.
2°/ Montrer que H est l’ensemble des points d’affixe z vérifiant : Re(z2) = 1 3°/ On pose j = -
2 1 + i
2
3 et on considère la transformation g de P dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ = j z
a) Montrer que g = r (O, 3 2 )
b) Soit (Г) l’ensemble des points M (x, y) vérifiant: -y2+x2-2xy 3+2 = 0 Montrer qu’un point M(z) (Г) si et seulement si Re(jz2) = 1
c) En déduire que H est l’image de l’ensemble (Г) par g
4°/ a) Soit H l’hyperbole de foyer Fet F’ et dont la longueur de l’axe transverse est 2a ;
montrer que g(H) = H’ est l’hyperbole de foyer g(F)et g(F’) et dont la longueur transverse est 2a b) Caractériser alors (Г) et la construire.
EXERCICE N°13 :
Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormé (O , u ,v) . x’ = x – y + 1 On considère l’application f qui au point M( x,y) associe le point M’ ( x’,y’) tel que :
y’ = x + y 1°/ Montrer que f est une similitude directe que l’on caractérisera.
2°/ On se propose d’étudier la nature de la courbe (C) d’équation : x2 + y2 - 2xy + x - 3y = 0.
a) Déterminer l’équation cartésienne de la courbe P image de (C) par f.
b) Montrer que P est une parabole dont on précisera le foyer, la directrice (D ) et le sommet S’.
c) Quelle est alors la nature de (C) et préciser ses éléments caractéristiques.
d) Tracer P et (C) à laide des éléments trouvés . EXERCICE N°13 :
Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormé (O , u ,v) .
1°/ a) Déterminer l’ensemble E des points M du plan d’affixe z vérifiant : 10zz + 3 ( z2 z2 ) = 4.
b) Indiquer ses foyers F et F’ainsi que ses directrices.
2°/ Soit f la similitude plane directe de centre O , d’angle 4
et de rapport 2
A tout point M d’affixe z = x + i y ( x et y réels ) , f associe le point M’ d’affixe z’ = x’ + iy’ (x’ et y’ réels ) a) Exprimer z’ en fonction de z. Quelle est la similitude réciproque S’ de S ?
b) En déduire l’expression de x’ et y’ en fonction de x et y.
c) Déterminer une équation de E’ = f ( E ).
3°/ a) Montrer que E’ est une ellipse de foyer f ( F) et f ( F’).
b) Comparer les excentricités de E et E’. Soit C’ la conique dont une équation cartésienne dans le repère (O , a) Tracer E et E’ à laide des éléments trouvés sur le même dessin. .
EXERCICE N°13 :
Soit u un nombre complexe et (Eu) l’équation : z2 - (2u - iu ) z - 2iu .u = 0
1°/ Résoudre dans C, l’équation (Eu) . On désigne par z’ et z’’ les solutions de cette équation .
2°/ On rapporte le plan à un repère orthonormé direct ( O , u , v ) et on désigne par A , M , M’, et M’’
les points d’affixes respectives 2i ; u ; z’ ; z’’ .
Soit H l’ensemble des points M tels que les points A, M’,et M’’ sont alignés . a)Trouver une équation cartésienne de H
b) Montrer que l’ensemble H est une hyperbole dont on précisera le centre , les sommets , les foyers et les asymptotes .
c) vérifier que H passe par le point O et donner une équation cartésienne de la tangente à H en O . d) tracer H .
EXERCICE N°8 :
Le plan complexe est muni d’ un repère orthonormé direct ( O , u , v )
1°/On appelle H l’ensemble des points M du plan dont les coordonnés (x ,y) relativement à un repère orthonormé vérifiant :
4 x2
- 4 y2
= 1 . Caractériser et construire H .
2°/ Soit f la composée de l’homothétie de centre O et de rapport 2 et de la rotation r de centre O et d’angle 4
b) Déterminer une équation de ( H’ ) image de ( H ) par f .
c) Quel est la nature de ( H’ ) , déterminer les coordonnées de ses foyers . 3°/ t étant un paramètre réel de l’intervalle ] 0 , [ .
a) Résoudre dans C l’équation : (E) : z2 – t sin
4 z +
2 t sin
13 - 9 = 0 .
b) On appelle M’ et M’’ les points de P dont les affixes respectives sont les nombres z’ et z’’ solution de l’équation (E) .
Montrer que lorsque t décrit ] 0 , [ , les points M’ et M’’ appartiennent à une branche de la conique ( H ) hyperbole (H) que l’on précisera .
EXERCICE N°10 :
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé (o, u, v) (unité 3cm) Tout point M du plan est repéré par son affixe z
1°/Déterminer et représenter l’ensemble (E’)des points M du plan tel que z
2°/On considère la transformation T qui à tout point M du plan distinct de O associe le point M’ d’affixe z’ telle que : z’ =
2 1 ( z -
z 1 )
a) Calculer la partie réelle et partie imaginaire de z’ en fonction de module et l’argument de z .
b) Déterminer et représenter l’ensemble E’dont les éléments sont les points M’ image des points M de E .Préciser ses éléments caractéristiques
3°/Soit N le point d’affixe –
1 . Montrer que M’= M * N z 4°/ Soit A le point d’affixe e iπ/2 .
Montrer que lorsque le point M décrit la demi droite [OA) privée du point O.Le point N décrit la demi droite D ; tracer D
5°/Montrer que l’image de la demi droite [OA) privée du point O parla transformation T est une partie d’hyperbole H ; représenter H après avoir donnée ses éléments caractéristiques
EXERCICE N° 12 :
Le plan complexe est muni d’ un repère orthonormal direct ( O , u , v )
On désigne par M,N,P trois points distincts de ce plan d’ affixes respectives m ,n ,p .
1°/ démontrer que le triangle MNP est rectangle en N si et seulement si le nombre complexe i n m
n p
est un réel nul
2°/ Dans cette question M, N, P sont trois points d’affixes respectives z , z2 , z4 a) quelle conditions doit vérifier z pour que M, N , P soient distincts deux à deux ?
a) Démontrer que l’ensemble des points M d’affixe z = x + i y du plan tels que le triangle MNPsoit rectangle en N est une conique ( ) d’équation ( x+
21 )2 – y2 =
41 , privée de deux points que l’on précisera
3°/ Préciser la nature de ( )et déterminer ses éléments géométriques (sommets ,foyers ,asymptotes ) 4°/ Représenter ( ) et mettre en place sur la figure les sommets , les foyers et les asymptotes de ( ) . EXERCICE N°11 :
1°/ Résoudre dans C l’équation : z3 + z2 + 2 z – 4 = 0 sachant que l’une de ses solutions est un nombre entier
2°/ Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( O, u ,v) , on considère les points M1 , M2 ,M3 et d’affixes respectives 1 , -1 + i 3 ,-1 - i 3 et –1 . Soit (E) l’ellipse de centre passant par les points M1 et M2 , son axe focale est l’axe des abscisse .
a)Trouver les foyers et les sommets de (E)
b) Déterminer une équation cartésienne de (E) dans le repère orthonormé ( O , u , v ).
c)Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (E) et de l’axe des ordonnées . tracer (E)
4éme Année * Section : Mathématique Série d ’exercices Prof : Dhahbi . Ali * Por : 97441893 Parabole
EXERCICE N° 1
1°/ On connaît la directrice d’une parabole ainsi que deux de ses points .Construire son foyer 2°/ On connaît le foyer d’une parabole ainsi que deux de ses tangentes .Construire sa directrice EXERCICE N° 2 :
Soit (P) une parabole de foyer F ,de sommet S,et de directrice De. la tangente et la normale en un point M de (P) rencontrent respectivement l’axe de (P) en T en N
On désigne par H et E les projetés orthogonaux de M respectivement sur la directrice et l’ axe de (P)et par K le projeté orthogonal de E sur la directrice D
1°/ a- Montrer que le quadrilatère MHTF est un losange
b- En déduire que le sommet S de (P) est le milieu du segment [TE]
2°/ a- Montrer que le quadrilatère MHFN est un parallélogramme b- Montrer que EN est égal au paramètre de (P).
EXERCICE N°3 :
1°/ Soit (P) une parabole de directrice D et de foyer F , on désigne par M1 et M2 deux points distincts , 1 et 2 les tangentes respectives en M1 et M2 à (P ) .
Soit K le point d’intersection de 1 et 2 . I est le milieu de segment [M1 M2 ] , les points M1 et M2 se projettent orthogonalement sur D en H1 et H2
a) Démontrer que la médiatrice du segment [H1 H2] passe par K . b) En déduire que la droite (KI) est parallèle à l’axe de (P) .
2°/ Dans un plan on considère deux droites D1 et D2 sécant en O et non perpendiculaires
Soit A1 un point de D1\ {o} et A2 un point de D2\{o} , soit (P) la parabole tangente à D1et D2 respectivement en A1et A2
a)Construire le foyer de la parabole (P) . b)Construire sa directrice .
EXERCICE N°4 :
On donne un carré ABCD de centre O . Un point M varie sur [AC].
On projette orthogonalement M en P sur (AB) et en Q sur (BC) . 1°/ Déterminer le lieu du milieu de [PQ]
2°/ Montrer que la médiatrice de (PQ)passe par un point fixe .
3/ a) Montrer que la droite (PQ) reste tangente à une parabole fixe dont on précisera le foyer et la directrice b) Préciser le point de contact de (PQ)et de cette parabole .
EXERCICE N°5 :
On donne deux points distincts F , T.
1°/ Soient deux droites D1 et D2 sécantes en T et distinctes de (FT).
a) Construire la directrice de la parabole de foyer F et tangente à D1et D2.
b) Construire les points de contact M1 et M2 de cette parabole et des droites D1 et D2 c) On désigne par H1 et H 2les projetés orthogonaux respectifs de M1 et M2 sur la directrice .
Montrer que le triangle TH1H2 est isocèle ( TH1 , TH2 ) 2 (D1 , D2 ) [2 ] d) Montrer que T si et seulement si D1 D2
2°/ Soit (D) une droite variable passant par T et distincte de (FT) et () une parabole de foyer F et tangente à (D) , On désigne par M le point de contact de (D) et ( ) et H son projeté orthogonale sur la directrice de .
Quel est l’ensemble des points H quand (D) varie .
3°/ Soit P une parabole de foyer F de directrice (d) et d’axe ( ) .Un point M de P se projette orthogonalement en H sur (d ) .
a) Montrer que (FH) est une bissectrice de l’angle ( FM , ).
b) Construire les points d’intersection de ( P ) et de la droite (FT). ( Bac tunisien 93 ) Série d’exercices : parabole 1 Dhahbi Ali
Série d’exercices : 4émeMaths EXERCICE N°6 :
Soient une droite D et un point A n’appartenant pas à la droite D. On construit le cercle (C) de centre A et tangent à la droite D.
1°/ Soit H le projeté orthogonale de A sur la droite D et F un point variable sur C\{H}.
a) Vérifier que le point F est le foyer d’un parabole P ayant pour directrice la droite D et passant par le point A.
b) Préciser le point F0 foyer de la parabole P qui admet A pour sommet .
2°/ On désigne par f la famille des parabole de directrice commune D passant par A . Soit P et P’ deux parabole de la famille f de foyer respectif F et F’.
a) Montrer que si F et F’ sont diamétralement opposé sur le cercle (C) alors les tangentes en A à P et P’ sont perpendiculaires . b) Etudier la réciproque .
3°/ On fait varier le point F sur C \ { H ,F0 }et on désigne par B le deuxième point d’intersection de la parabole P de foyer F et de directrice D avec la droite (FA).
a) Montrer que le point B varie sur parabole () dont on précisera le foyer et la directrice .
b) Montrer que les paraboles P et ( ) ont même tangent à B . (Bac tunisien 1997 ) EXERCICE N° 7 :
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé (O ,u ,v ) Soit la droite d’équation x = 2 et A le point d’affixe 2 .
1°/ Vérifier que la droite est l’ensemble des points M d’affixe z tel que 4 – z - z = 0 . Soit l’application de P\ dans P, qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ =
z z
z z
4
4 a)Montrer que z’ est un nombre réel
b)Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que z’ = k ou k est un réel donné différent de 2 3°/ a) Montrer que pour tout nombre complexe z dont la partie réelle est différent de 2, on a :|z’ - z| = |z’ - 2|
b) En déduire que pour tout point M de P\ , le point M’est l’intersection de la médiatrice de [AM] avec l’axe des abscisses.
4°/ Soit D la droite d’équation x = 3.
Pour tout point M de D, on désigne par M’le point (M) et par M’’ le symétrique de M’ par rapport à (AM) Montrer que M’’ appartient à une parabole de foyer A et dont on précisera la directrice . ( Bac tunisien 1999) EXERCICE N° 8 :
Soient Fet H deux points distincts , la médiatrice de [FH] et J le milieu de [FH ] . Soit M un point de et D la droite passant par H et perpendiculaire à la droite (MH) On désigne pare P la parabole de foyer Fet de directrice D.
1°/ a) Montrer que est la tangente à P au point M
b) Vérifier que les droites D et sont parallèles si et seulement si M =J
2°/ Dans le cas ou le point M est différent de J , la droite D coupe en I .Soit E le symétrique de H par rapport à I et ’ la perpendiculaire à en I
a) Montrer que ’ est la tangente à la parabole P
b) Construire le point de contact N de la parabole P et de la droite ’ et montrer que les points M, F, et N sont alignés .
3°/ a) Soit S le sommet de la parabole P .Montrer que le point J appartient à la tangente au sommet à la parabole P et en déduire que S appartient au cercle (C) de diamètre [FJ]
b) Soit R un point de (C) distinct de F .Montrer que la parabole de foyer F et de sommet R est tangente à en un point que l’on déterminera (il est conseillé de faire une figure séparée pour cette question )
c) Déterminer alors l’ensemble des points S quand le point M varie sur . (Bac tunisien 2001)
Pour une bonne réussite
signature : Dhahbi . A
Série d’exercice : parabole 2 Dhahbi . 4éme Année Section : Mathématique Série d ’exercices
Prof : Dhahbi A * Tel : 71584775 Ellipse
EXERCICE N°1
1°/ On connaît le foyer F et F’et un point M d’une ellipse (E) . Construire ses sommets.
2°/ On connaît un foyer et deux points d’une ellipse (E) ainsi que son grand axe 2a. construire son second foyer 3°/ Déterminer le longueur du grand axe 2a d’une ellipse dont on connaît les foyers F et F’ et une tangente.
EXERCICE N° 2 :
On connaît l’ensemble des ellipses de foyer F donné et admettant pour tangentes deux droites données et ’ ne contenant pas F .
1°/ Quel est l’ensemble des centres de ces ellipses 2°/ Quel est l’ensemble de leur second foyer . EXERCICE N° 3 :
Soit E une ellipse de foyer F et F’ et dans le longueur du grand axe est 2a . Soit une droite passant par F’
Donner un procédé géométrique permettant de construire les points d’intersection de E et EXERCICE N°4 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ,i ,j ),soit E l’ensemble des points M d’affixe z tels que : | z – i | + | z – 1 | = 2
1°/ Montrer que E une ellipse dont on précisera les foyers et la longueur d’un grand axe 2°/ déterminer les coordonnées des sommets de l’ellipse E .
3°/ La droite (BF’)recoupe l’ellipse en C .
Montrer que C appartient à l’ellipse E’ de foyer B et Fet dont on précisera la longueur du grand axe Montrer qu’au point C les ellipses E et E’ ont la mène tangente
EXERCICE N°5 :
Dans un plan P ,on considère une droite ., deux points A et B symétriques par rapport et F un point de
n’ appartenant pas au segment [AB] .
1°/ Montrer que si E est une ellipse passant par A et B et dont l’un des foyers est le point F alors le second foyer F’ appartient à la droite .
2°/ Construire ( E ) dans le cas ou F’ le symétrique de F par rapport à la droite (AB ) . EXERCICE N°6 :
On donne dans un plan P un triangle isocèle AHH’ tel que AH = AH’ = a , a > 0
On désigne par la parallèle à la droite (HH’) passant par A et par F un point de [AH ) tel que a < AF < 2a.
Soit I =A * F
La parallèle à (AH’) menée de I coupe [ HH’] en O . Soit l’ ellipse passant par A de centre O et dont un foyer est F .
1°/ Montrer que le second foyer de appartient à (AH’) et que est la tangente à en A . 2°/ Montrer que HF = H’F’ ( on pourra considérer J = SH(F) ; appliquer Thalès )
3°/ Montrer que 2a est le grand axe de .
4°/ Soit P le projeté orthogonale de F sur et N le symétrique de F par rapport à .La perpendiculaire à menée de A coupe la droite (FF’)en A’ , les droites (PF’) et (AA’) se coupent en .
a) Montrer que A [F’N]
b) Montrer que = A*A
Série d’exercice :Ellipse 1 Dhahbi . A Série d’exercices : 4éme Maths
EXERCICE N° 7 :
Soit un paramètre appartenant à [0 ,2 ] et E l’équation d’inconnue z : z2 – 2cos z +9 - 8 cos2 = 0 1°/ Résoudre dans C l’ équation E , on désigne par z’ et z’’ les solutions de l’équation E ,
2°/ Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O ,i , j ) . Soient M’ et M’’les points d’affixes z’ et z’’ et (E) l’ensemble des points M’ et M’’ lorsque varie dans [0 , 2 ] .
a) Trouver une équation cartésienne de (E)
b) Montrer que (E) est une ellipse dont on précisera le centre , les sommets et les foyers c) Tracer (E)
3°/ Soit M E et A le point de coordonnée ( 1 , 0 ) , soit G le barycentre du système { (A,1) ;(M,2)}
Montrer que lorsque M varie sur E alors G varie sur une ellipse (E’) que l’on précisera EXERCICE N°8 :
On donne un cercle (C) de centre O et de rayon r et un point H à l’ intérieur à (C) .
1°/ Construire le triangle ABC inscrit dans (C) connaissant un sommet A et d’orthocentre H
2°/ On suppose que le sommet A du triangle ABC variable sur (C) . Soit H’ = SBC(H) , soit M le point
d’intersection de (BC) et (OM’) . Montrer que M décrit une ellipse dont on déterminera les foyers et sa tangente en M .
3°/ Montrer que les trois cotés du triangle ABC restent tangents à cette ellipse . 4°/ Déterminer les points de contacts
EXERCICE N° 9 :
On donne une ellipse (E) de centre O et de foyers F et F’ ,soit (C) le cercle directeur de (E) de centre F’ et de rayon 2a
Soit A un point de cercle (C) .
1°/ Construire les tangentes menées de A à l’ellipse (E) .
2°/ les tangentes menées de A à l’ellipse (E) recoupent le cercle (C) en deux points B et C
Soit M et N les symétriques du foyer F respectivement par rapport aux deux droites (AB) et (AC).
a) Montrer que (BA , BF ) (BA , BN ) [ ] . En déduire que les points B , F et N sont alignées b) Montrer sans nouveau calculs , que les points C , F et M sont alignées .
c) Montrer que F est l’orthocentre du triangle ABC . d) Montrer que la droite (BC)est tangente à l’ ellipse (E) . EXERCICE N°10 :
On donne deux points B et F.
1°/ Quel est l’ ensemble des points O tel qu’il existe une ellipse de centre O , vérifiant les deux conditions suivantes :
i) les deux foyers sont distincts et l’un deux est F ii) Best l’un des sommets de petit axe
2°/ Quel est pour ces ellipses l’ensemble des foyers distincts de F.
3°/ Pour une ellipse (E) vérifiant les conditions (i) et (ii) , la droite (BF’) recoupe (E) en un point M distinct de B .
a) Construire M
b) Montrer que M appartient à une ellipse fixe quand (E) varie
Signature : Dhahbi . A
Série d’exercice : Ellipse 3 Dhahbi . A 4éme Année * Section : Mathématique Série d ’exercice
Prof : Dhahbi . Ali * Por : 97441893 Hyperbole
EXERCICE N°1 :
Déterminer le lieu géométrique des foyers d’hyperbole dont on connaît le cercle principale de centre O et de rayon a > 0 et un point A .
EXERCICE N°2 :
Soit H une hyperbole de foyer Fet F’de centre O et de distance au sommet 2 . Soit M un point quelconque de H . Démontrer que le cercle de diamètre [ FM ] est tangent au cercle principal de centre o et de rayon a .
EXERCICE N°3 :
Quel est l’ensemble des centres O des hyperboles ayant un foyer F , une tangente donnée T en un point P . EXERCICE N°4 :
Une hyperbole a un cercle directeur, F un foyer fixe et une tangente à une droite fixe T . Quel est l’ensemble des seconds foyers et des centres des hyperboles .
EXERCICE N°5 :
Soit H une hyperbole de foyers F et F’ et de longueur de l’axe transverse 2a . On donne un point I du plan . Construire les tangentes à H issue de I .
EXERCICE N°14 :
Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal (O,u,v) et représente l’ensemble C de nombre complexe . 1°/ Résoudre dans C l’équation Z3 =1 .
Montrer que les images des solutions sont les sommets d’un triangle équilatéral de centre O.
2°/ On considère la transformation S dont l’expression complexe est z’ = i 2 (2z + 1) a) Déterminer la nature géométrique de S et préciser ses éléments.
b) On pose A = S( ) , B = S () , C = S ( ) ou ,, sont les trois points d’ affixes respectives 1 ,
3 2i
e , 2 3
i
e .
Montrer que ABC est un triangle équilatéral et déterminer l’affixe de son centre . 3°/ Soit F le point d’affixe 2 et D la droite d’équation x = 3.
Pour tout point M de P, on appelle H son projeté orthogonale sur la droite D
a) Montrer que l’ensemble E des points M de P vérifiant 3MF2 =2 MH2 est une conique passant par B, C et dont on précisera la nature.
b) En déduire sans calculs le centre et les sommets de (E ).
c) Tracer sur une même figure le triangle ABC et la conique (E)
4éme Année * Section : Mathématique Série d’exercices de révisions Prof : Dhahbi . A * Tel : 97441893 Conique
EXERCICE N° 1 :
Soit (P) une parabole variable de foyer F fixe et passant par un point fixe A
1°/ Montrer que la directrice de cette parabole est tangente à un cercle ( C ) fixe dont on précisera le centre et le rayon
2°/ Soit H le projeté orthogonale de A sur la directrice de (P) ;I le point milieu de [AF] et K le projeté orthogonal de I sur la tangente au sommet de (P)
a) Montrer que les points F,K,H sont alignés .
b) En déduire que la tangente à un cercle (C’) fixe que l’on précisera .
3°/Construire la directrice de (P) connaissant de plus un point B de la tangente au sommet EXERCICE N °2 :
On considère une parabole P , de foyer F et de directrice D . Soitune droite passant par F rencontrant P en M1 et M 2 .
1°/ Soit T1 la tangente en M1 à P et T2 la tangente en M2 à P . Montrer que T1 est perpendiculaire à T2 2°/ Montrer que T1 et T2 se coupent en un point I appartenant à D .
3°/ Montrer que F est le projeté orthogonal de I sur . EXERCICE N °3 :
Dans un plan , on considère une droite , deux points A et B symétrique par rapport à et F un point de n’appartenant pas au segment [AB]
1°/ a) Montrer que si (E) est une ellipse passant par A et B et dont l’un des foyers est le point F , alors le second foyer F’appartient à la droite .
b) Construire (E) dans le cas ou F’ est le symétrique de F par rapport à la droite (AB)
2°/ Montrer que si (H) est l’hyperbole passant par A et B et dont l’un des foyer est F ,alors son second foyer appartient à la réunion de la droite et de l’ellipse (E’)de foyers A et B .
3°/ a) Montrer qu’ il existe deux paraboles (P1) et (P2) de foyer F et passant par A , B .
b) Montrer qu’en chacun des points A et B , les tangentes à (P1) et (P2) sont perpendiculaires . EXERCICE N°4 :
On donne dans le plan deux points fixes F et A .
On considère les ellipses (E) dont un foyer est F et A le sommet de l’axe focal le plus voisin de F 1°/ Quel est l’ensemble des points O centres des ellipses (E) .
2°/ Soit O un pont de cet ensemble et soit D la perpendiculaire en O à la droite (AF).
Construire (au moyen du compact seulement ) les sommets B et B’ de l’ellipse (E) appartenant à D .
3°/Soit B un sommet du petit axe d’une ellipse (E) , montrer que B appartient à une parabole (P) de foyer F dont on déterminera la directrice .
EXERCICE N° 5 :
Soient dans le plan trois points fixes A ,B et O alignés et deux à deus distincts .
Soit (C) un cercle variable de centre I tangent en O à la droite (AB),les autres tangentes à (C) issus de A et de B se coupent en M .
1°/ On pose OA = a ,OB = b et on suppose que a < b
Le candidat fera une figure pour chacune de 3 questions suivantes : a) Montrer que la différence MA – MB est constante .
b) En déduire que le point M varie sur une hyperbole dont on précisera les foyers et les sommets c) Déterminer la tangente en M à cette parabole .
2°/ On suppose dans cette question que O n’appartient pas au segment [AB]
a) Montrer que la différence MA + MB est constante .
b) En déduire que le point M varie sur une ellipse dont on précisera les foyers et les sommets du grand axe .
c) Déterminer la tangente en M à cette ellipse . Pour une bonne réussite
Série d’exercices de révision : Conique 1 Dhahbi . A
