Chapitre 15 : suites réelles

SUITES RÉELLES

Définition 1 :

On appellesuite réelletoute fonction définie surN(ou pour tout entiern≥n0) et à valeurs dansR^: u:

¯

¯

¯

¯

N −→ R

n 7−→ u(n)=un . La suiteu se note aussi par convention (un)_n∈N. On rappelle queR^N désigne l’ensemble des suites réelles.

I – Limite d’une suite

1^o) Limite finie a) Définition

Définition 2 :

On dit que la suite (un)_n≥0converge vers le réel`si tout intervalle ouvert contenant`contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Ceci se traduit par :

∀ε>0,∃n0∈N^,∀n∈N^,n≥n0⇒ |un−`| <ε. On note alors lim

n→+∞un=`. Illustration graphique de la définition.

Exemple 1 : – un=2n²+1

n² : on montre à partir de la définition que lim

n→+∞un=2, en posantn₀=

¹ 1 pε

º +1.

– un=(−1)ⁿ : on aun= −1 sinest impair etun=1 sinest pair. On montre que (un) ne peut converger vers 1, et on admet qu’elle ne converge vers aucun réel`.

Remarque : lim

n→+∞un=` ⇐⇒ lim

n→+∞un−`=0 ⇐⇒ lim

n→+∞|un−`| =0. Aussi lorsqu’on a une idée de la limite`, il est souvent intéressant d’étudier|un−`|et de chercher à montrer que cette expression tend vers 0.

b) Propriétés de la limite Propriété 1 :

Si la suite(un)converge vers`, le réel`est unique.

Démonstration : Par l’absurde, en appliquant la définition de la limite pour`et`⁰àε=`−`⁰ 2 . Propriété 2 :

Soit(un)une suite convergeant vers`6=0.

Alors il existe un rang n0tel que pour tout entier n≥n0, unest du signe de`.

Démonstration : On effectue la démonstration dans le cas`>0, le cas`<0 étant similaire (ou raisonner sur (−un) sinon), en appliquant la définition de la limite àε=`

2.

Pour prouver la convergence d’une suite, on peut s’intéresser séparément aux termes de rang pair et aux ter- mes de rang impair :

Propriété 3 :

Soit(un)une suite telle que les suites(u2n)et(u2n+1)convergent vers le réel`. Alors(un)converge vers`. Démonstration : On écrit la définition de la limite pour (u2n) et (u2n+1), puis on poseN=max(2n0, 2n1+1).

Remarque : La réciproque de la propriété précédente est vraie. D’autre part, si (u_2n) et (u_2n+1) convergent vers des limites différentes, alors (u_n) n’est pas convergente.

2^o) Limite infinie Définition 3 :

On dit que la suite (un)_n≥0tend vers+∞ si tout intervalle ouvert de la forme ]a; + ∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Ceci se traduit par :

∀a∈R,∃n₀∈N,∀n∈N,n≥n₀⇒u_n>a . On note alors lim

n→+∞u_n= +∞. Définition 4 :

On dit que la suite (un)n≥0tend vers−∞ si tout intervalle ouvert de la forme ]− ∞, a[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Ceci se traduit par :

∀a∈R^,∃n0∈N^,∀n∈N^,n≥n0⇒un<a . On note alors lim

n→+∞un= −∞. Exemple 2 : Montrer que lim

n→+∞2ⁿ= +∞.

Remarque :

– Si (un) n’est pas convergente, on dit que (un) est divergente. Il existe deux types de suites divergentes : celles qui n’ont pas de limite (comme sin(n)), et celles qui ont pour limite+∞ou−∞.

– Les propriétés de la limite vues précédemment restent toujours vraies : la limite est unique, si lim

n→+∞un= +∞

alorsun>0 à partir d’un certain rang, et si lim

n→+∞u2n= lim

n→+∞u2n+1= +∞alors lim

n→+∞un= +∞. 3^o) Limites de référence

n→+∞lim

pn= lim

n→+∞n= lim

n→+∞n^p= +∞ ∀p∈N^∗.

n→+∞lim p1

n= lim

n→+∞

1 n= lim

n→+∞

1

n^p =0 ∀p∈N^∗. Propriété 4 :

– si q≤ −1,(qⁿ)diverge ; – si−1<q<1, lim

n→+∞qⁿ=0; – si q=1, lim

n→+∞qⁿ=1(la suite est constante) ; – si q>1, lim

n→+∞qⁿ= +∞.

Exemple 3 : Soit (un)n≥0une suite géométrique de raison 1

2 et de premier termeu0=24. On noteSn=

n

X

k=1

u_k : calculer lim

n→+∞Sn=24.

4^o) Opérations sur les limites a) Limite d’une somme

Limite deun ` ` ` +∞ −∞ +∞

Limite devn `⁰ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

Limite deun+vn `+`⁰ +∞ −∞ +∞ −∞ F.I.

Exemple 4 : lim

n→+∞n²+ µ

−2 3

¶n

. b) Limite d’un produit

Limite deun ` `>0 `<0 `>0 `<0 +∞ +∞ −∞ 0 0

Limite dev_n `⁰ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞

Limite deu_n×v_n `×`⁰ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞ F.I. F.I.

Exemple 5 : lim

n→+∞(1−3n)

"

2− Ãp

2 2

!2n# .

c) Limite d’un quotient

Limite deun ` `6=0 +∞ −∞ ` ` +∞ou−∞ 0

Limite devn `<sup>0</sup>6=0 0 ` ` +∞ −∞ +∞ou−∞ 0

Limite deu_n vn

`

`⁰ +∞ou−∞ +∞ou−∞ +∞ou−∞ 0 0 F.I. F.I.

Remarque : Les cas indécis (+∞ou−∞) se déterminent en examinant le signe deun

vn

en+∞.

Exemple 6 : lim

n→+∞

n²−3 pn . d) Limite et composition

Propriété 5 :

Soit f une fonction définie sur I , et (vn)_n≥0 une suite telle que ∀n ∈ N^{, v}n ∈ I . On suppose que

n→+∞lim vn=a etlim

x→a f(x)=b où a et b désignent soit des réels, soit+∞, soit−∞. Alors la suite(un)_n≥0définie par un=f(vn)pour tout n∈Nvérifie lim

n→+∞un=b.

Exemple 7 : lim

n→+∞

s 2+ 3

1, 5ⁿ. e) Croissances comparées

Nous avons vu que les opérations sur les limites ne permettaient pas de déterminer n’importe quelle limite, des formes indéterminées subsistant. Pour lever une partie de ces indéterminations, nous allons comparer la vitesse de divergence de quelques suites usuelles : les suites (n!), (n^α) avecα>0, etaⁿ aveca>1 (toutes réputées pour diverger vers+∞) :

Propriété 6 :

Pour tous réelsα>0et a>1, on a lim

n→+∞

n^α

n! =0, lim

n→+∞

aⁿ

n! =0 et lim

n→+∞

n^α aⁿ =0. Démonstration : Admis.

Remarque : On en retient que parmi ces trois types de suites, en cas de forme indéterminée, la factorielle l’emporte sur les suites géométriques, qui elles-mêmes l’emportent sur les suites puissances (avec les conditions précisées dans la propriété).

5^o) Théorèmes de comparaison Théorème 1 :

(Théorème des gendarmes)

On considère trois suites(un),(vn)et(wn). On suppose que : – ∃n₀∈N^{, n}≥n₀⇒u_n≤v_n≤w_n.

– lim

n→+∞un= lim

n→+∞wn=`. Alors(vn)est convergente et lim

n→+∞vn=`.

Démonstration : La définition, encore la définition, en prenantN=max(n0,n1,n2).

Remarque : En présence d’un seul gendarme, on peut juste dire que siun≤vn, si lim

n→+∞un=`et si (vn) converge, alors limvn≥`(voir plus loin). De plus, si (un) et (wn) convergent vers des limites différentes, on ne peut rien dire concernant la convergence de (un) (sa limite est comprise entre les deux limites, si elle converge).

Exemple 8 : Limite de (un)_n≥1définie parun=(−1)ⁿsinn

n! pour toutn≥0.

Le théorème des gendarmes possède son équivalent pour les limites infinies, il devient le théorème du gen- darme puisqu’un seul gendarme est nécessaire :

Théorème 2 :

(Théorème de comparaison)

Soient(un)et(vn)deux suites réelles. On suppose que :∃n0∈N^{, n}≥n0⇒un≤vn. – si lim

n→+∞un= +∞, alors lim

n→+∞vn= +∞.

– si lim

n→+∞vn= −∞, alors lim

n→+∞un= −∞.

Démonstration : Même principe que le théorème précédent.

Exemple 9 : (un)_n≥1définie parun=

n

X

k=1

p1

k : montrer que∀n∈N^∗, 1

pn≥2¡p

n+1−p n¢

et en déduire la limite de (un).

Propriété 7 :

(passage à la limite dans une inégalité)

Soient(un)et(vn)deux suites convergeant respectivement vers`et`⁰, et telles qu’à partir d’un certain rang on ait un<vn. Alors `≤`⁰ .

Démonstration : Il faudrait utiliser la définition de la limite, par exemple pour montrer qu’une suite convergente à termes strictement positifs à partir d’un certain rang admet une limite positive ou nulle, puis appliquer ce résultat à la suitevn−un.

Remarque : Lorsque des suites sont convergentes, on peut donc passer à la limite dans une inégalité, et il faut retenir que dans ce cas les inégalités strictes deviennent larges par passage à la limite (les inégalités larges le restant bien évidemment).

II – Comportement asymptotique des suites monotones

1^o) Définitions Définition 5 :

Soit (un)_n≥0une suite. On dit que :

– (u_n) estmajoréeparMsi∀n∈N, u_n≤M .Mest alors unmajorantde (u_n).

– (un) estminoréeparmsi∀n∈N^{, u}n≥m .mest alors unminorantde (un).

– (u_n) estbornéesi elle est à la fois majorée et minorée.

Remarque : (un) est majorée ssiA=©

un,n∈N^ªest une partie majorée deR. Cas particulier fréquent : à l’aide du théorème des gendarmes, on peut montrer que le produit d’une suite convergeant vers 0 par une suite bornée converge vers 0.

Propriété 8 :

Toute suite convergente est bornée.

Démonstration : Encore la définition de la limite, avec par exempleε=1.

La réciproque est évidemment fausse (penser àun=(−1)ⁿ), mais on peut obtenir la convergence en ajoutant une hypothèse sur la suite.

Définition 6 :

Soit (u_n)_n≥n0 une suite. On dit que

– (un)n≥n₀estcroissantesi∀n∈N^,n≥n0⇒un+1−un≥0.

– (u_n)_n≥n0estdécroissantesi∀n∈N,n≥n₀⇒u_n+1−u_n≤0.

– (un)_n≥n0estmonotonesi (un)_n≥n0est croissante ou décroissante.

Remarque : ATTENTION: dans le cas d’une suite définie par la récurrence sous la formeu_n+1=f(un), il n’y a pas de lien direct entre le sens de variation def et celui de (un). On présente un contre-exemple où f est crois- sante et (un) est décroissante, à partir d’un graphique, ce qui est l’occasion de rappeler la méthode pour représen- ter graphiquement de telles suites.

Dans le cas d’une suite à termes strictement positifs (ou négatifs), un autre critère permet l’étude du sens de variation :

Propriété 9 :

Soit(un)n≥n0une suite à termes strictement positifs (∀n≥n0, un>0).

– Si pour tout entier n≥n₀,un+1

u_n ≥1, alors(un)n≥n₀ est croissante.

– Si pour tout entier n≥n0,un+1

un ≤1, alors(un)n≥n₀ est décroissante.

Démonstration : Démonstration immédiate.

2^o) Suites monotones non bornées Théorème 3 :

Toute suite croissante non majorée tend vers+∞.

Démonstration : Assez rapide, en partant du fait que (un) n’est pas majorée puis en se servant de la croissance de (un).

Corollaire 1 :

Toute suite décroissante non minorée tend vers−∞.

Démonstration : Appliquer le théorème précédent à la suite (−u_n) qui doit bien être croissante et non majorée.

3^o) Suites monotones bornées Théorème 4 :

Toute suitecroissanteetmajoréeestconvergente.

Démonstration : On montre queA=©

un, n∈N^ªadmet une borne supérieure, et on écrit sa caractérisation ep- silonesque.

Remarque :

– Le théorème assure que la suite converge, mais ne donne pas la valeur de la limite : on sait juste qu’elle est inférieure ou égale à tout majorant. Par exemple, si l’on a préalablement prouvé queun≤1 pour toutnet que (un) est croissante, personne ne pourra en déduire que limun=1 (on sait juste queu0≤limun≤1).

– De la démonstration, on déduit que, pour une suite croissante majorée, lim

n→+∞un=sup

n∈N

(un) .

Corollaire 2 :

Toute suitedécroissanteetminoréeestconvergente.

Démonstration : Appliquer le théorème précédent à la suite (−un) qui doit bien être croissante et majorée.

Remarque :

– Cas particulier important (et fréquent) : toute suitepositiveetdécroissante converge.

– En rassemblant les quatre cas précédents, on déduit que toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).

Exemple 10 : Considérons la suite (un) définie paru0=0 et pour tout entiern,u_n+1=2un+1 un+2 . 1^o) Montrer que, pour toutn∈N, 0≤un<1.

2^o) Montrer que (u_n) est monotone : que peut-on en déduire ? 3^o) Déterminer la limite de (u_n).

III – Suites adjacentes

Définition 7 :

Deux suites (un)n≥0et (vn)n≥0sont ditesadjacentessi l’une d’elle est croissante, l’autre décroissante et la différence (u_n−v_n) converge vers 0.

Propriété 10 :

Si(un)n≥0et(vn)n≥0sontadjacentes,(un)étant croissante et(vn)décroissante, alors, pour tout n∈N^, on a u_n≤v_n .

Démonstration : Par l’absurde, en utilisant la croissance et la décroissance de deux suites, on trouve une contra- diction avec le fait queun−vntende vers 0.

L’intérêt des suites adjacentes réside dans leur propriété de convergence : Théorème 5 :

Deux suitesadjacentessontconvergentesetconvergent vers la même limite.

Démonstration : On montre que (u_n) est croissante et majorée parv₀, puis on exprime v_n à l’aide de u_n et de v_n−u_n.

Exemple 11 : Méthode de dichotomie: démonstration du théorème des valeurs intermédiaires.

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], telle que f(a)<f(b). On suppose quek∈£

f(a);f(b)¤ : on se propose de démontrer qu’il existec∈[a;b] tel quef(c)=k.

Définissons pour cela deux suites (un) et (vn) : on part deu0=aetv0=bet on noted0=u0+v0

2 . Sif(d0)≤k, alors on poseu1=d0etv1=v0, et sinon on poseu1=u0etv1=d0. On poursuit la méthode précédente pour définiru2etv2, etc...

1^o) Écrire la définition deu_n+1etv_n+1à partir deunetvn.

2^o) On pose, pour tout entiern,wn=vn−un. Montrer quew_n+1=1

2wn, et en déduire l’expression de (wn) en fonction den.

3^o) Montrer que (un) et (vn) sont adjacentes : que peut-on en déduire ?

4^o) Montrer par récurrence que, pour toutn∈N, on af(un)≤k≤f(vn). Conclure.

Exemple 12 : Suite des approximations décimales par excès et par défaut d’un nombre réel.

Soitx∈R. On définit les suites (xn) et (yn) parxn=10⁻ⁿb10ⁿxcetyn=xn+10⁻ⁿpour tout entiern.

1^o) Montrer que∀n∈N^,xn≤x≤yn.

2^o) Montrer que (xn) et (yn) sont adjacentes.

3^o) En déduire la limite de (xn) et (yn).

Remarque : On vient ainsi de prouver que tout nombre réel est limite d’une suite de nombres rationnels.

IV – Suites équivalentes

1^o) Définition Définition 8 :

On considère deux suites (un) et (vn) dont le terme général ne s’annule pas à partir d’un certain rang (∃n0∈N^,n≥n0⇒(un6=0 etvn6=0)).

On dit que (un) estéquivalenteà (vn), et on note un∼vn , si lim

n→+∞

un

vn =1 . Exemple 13 :

– 2n²−3n+4∼2n². – 2

n− 4 pn− 1

n² ∼ − 4 pn. – bnxc ∼nxpour toutx6=0.

Remarque : Attentionà ne pas écrireun∼0, cela n’a pas de sens d’après la définition.

2^o) Propriétés Propriété 11 :

L’équivalence de suites vérifie les trois propriétés suivantes : pour toutes suites(un), (vn)et (wn)ne s’annulant pas à partir d’un certain rang,

1^o) Réflexivité : un∼un .

2^o) Symétrie : u_n∼v_n ⇐⇒v_n∼u_n .

3^o) Transitivité : un∼vnet vn∼wn⇒un∼wn . Démonstration : Immédiate.

Examinons l’effet des opérations usuelles sur les suites équivalentes : Propriété 12 :

Soient(un),(vn),(wn)et(xn)des suites telles que un∼vnet wn∼xn. Alors : 1^o) ∀λ∈R^∗,λun∼λvn.

2^o) 1 u_n ∼ 1

v_n. 3^o) unwn∼vnxn. 4^o) un

wn ∼vn

xn

. 5^o) ∀p∈Z^{, u}n^p∼v^p_n.

6^o) Si(un)et(vn)sont à termes positifs, pour tout réelα, u^α_n∼v_n^α. Exemple 14 : Équivalents de£

2n−sin(n)¤ µ1

n− 3 n²

¶

; 1−5n²

(−2n³+2n²−3n−1)³.

Remarque : Il y a donc compatibilité de l’équivalence avec le produit, le quotient, l’élévation à une puissance constante. ATTENTION : on ne peut pas sommer les équivalents. Si un ∼ vn et wn ∼ xn, on n’a pas un+wn ∼vn+xn dans le cas général. Par exemple, n³+1∼n³ et 2−n³∼ −n³, donc ajouter les équivalents dans ce cas conduirait à 3∼0... Pour déterminer un équivalent d’une somme, onfactorisele terme prépondérant.

D’autre part, on ne peut pas composer un équivalent par une fonction. Par exemple,n²+n∼n², mais eⁿ²⁺ⁿn’est pas équivalent à eⁿ².

Exemple 15 : Équivalent de eⁿ−3n²+2n−1.

Propriété 13 :

Équivalents usuels : Si lim

n→+∞un=0, alors :

sin(un)∼un tan(un)∼un ln(1+un)∼un e^un−1∼un

1−cos(un)∼u²_n 2

p1+u_n−1∼1

2u_n ∀α∈R^∗, (1+u_n)^α−1∼αu_n Démonstration : Limites usuelles pour les 4 premiers (issues de la dérivabilité).

Pour le cosinus, un genre d’expression conjuguée conduit à se rapprocher de sin²(un)

1+cos(un).Pour la racine : un petit tour d’expression conjuguée et le petit tour est joué. Pour l’exposantα: passer par une exponentielle, et appliquer les équivalents précédents.

Exemple 16 : Déterminer un équivalent de (n+1)^α−n^αpourα∈R^{∗, de ln}

· 1+cos

µ 3 2n

¶¸

(ne pas hésiter à utiliser une astuce qui simplifie tout...).

Propriété 14 :

Cas des polynômes :

k et p sont des entiers, avec k≤p, et(ai)k≤i≤pest une famille de réels telle que ak6=0et ap6=0.

Si lim

n→+∞un=0, alors aku^k_n+ak+1u^k_n⁺¹+. . .+apu_n^p∼aku_n^k. Si lim

n→+∞un= −∞ou lim

n→+∞un= +∞, alors aku^k_n+ak+1u_n^k+1+. . .+apu_n^p∼apu_n^p. Exemple 17 : Equivalents de 3×2ⁿ−4ⁿ+1, de 2e⁻²ⁿ−3e⁻ⁿ+e⁻⁴ⁿ.

3^o) Application à la recherche de limites Propriété 15 :

Si lim

n→+∞un=`, où`∈R^∗, alors un∼`. Remarque :

– Si`=0, on n’écrit pasun∼0, ceci n’a pas de sens.

– On en déduit que deux suites convergeant vers la même limite non nulle sont équivalentes. Ce n’est pas le cas pour les suites convergeant vers 0 (contre-exemple facile à trouver), ni pour 2 suites tendant toutes deux vers+∞ou toutes deux vers−∞.

Propriété 16 :

Si un∼vnet si lim

n→+∞vn=`, où`désigne un réel,+∞ou−∞, alors lim

n→+∞un=`. Démonstration : Évident puisqueun=vn×wnoù la suitewn=un

v_n converge vers 1.

Ainsi pour déterminer la limite d’une suite, on peut chercher une suite plus simple qui lui soit équivalente, et déterminer la limite de cet équivalent. On détermine les suites équivalentes simples à l’aide des équivalents usuels et des opérations sur les équivalents. D’autre part, les équivalents peuvent être utiles pour résoudre des formes indéterminées, particulièrement celles du type «∞ ×0 », « 0

0» et «∞

∞ ».

Exemple 18 : Retour aux exemples précédents ! Enfin pas vraiment tous, car en présence d’une forme qui n’est pas indéterminée, il n’y a pas grand intérêt à utiliser les équivalents. L’exemple 16 l’illustre bien.