Chapitre II : Espaces de séries de Dirichlet

Chapitre II : Espaces de séries de Dirichlet

Hervé Queffélec

October 15, 2014

1 Définitions hilbertiennes

1.1 Suites de Riesz

Les définitions suivantes (cf.[44]) nous serviront dans la suite de ce chapitre, et au chapitre suivant sur les opérateurs de composition. Soit H un espace de Hilbert et(xj)j≥1 une suite de H. Nous dirons que

1. (xj) est une suite de Riesz supérieure s’il existe une constante B < ∞ (appelée constante de Riesz supérieure) telle que

kX

λ_jx_jk² ≤B²X

|λ_j|²kx_jk²

pour toute suite finie(λ_j)de scalaires ("le carré de la somme est dominé par la somme des carrés").

2. (xj) est une suite de Riesz inférieure s’il existe une constante A > 0 (appelée constante de Riesz inférieure) telle que

kX

λ_jx_jk² ≥A²X

|λ_j|²kx_jk²

pour toute suite finie (λ_j) de scalaires ("le carré de la somme domine la somme des carrés").

3. (x_j) est unesuite de Riesz s’il existe deux constantes AetB telles que A²X

|λ_j|²kx_jk² ≤ kX

λ_jx_jk² ≤B²X

|λ_j|²kx_jk²

pour toute suite finie (λj) de scalaires ("le carré de la somme est comme la somme des carrés").

4. (xj) est une base de Riesz si (xj) est une suite de Riesz qui est de plus totale dansH : l’espace engendré par les x_j est dense dans H.

Remarque. Il est clair qu’une suite de Riesz supérieure n’est pas toujours une suite de Riesz inférieure, car on peut répéter des vecteurs : par ex- emple x2j−1 = x2j = ej où (ej)j≥1 est une base hilbertienne de H. C’est essentiellement la seule chose qu’on peut faire. La conjecture de Kadison- Singer, résolue affirmativement par Marcus, Spielman, Srivastava (cf.article d’E.Matheron) devient le théorème suivant ([31])

Théorème 1.1 Toute suite de Riesz supérieure(xj)normalisée, au sens où 0< a≤ kx_jk ≤b <∞, est union finie de suites de Riesz.

On peut maintenant se demander si une suite de Riesz inférieure nor- malisée n’est pas automatiquement une suite de Riesz supérieure, d’autant que cela arrive quand x_j = _kK^Kzj

zjk est une suite normalisée de noyaux re- produisants de l’espace H² du disque ([18] p.278, [42]). Dans le jargon des spécialistes (cf. sous-sections suivantes), une suite d’interpolation (ici la suite (zj)) est une suite de Carleson (pour H²). Et K.Seip ([26]) m’a informé que cela reste vrai pour d’autres espaces de Hilbert de fonctions, par exemple les espaces de Bergman, Paley-Wiener et Fock. Mais cela n’est pas impliqué par la propriété de Nevanlinna-Pick complète, qui irait plutôt en sens opposé.

Voici un contre-exemple dans le cas général ([11]) que nous a indiqué J.F.Burnol; cet exemple est en dimensionn, mais s’étend immédiatement par somme hilbertienne à la dimension infinie. Soit(ej)1≤j≤n la base canonique de Cⁿ etu le vecteur unitaire (1/√

n)Pn

j=1e_j, ainsi que T l’opérateur qui agit commeI sur u^⊥ et comme√

n I sur la droite engendrée paru (I étant l’identité deCⁿ). On pose x_j =T(e_j) et on voit que

ej = (1/√

n)u+vj avec hv_j, ui= 0, xj =u+vj, 1≤ kx_jk ≤√ 2.

La suite(x_j)est de Riesz supérieure avec une constante explosive, car k

n

X

j=1

x_jk ≥nkuk=n alors que

Xⁿ

j=1

kx_jk²1/2

≤√ 2n.

Par contre, elle est de Riesz inférieure avec une constante uniformément minorée quandn→ ∞. On a en effet, en utilisant le symbole de Kronecker

hx_j, x_ki= 1 +hv_j, v_ki= (1− 1

n) +δ_j,k

si bien que, pour toute suite(λj) de scalaires : k

n

X

j=1

λjxjk² = X

1≤j,k≤n

λjλkhx_j, xki=

n

X

j=1

|λ_j|²+(1−1 n)

n

X

j=1

λj

2≥

n

X

j=1

|λ_j|².

1.2 Suites de Carleson

Nous utiliserons aussi les définitions suivantes ([44]). Soit H un espace de Hilbert et(xj)j≥1une suite de vecteurs non nuls deH. On poseyj =xj/kx_jk (souvent,kx_jk= 1). Nous dirons que(xj) est une suite de Bessel s’il existe une constanteC telle que

∞

X

j=1

|hx, y_ji|²≤Ckxk², ∀x∈H.

La meilleure constanteC s’appelle la constante de Bessel de (x_j) (s’il exis- tait aussi une minorationP∞

j=1|hx, y_ji|² ≥ckxk², on dirait que (xj) est un frame). Les suites de Bessel ne sont autres que les suites de Riesz supérieures ([7]), comme le montre la

Proposition 1.2 (Boas) Soit (xj) une suite de H de constante de Bessel C. Alors, pour toute suite finie(λj) de scalaires

kX

j

λjxjk²≤CX

j

|λ_j|²kx_jk²

et de plus C^1/2 est la constante de Riesz supérieure de (x_j).

Preuve : supposons (xj) de Bessel, et soit x = P

λjxj une somme finie.

Observons que kxk² = hx,P

λjxji = P

λjhx, x_ji. L’inégalité de Cauchy- Schwarz permet d’écrire

kxk⁴ =

Xλ_jhx, x_ji

2 ≤ X

j

|λ_j|²kx_jk² X

j

|hx, y_ji|²

≤C X

j

|λ_j|²kx_jk² kxk²

ce qui donne l’inégalité annoncée. Réciproquement, si (xj) est une suite de Riesz supérieure de constanteB ((y_j)aussi, vu l’arbitraire sur lesλ_j), fixons x∈H. On peut trouver une suite(w_j)telle que P|w_j|² = 1 et

X

j

|hx, y_ji|²1/2

=X

j

wjhx, y_ji=hx,X

j

wjyji ≤ kxk

X

j

wjyj

≤Bkxk X

j

|w_j|²1/2

=Bkxk

si bien que (xj) est une suite de Bessel avec constante≤B². Nous particularisons maintenant au cas d’un espace de Hilbert H de fonc- tions définies sur un ensembleΩ, de noyau reproduisantK_a.

1. Une mesure positiveµsurΩest unemesure de Carleson pourHs’il existe une constanteC telle que

Z

Ω

|f(z)|²dµ(z)≤Ckfk², ∀f ∈H.

La meilleure constante C s’appelle la norme de Carleson de µ, et se note C=kµk_C,H.

2. SoitZ = (zj) une suite de points deΩ. Z est unesuite de Carleson si la suite de vecteursx_j =K_zjkK_zjk⁻¹ est de Bessel, autrement dit si la mesure discrète

µZ,H :=X

j

kK_zjk⁻²δzj

est de Carleson pourH. La constante de Carleson de(zj) est par définition kµ_Z,Hk_C,H, ou encore la constante de Bessel de (x_j).

1.3 Suites d’interpolation

On dit qu’une suite X = (xj) d’un espace de Hilbert H est une suite d’interpolation (ou de Riesz-Fischer) si, pour tout w = (w_j) ∈ `², on peut trouverx∈H tel que

(1.1) hx, x_ji=w_j, j = 1,2, . . . .

Alors, il existe une constanteC tel qu’on puisse trouver un telxavec kxk ≤ Ckwk. Soit en effetJ l’orthogonal de l’espace engendré par lesx_j etT :`²→ H/J définie parT(w) =x+J oùx vérifie (1.1), ce vecteur étant déterminé

modulo J. L’application T est linéaire, a son graphe fermé, et donc est continue. Et la constante C = kTk convient, par projection orthogonale.

Le lemme de Zabrejko ([43], p.190), appliqué à la semi-norme sigma-sous- additive sur`² définie par

N(w) = inf{kxk; hx, x_ji=w_j ∀j}

donnerait aussi l’existence deC. Le meilleurCpossible s’appelle la constante d’interpolation deX, et se noteM_H(X).

Les suites d’interpolation normées ne sont autres que les suites de Riesz inférieures ([7]), comme le montre la

Proposition 1.3 (Boas) Soit X = (x_j) une suite normée de H. Alors pour toute suite finie (λj) de scalaires, kP

jλjxjk² ≥[MH(X)]⁻²P

j|λ_j|², et de plus [M_H(X)]⁻¹ est la constante de Riesz inférieure de (x_j).

Preuve : supposonsXd’interpolation et soit(λ_j)une suite finie de scalaires.

On peut écrire par linéarisation S:= X

j

|λ_j|²1/2

=X

j

cjλj avec X

|c_j|² = 1.

On a ensuite c_j =hx, x_ji avecx∈H vérifiant kxk ≤M_H(X). On obtient S=X

j

λ_jhx, x_ji=hx,X

j

λ_jx_ji ≤M_H(X)kX

j

λ_jx_jk.

Ainsi,(x_j)est une suite de Riesz inférieure de constanteA≥[M_H(X)]⁻¹. Réciproquement, supposons (x_j) normé de constante de Riesz inférieure A.

Soit(wj)telle queP

|w_j|² = 1. Définissons une forme linéaireLsur l’espace (non fermé) engendré par lesx_j ainsi : L(P

jλ_jx_j) =P

λ_jw_j. Nous avons

|L(X

j

λ_jx_j)| ≤ X

|λ_j|²1/2 X

|w_j|²1/2

≤(1/A)kX λ_jx_jk.

Par conséquent,Lse prolonge en une forme linéaireLsurHde norme≤1/A et on peut trouverx∈H avec

kxk ≤1/A et L(y) =hy, xi ∀y∈E.

Testant cela sury =x_j, nous obtenonshx, x_ji=w_j et voyons queM_H(X)≤

1/A, soit encore A≤[M_H(X)]⁻¹.

Passons au cas d’un espace de Hilbert H de fonctions définies sur un en- sembleΩ, de noyau reproduisant K_a. La suite de points Z = (z_j) ⊂Ω est une suite d’interpolation pour H si la suite de vecteurs x_j = kK_zjk⁻¹K_zj est d’interpolation, ou encore si, pour toute suite (wj) telle que l’on ait P

j|w_j|²kK_zjk⁻² <∞, il existef ∈H telle que hf, K_zji=f(zj) =wj et kfk ≤C X

j

|w_j|²kK_zjk⁻²1/2

.

2 Critères de "Rieszitude"

Le sous-espaceEengendré par desK_zj s’appelleun espace modèle. La propo- sition suivante reformule les Propositions 1.2 et 1.3, appliquées à la suite x_j = kK_zjk⁻¹K_zj, dans le langage des espaces de fonctions, et donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite (K_zj) de noyaux repro- duisants soit une suite de Riesz supérieure (resp. inférieure) pour l’espace modèleE qu’elle engendre, avec contrôle des constantes.

Proposition 2.1 SoitZ = (z_j) une suite finie dans Ω. Alors 1. kP

jλ_jK_zjk² ≤ kµ_Z,Hk_C,HP

j|λ_j|²kK_zjk², et de plus kµ_Z,Hk^1/2_C,H est la constante de Riesz supérieure de (Kzj).

2. kP

jλjKzjk² ≥[M_H(Z)]⁻²P

j|λ_j|²kK_zjk², et de plus [M_H(Z)]⁻¹ est la constante de Riesz inférieure de(K_zj).

Remarque. On pourrait se contenter de parler de suites de Bessel et de suites de Riesz-Fischer, mais ce “langage à la Carleson” munit d’une intuition géométrique utile (via un théorème de plongement de Carleson) dans l’étude des opérateurs de composition Cϕ associés à une application holomorphe ϕ: Ω→Ω lorsqueΩest un ouvert du plan complexe (le disque unité ou un demi-plan pour les séries de Dirichlet). Ces opérateurs (cf.chapitre 3) sont formellement définis par

C_ϕ(f) =f◦ϕ, f ∈H.

3 L’espace de Hilbert H

Rappelons la notation, pour tout nombre réel θ: Cθ ={s∈C; Res > θ}.

3.1 Bases de dilatées de l’espace de Hilbert L²(0,1)

Soit H l’espace de Hilbert L²(0,1). On convient qu’une fonctionϕ∈H s’étend d’abord en une fonction impaire sur (−1,1)puis en une fonction 2- périodique sur R, toujours notée ϕ. On remarque (exercice) que si ψ(x) =

√2 sinπx, les dilatées ψ_n(x) := ψ(nx), n = 1,2, . . . forment une base or- thonormale deH ou encore que toute fonction ϕ∈H a un développement de Fourier

ϕ(x) =

∞

X

n=1

a_n√

2 sinnπx avec

∞

X

n=1

|a_n|²<∞.

Et il est naturel de se demander quelles sont les fonctions ϕ∈H qui possè- dent la même propriété. La question posée est tout à fait naturelle et dans l’esprit du théorème de Wiener sur la totalité des translatées d’une fonc- tion (remplacées ici par leurs dilatées). Mais elle est trop rigide: seules les fonction a1

√

2 sinπx avec |a₁|= 1conviennent, ce qui demande une preuve ([10], Théorème 2.4, voir aussi la Remarque 2 qui suit le Théorème 7.2).

Assouplissons-la en demandant

1. Quelles sont lesϕ∈H telles que les(ϕ_n)n≥1 forment une base de Riesz deH?

2. Quelles sont lesϕ∈H telles que les(ϕn)n≥1 forment un système total deH?

Comme on le verra, il existe une réponse satisfaisante à la première question, en termes de séries de Dirichlet. Considérons la correspondance

ϕ(x) =

∞

X

n=1

an

√

2 sinnπx∈H →Sϕ(s) :=

∞

X

n=1

ann^−s.

Puisque P|a_n|² < ∞, cela amène naturellement à considérer l’espace H² défini ainsi:

(3.1) H²:={f(s) =

∞

X

n=1

ann^−s ;

∞

X

n=1

|a_n|² =:kfk²<∞}.

Il est clair via Cauchy-Schwarz queH² est un espace de Hilbert de fonctions analytiques sur C1/2 et que les fonctions u_n définies par u_n(s) =n^−s, n = 1,2, . . . , forment une base orthonormale de H². Le noyau reproduisant K_a deH², c’est-à-dire

f(a) =hf, K_ai ∀f ∈ H² est donc donné pours, a∈C1/2, par

Ka(s) =

∞

X

n=1

un(s)un(a) =ζ(s+a) avec kK_ak² =Ka(a) =ζ(2Rea).

On a aussi clairementKa^(j) ∈ H² pour tout entier j≥0 et de plus f^(j)(a) =hf, K_a^(j)i ∀f ∈ H².

Une réponse complète à la question 1 sera donnée en termes de l’espace des multiplicateurs de H² et de la "fonction génératrice" Sϕ. Considérons l’exemple séminal suivant.

3.2 L’exemple de Wintner

Soit τ ∈C1/2 etϕ=ϕ^τ ∈H de développement de Fourier

(3.2) ϕ(x) =√

2

∞

X

n=1

sinnπx n^τ . Wintner a démontré

Théorème 3.1 [Wintner] Si ϕ=ϕ^τ avec τ ∈ C1/2 est comme dans (3.2), les dilatées(ϕn)n≥1 sont totales dans H.

Preuve : voici une preuve simple, basée sur le lemme classique suivant : Lemme 3.2 Soit(am) une série absolument convergentede complexes telle que S_d := P∞

k=1a_kd = 0 pour tout entier d≥ 1. Alors, a_m = 0 identique- ment.

Preuve du lemme: on utilise un argument de crible basé sur la fonction de Möbiusµen notant que, pour tout entier n≥1:

X

d|n

µ(d)S_d= X

(m,n)=1

a_m = 0

où(m, n) désigne le p.g.c.d des entiersmetn. En effet, le membre de droite vaut (séparation des variables)

∞

X

m=1

am

X

d|(m,n)

µ(d)

=

∞

X

m=1

am

X

d|m, d|n

µ(d)

=X

d|n

µ(d) X

k≥1

akd

.

Il en résulte que

a1 =− X

(m,n)=1, m>1

am,

d’où

|a₁| ≤ X

(m,n)=1, m>1

|a_m|.

En prenantn=p₁· · ·p_N où(p_j)est la suite des nombres premiers, on obtient

|a₁| ≤ X

m>pN

|a_m|

puis a1 = 0 en faisant tendre N vers l’infini. Soit ensuite l un entier ≥ 1 etb_k := a_lk. On a P

|b_k|<∞ et P

k≥1b_kd =S_ld = 0. Par ce qui précède, a_l =b₁ = 0.

Finissons maintenant la preuve du Théorème 3.1, en posant une fois pour toutes e_j(x) = √

2 sin 2πjx et en considérantg =P∞

j=1g_je_j ∈ H, orthogo- nale auxϕn=P∞

k=1k^−τe_kn. Alors 0 =hϕ_n, gi=

∞

X

k=1

g_kn k^τ =n^τ

∞

X

k=1

g_kn (kn)^τ.

Les hypothèses du lemme sont vérifiées pour la suitea_m =g_mm^−τ, sommable puisque Reτ > 1/2 et(g_m) ∈ `². On en déduit que tous les g_m et g sont

nuls, ce qui achève la preuve.

Le lemme devient faux en l’absence de convergence absolue, comme le mon- tre l’exemple an = ^λ(n)_n où λ est la fonction complètement multiplicative de Liouville ([36], p.29), qui vaut −1 sur les nombres premiers. Un autre exemple, signalé par O.Ramaré ([39]), estan= ^µ(n)_n où µest la fonction de Möbius. Voici la preuve.

Proposition 3.3 Soitq un entier ≥1. Alors

∞

X

n=1

µ(qn) n = 0.

Preuve : soitχ₀ le caractère principal modulo q etL(s, χ₀) =P∞ n=1

χ0(n) n^s , d’inverse

1/L(s, χ0) =

∞

X

n=1

µ(n)χ₀(n)

n^s = [ζ(s)]⁻¹Y

p|q

(1−p^−s)⁻¹.

Nous avons pourRes >1 :

∞

X

n=1

µ(qn)n^−s= X

n≥1, (q,n)=1

µ(q)µ(n)n^−s =µ(q)X

n≥1

µ(n)χ0(n)n^−s

=µ(q)[ζ(s)]⁻¹Y

p|q

(1−p^−s)⁻¹ =:G(s).

Cela implique par un argument taubérien classique : P∞ n=1

µ(qn)

n =G(1) = 0.

Remarque: De très intéressants compléments au théorème de Wint- ner, avec des exemples de suites orthonormales "exotiques" de dilatées, se trouvent dans l’article [10]. En particulier (Théorème 3.1 de cet article) si ϕ(x) = P∞

n=1an

√

2 sinnπx avec P∞

n=1|a_n| < ∞, alors (ϕn) est une suite orthonormale si et seulement si, posantSϕ(s) =P∞

n=1a_nn^−s, on a (3.3) |Sϕ(−iy)|=|

∞

X

n=1

ann^iy|= 1 pour touty∈R. Soit en effetT(y) =|Sϕ(−iy)|²=P

m,n≥1a_ma_n(^m_n)^iyetµla mesure de Haar du compactifié de BohrR de R([37], ch.1), pour laquelle les exponentielles e_λ(x) =e^iλx, λ∈Rforment une base orthonormale de L²(µ). On voit que T est à spectre de Fourier-Bohr dans F := logE où E est l’ensemble des rationnels>0 et a l’identité (qui en un sens annonce [23])

(3.4) r=p/q∈E⇒

Z

T(y)r^−iydµ(y) =hϕ_q, ϕ_pi.

En effet, le second membre de (3.4) vaut X

qm=pn

a_ma_n= X

m/n=r

a_ma_n.

Et le premier aussi puisque m/n 6=r ⇒ R

(m/n)^iyr^−iydµ(y) = 0.Et (3.3) en découle. Par exemple, si (ϕ_n) est une suite orthonormale, (3.4) montre

que le spectre de Fourier-Bohr deT est réduit àlog 1 = 0, la fonctionT vaut donc une constante c etc=R

T(y)dµ(y) =P∞

k=1|a_k|² = 1. Et (3.4) donne immédiatement la réciproque. Des monômes comme ϕ(x) = √

2 sinkπx conviennent, mais aussi des fonctions plus inattendues, comme celle (avec

−1< a <1) correspondant à

a₁ =−a, a₂n =aⁿ⁻¹(1−a²) pour n≥1, a_m= 0 sinon

pour laquelle Sϕ(s) = _1−a2^2−s−a−s. Plus généralement, étant donné des entiers n1, . . . , nr≥2 et des pointsz1, . . . , zr∈D, on peut prendre ϕdéfinie par

Sϕ(s) =

r

Y

j=1

n^−s_j −zj

1−z_jn^−s_j . Par contre, siSϕ(s) =PN

n=1ann^−s est un polynôme de Dirichlet unimodu- laire, c’est un monôme, comme conséquence du lemme simple suivant Lemme 3.4 Soit λ₁ <· · ·< λ_N ∈Ret P(t) =PN

n=1a_ne^iλnt. Si |P(t)|= 1 sur R,P est un monôme.

Preuve : on peut supposer a1 6= 0 et λ1 = 0, par shift. Si N ≥ 2, on a |P(t)|² = P

a_ma_ne^{i(λm−λn)t} = 1 et le coefficient de e^iλNt est a_Na₁ car λ_m−λ_n=λ_N ⇒m=N etn= 1. D’oùa_N = 0et finalementP(t) =a₁. Cela ne passe pas aux polynômes trigonométriques P(x) = Pn

j=1a_jγ_j(x) sur les groupes abéliens compacts G dont le dual Γ ={γ₁,· · · , γn} a de la torsion, comme le montre l’exemple (avecn= 2^N)

G₀ ={±1}, Γ₀ ={1, γ}, Q= 1 +iγ, G=G^N₀ , Γ = Γ^N₀ , P =Q⊗ · · · ⊗Q pour lequel on a |Q(y)| =√

2 pour tout y ∈G0 et |P(x)| =√

n pour tout x= (xj)1≤j≤n∈Galors queP n’est pas un monôme. Les sommes de Gauss ([2], p.168) donnent aussi des exemples intéressants.

4 L’espace de Banach H

4.1 Définition et premières propriétés Soit Dl’espace des séries de Dirichlet f(s) =P∞

n=1a_nn^−s convergentes:

σ_c(f)<∞ ou encore|a_n| ≤Cn^A pour des constantesC, Aconvenables. Et soit H^∞(C0) l’espace des fonctions analytiques bornées dans le demi-plan droitC0. On a par définition:

H^∞=H^∞(C0)∩ D

et on appelleH^∞ l’espace des séries de Dirichlet bornées. On le munit de la norme

kfk_∞= sup

s∈C0

|f(s)|

qui en fait un espace de Banach (non-séparable) et même une algèbre de Banach ([37], p.142). Une fonction f ∈ H^∞ est donc une fonction qui véri- fie deux conditions, l’une de croissance, l’autre de développement. Voici quelques exemples:

1. Soit g ∈ H^∞(D). Alors, la fonction f(s) = g(2^−s) est dans H^∞. En effet,f est analytique bornée dansC0 et de plus, sig(z) =P∞

n=0g_nzⁿ, on a f(s) =P∞

n=0gn(2ⁿ)^−s, donc f ∈ D.

2. Si a > 1 n’est pas entier, f(s) = a^−s ∈ H/ ^∞. En effet, f ∈ H^∞(C0) mais f /∈ D comme on le vérifie facilement, par exemple en comparant le comportement def(s) et d’une série de DirichletP∞

n=ka_kk^−s avec a_k 6= 0 quandRes→ ∞. Plus généralement, une série de HurwitzP∞

j=0a_j(j+θ)^−s avec0< θ <1 n’est jamais dansH^∞.

3. Soitf(s) =P∞

n=1(−1)ⁿ⁻¹n^−s−1 = (1−2^−s)ζ(s+ 1). Alors,f /∈ H^∞. En effet,f ∈ D et mêmeσc(f) = 0. Maisf /∈H^∞(C0) d’après les propriétés de la fonction zeta, par exemple (voir aussi l’inégalité de Bohr du chapitre 1).

4.2 Bases de Riesz de dilatées

Le théorème de Wintner nous dit que les dilatées de la fonction ϕ=ϕ^τ de (3.2) engendrent H dès que Reτ > 1/2. Mais il ne dit pas quand elles forment une base de Riesz. Le théorème suivant ([23]) va fournir la réponse.

Théorème 4.1 [Hedenmalm-Lindqvist-Seip] Soit ϕ ∈H de développement ϕ(x) =√

2 P∞

k=1a_ksinkπx. On a équivalence entre:

1. Les dilatées(ϕn)n≥1 deϕ forment une base de Riesz de H.

2. La fonction génératriceSϕ(s) =P∞

n=1a_nn^−s est dansH^∞ ainsi que son inverse. Plus précisément

kSϕk_∞=Bkϕk₂ et k1/Sϕk_∞= (Akϕk₂)⁻¹ ou encore s∈C0⇒Akϕk₂≤ |Sϕ(s)| ≤Bkϕk₂

oùAetB sont respectivement les constantes de Riesz inférieure et supérieure de(ϕ_n).

En particulier, les dilatées deϕ^τ forment une base de Riesz deH si et seule- ment siReτ >1.

Ce théorème sera montré plus loin,mais l’application à ϕ^τ est claire; on a Sϕ^τ(s) =ζ(s+τ), et 1

Sϕ^τ(s) =

∞

X

n=1

µ(n)n^−s−τ

où µ désigne la fonction de Möbius. Ces fonctions sont bornées dans C0 si et seulement si Reτ =:σ >1. On a alors

kϕ^τk₂ =p

ζ(2σ), kSϕ^τk∞=ζ(σ), k1/Sϕ^τk∞=ζ(σ)/ζ(2σ) (voir aussi [27]), comme on l’a vu au chapitre 1. SoitB =A⁻¹ =ζ(σ)/p

ζ(2σ).

Voici maintenant une formule due à E.Saksman ([40]), qui se révèle aussi fondamentale dans l’étude de H^∞ que le noyau de Fejér dans l’étude des séries de Fourier.

5 La formule de convolution verticale de Saksman

Désignons parE l’ensemble des fonctionsψdeL¹(R)dont la transformée de Fourierψ,b

ψ(ξ) =b Z ∞

−∞

ψ(t)e^−itξdt est à support compact. Nous avons le

Théorème 5.1 [Saksman] Soit f(s) = P∞

n=1a_nn^−s ∈ D et θ un réel ≥ σc(f). On suppose f bornée dans tout demi-plan Cθ+ε avec ε >0. Alors (5.1)

∞

X

n=1

ann^−sψ(logb n) = Z ∞

−∞

f(s+it)ψ(t)dt, ∀s∈Cθ.

Preuve : observons d’abord que les deux membres de (5.1) ont un sens dans Cθ et y définissent des fonctions analytiques. C’est évident pour le membre de gauche, qui est un polynôme de Dirichlet puisqueψ∈E. C’est clair pour le membre de droite puisquef est bornée sur chaqueCθ+ε. Soit maintenant α >max(θ, σ_a(f)). Si s∈Cα, on a

Z ∞

−∞

f(s+it)ψ(t)dt= Z ∞

−∞

∞

X

n=1

ann^−s−itψ(t)dt

=

∞

X

n=1

ann^−s Z ∞

−∞

n^−itψ(t)dt=

∞

X

n=1

ann^−sψ(logb n),

l’interversion étant justifiée par la convergence de la série de terme général u_n=

Z

|a_nn^−s−itψ(t)|dt avec u_n≤ |a_n|n^−αkψk₁.

On a donc l’égalité voulue dansCα et,par prolongement analytique des iden-

tités,dansCθ.

Malgré la simplicité de sa preuve (les arguments usuels de changement de contour, un peu lourds techniquement, sont remplacés par le prolongement analytique des identités), l’identité de convolution verticale (5.1) va se révéler d’une utilité capitale.

6 Applications de la formule de Saksman

6.1 Une inégalité basique

Voici d’abord une reformulation utile de (5.1) quand f ∈ H^∞etθ= 0.

Théorème 6.1 Soitf(s) =P∞

n=1ann^−s ∈ H^∞ et ψ∈E. Alors, on a pour tout entierN ≥2 et tout s∈C0 :

(6.1)

∞

X

n=1

ann^−sψb logn

logN

≤ kfk_∞kψk₁.

Preuve : on applique (5.1) à la fonction ψλ(t) =λψ(λt) oùλ= logN, qui vérifie kψ_λk₁ =kψk₁ et ψc_λ(ξ) = ψ(ξ/λ). Le premier membre de (6.1) vaut\ donc

Z

R

f(s+it)ψ_λ(t)dt

≤ kfk∞kψ_λk₁ =kfk∞kψk₁.

L’inégalité simple suivante est fondamentale dans l’étude deH^∞. Elle inter- vient d’ailleurs dans la preuve de la complétude deH^∞ ([37], p.142).

Théorème 6.2 Soitf(s) =P∞

n=1a_nn^−s∈ H^∞. Alors, on a (6.2) |a_N| ≤ kfk∞ pour tout N ≥1.

En particulier,σ_c(f)≤1.

Preuve : notons d’abord que a1 = limRes→∞f(s), donc |a₁| ≤ kfk_∞. Fixons ensuite un entierN ≥2 et s=σ+it∈C0. Soith > 0 tel queh <

infn6=N|logn/logN−1|, puisϕ∈E telle queϕ≥0etϕ(ξ) = (1b − |ξ|/h)⁺, et enfinψ(t) =e^itϕ(t) si bien que

ψ(ξ) = (1b − |ξ−1|/h)⁺ etkψk₁=kϕk₁=ϕ(0) = 1,b ψ(1) = 1.b On a par construction :

ψblogn logN

= 1 sin=N, et = 0si n6=N.

(6.1) se lit donc|a_N|N^−σ ≤ kfk∞. Il reste à faire tendreσ vers zéro.

6.2 Sommes partielles des séries de Dirichlet et théorème de Bohr

Si f(s) = P∞

n=1a_nn^−s ∈ H^∞ et si N est un entier ≥1, on note S_N(f) laN-ième somme partielle def. C’est le polynôme de Dirichlet défini par

(6.3) SN(f)(s) =

N

X

n=1

ann^−s.

Un résultat fondamental de Bohr ([9]) est le suivant :

Théorème 6.3 [Bohr] Soit f ∈ H^∞. Alors, la série de Dirichlet associée à f converge uniformément dans tout demi-plan Cε avecε > 0, en d’autres termes

(6.4) σ_u(f)≤0.

Dans [8] on a prouvé un résultat plus fort, sous forme quantitative, en mon- trant que

(6.5) kS_N(f)k_∞≤Clog(N+ 1)kfk_∞.

Le résultat est plus fort car, si l’on en dispose, on obtient le Théorème 6.3 en écrivant pours∈C0 :

a_nn^−s−ε=n^−ε

S_n(f)(s)−Sn−1(f)(s) et en faisant une transformation d’Abel.

La preuve de (6.5) utilisait une méthodecomplexe. On partait de la formule de sommation de Perron pour exprimer S_N comme une intégrale le long d’un segment vertical, à un terme d’erreur près; puis à l’aide du théorème de Cauchy on décalait le segment vers la gauche, et enfin on optimisait ce décalage par rapport à un certain paramètre. La formule de convolution de Saksman permet de donner une preuve essentiellement réelle et "self- contained" ([40]).

Théorème 6.4 [Balasubramanian-Calado-Queffélec] Soit f ∈ H^∞ et N un entier ≥1. Alors

(6.6) kS_N(f)k_∞≤Clog(N+ 1)kfk_∞ où C est une constante numérique.

Preuve : on utilise l’inégalité (6.1) et un bon choix de la fonctionψfigurant dans cette inégalité, donné par le lemme suivant

Lemme 6.5 [ Fonction Test] Soit T la fonction paire sur Rdéfinie par T(t) = 1 pour 1≤t≤1−1/N, T(t) = 0 pour t≥1 + 1/N,

T linéaire sur [1−1/N,1 + 1/N].

Alors,T =ψbavecψ∈E et

(6.7) kψk₁ ≤ 4 + 2 logN

π

Preuve du lemme: sih >0, soit χ_h la fonction indicatrice de (−h, h).

Alors,χc_h(ξ) = 2^sin_ξ^hξ et

T = 1

2aχ_a∗χ_b aveca= 1/N etb= 1. D’où

T(ξ) = 2Nb sinξ/N ξ

sinξ ξ . Nous voyons alors que

(6.8) kTkb ₁≤8 + 4 logN.

En effet, la parité deT et le changement de variableξ=N y donnent kTkb ₁= 4

Z ∞ 0

|siny||sinN y|

y² dy≤4

Z _1/N

0

N dy+ Z ₁

1/N

dy y +

Z ∞ 1

dy y²

!

= 8 + 4 logN.

Maintenant, la formule d’inversion de Fourier et la parité impliquent (6.9) T =ψb avec kψk₁ ≤ 4 + 2 logN

π .

On applique pour finir (6.1) avec ψ comme dans le Lemme. Ce qui nous donne pours∈C0, viaψb=T :

(6.10)

∞

X

n=1

a_nn^−sTlogn logN

≤ kfk_∞kψk₁. On peut supposer quekfk_∞= 1 et on note que

1− 1

N < logn

logN ≤1 + 1

N ⇐⇒≤N e^−logN/N < n≤N e^logN/N

si bien que le membre de gauche de (6.10) ne diffère deS_N(f)(s)que par au plus

N

e^logN/N −e^−logN/N

logN

termes, tous de taille kfk_∞ = 1 d’après (6.2). Comme on a de plus kψk₁ logN, prenant le sup surs∈C0, on obtient le Théorème 6.4.

6.3 L’identité de Carlson

Voici maintenant une formule utile de type Parseval pour les séries de Dirich- let, dont la validité en général pose des problèmes délicats ([37], chap.7), mais pas pour les séries de Dirichlet bornées.

Théorème 6.6 Soitf(s) =P∞

n=1ann^−s∈ H^∞ etε >0. Alors, on a

(6.11) lim

T→∞

1 T

Z T 0

|f(ε+it)|²dt=

∞

X

n=1

|a_n|²n^−2ε≤ kfk²_∞.

En particulier, on a l’inclusion contractante H^∞⊂ H², au sens où f ∈ H^∞=⇒f ∈ H² etkfk₂≤ kfk_∞.

Preuve : il suffit de remarquer que la sérieP∞

n=1ann^−εn^−it converge uni- formément sur R d’après le Théorème 6.3, et que pour une série du type f(t) =P∞

n=1bne^−iλnt, uniformément convergente sur R, on a toujours (avec iciλn= logn)

Tlim→∞

1 T

Z T 0

|f(t)|²dt=

∞

X

n=1

|b_n|².

Ceci se vérifie à l’arme blanche grâce à la convergence uniforme. En termes plus savants, c’est l’identité de Parseval pour f continue sur le compactifié de BohrRde Rmuni de sa mesure de Haarµqui vérifie

Z

R

g dµ= lim

T→∞

1 T

Z T 0

g(t)dt

pour toute g continue sur R. Quoi qu’il en soit, on a (6.11) et la seconde

assertion s’obtient en faisant tendreεvers 0.

6.4 Les multiplicateurs de H²

Nous noterons dans ce paragraphe k k₂ la norme dans H². Nous allons montrer ici le résultat fondamental suivant ([23]) par la méthode de Saksman (voir aussi [1]), et en donnerons une application.

Théorème 6.7 [Hedenmalm-Lindqvist-Seip] Les multiplicateurs de H² s’identifient isométriquement à H^∞. De façon plus précise, soit f une fonc- tion complexe définie surC1/2. Alors

f g∈ H² ∀g∈ H²⇔f ∈ H^∞, et de plus kfk_∞= sup

kgk2≤1

kf gk₂.

Preuve : elle va nécessiter les deux lemmes qui suivent.

Lemme 6.8 Soit f ∈ H^∞ et g∈ H². Alors, f g∈ H² et

(6.12) kf gk₂≤ kfk_∞kgk₂.

Preuve du Lemme 6.8: soit f(s) =

∞

X

n=1

a_nn^−s, g(s) =

∞

X

n=1

b_nn^−s, (f g)(s) =

∞

X

n=1

c_nn^−s

puis soit gN(s) = PN

n=1bnn^−s et (f gN)(s) = P∞

n=1c^(Nn ⁾n^−s où N est un entier ≥ 1. On applique l’identité de Carlson à f gN ∈ H^∞. Pour ε > 0 donné:

∞

X

n=1

|c^(N)_n |²n^−2ε = lim

T→∞

1 T

Z T 0

|f(ε+it)|²|g_N(ε+it)|²dt

≤ kfk²_∞ lim

T→∞

1 T

Z T 0

|g_N(ε+it)|²dt=kfk²_∞

N

X

n=1

|b_n|²n^−2ε≤ kfk²_∞kgk²₂.

D’où P∞

n=1|c^(N)_n |² ≤ kfk²_∞kgk²₂ en faisant tendre εvers 0 et en utilisant le lemme de Fatou. Il reste à remarquer que, pour chaque nfixé, on a

c^(N)_n = X

ij=n, j≤N

aibj

N→∞→ X

ij=n

aibj =cn

et à réappliquer le lemme de Fatou.

Dans le lemme à venir, nous noterons, pourr entier≥1,N_r l’ensemble des entiers qui n’ont que des diviseurs premiers≤pr, le r-ième nombre premier.

Et P_r l’ensemble des polynômes de Dirichlet f(s) = P∞

n=1cnn^−s tels que c_n6= 0⇒n∈N_r.

Lemme 6.9 Pour chaque s ∈ C0 et chaque r entier ≥ 1, il existe une constante C_s,r>0 telle que

(6.13) f ∈ P_r⇒ |f(s)| ≤Cs,rkfk₂. Preuve du Lemme 6.9: soits=σ+it∈C0 etf(s) =P

n∈Nrc_nn^−s∈ P_r. Une identité d’Euler tronquée montre que

C_s,r:= X

n∈N_r

n^−2σ =

r

Y

j=1

(1−p^−2σ_j )⁻¹<∞.

Cauchy-Schwarz donne maintenant

|f(s)| ≤ X

n∈N_r

|c_n|²1/2 X

n∈N_r

n^−2σ1/2

=C_s,rkfk₂.

Revenons à la preuve du Théorème 6.7. Soitf un multiplicateur deH². On noteM_f :H² → H² l’opérateur de multiplication par f. On a f ∈ H² car f =M_f(1), et M_f est un opérateur borné par le théorème du graphe fermé.

On noteλsa norme. Le Lemme 6.8 nous dit qu’une fonctionf ∈ H^∞ est un multiplicateur, avecλ≤ kfk_∞. La réciproque va s’établir en trois étapes.

Etape 1 ("Power trick".) On aλ=kfk_∞ sif est un polynôme de Dirichlet.

En effet, fixons r tel que f ∈ P_r et s ∈ C0. On voit de proche en proche que kf^kk₂ ≤λ^k pour k entier ≥ 1, puisque f^k =M_f(f^k−1) et f⁰ = 1. Le Lemme 6.9, applicable àf^k∈ P_r, nous donne maintenant :

|f(s)|^k≤Cs,rkf^kk₂ ≤Cs,rλ^k puis |f(s)| ≤λ Cs,r

1/k

. En faisant tendrek vers l’infini, on obtient |f(s)| ≤λpuiskfk_∞≤λ.

Etape 2.

Écrivons f(s) =P∞

n=1ann^−s. Soit ψ ∈ E et P(s) =P∞

n=1anψ(logb n)n^−s. Alors

(6.14) kM_Pk ≤ kM_fk × kψk₁ =:λkψk₁.

Soit en effet, pourtréel,Tt l’opérateur de translation verticale paritdéfini par T g(s) = g(s+it). Cet opérateur est une isométrie sur H² et de plus T_tf est encore un multiplicateur, avec kM_Ttfk = kM_fk. En effet, puisque (T_tf)g=T_t f(T−tg)

, on a

k(T_tf)gk₂ =kf(T−tg)k₂ ≤ kM_fk kT_−tgk₂ =kM_fk kgk₂.

Maintenant, la formule de convolution verticale de Saksman s’écrit sous forme vectorielle (avecR

=R

R) P =

Z

(Ttf)ψ(t)dt d’où, sig∈ H²,P g=R

(T_tf g)ψ(t)dt puis kP gk₂ ≤

Z

kT_tf gk₂|ψ(t)|dt≤ Z

kM_fk kgk₂|ψ(t)|dt=kM_fk kgk₂|kψk₁

ce qui prouve (6.14)

Etape 3. Soit (ψ_j) une approximation de l’identité dans L¹, par exemple cψ_j(ξ) = 1−^|ξ|_j +

. Et soitP_j le polynôme de Dirichlet correspondant : P_j(s) =

∞

X

n=1

a_nψc_j(logn)n^−s= Z

(T_tf)(s)ψ_j(t)dt.

D’après les deux premières étapes, on a kP_jk_∞ = kM_Pjk ≤ λ. Modulo extraction, on peut supposer, d’après le théorème de Montel, que Pj tend uniformément sur tout compact de C0 vers une fonction F ∈H^∞(C0) avec kFk_∞ ≤λ. Soit maintenant s=σ+it∈C_1/2. Alors, P∞

n=1|a_n|n^−σ <∞ etcψj(logn)→1quand j→ ∞, avec 0≤cψj(logn)≤1, donc

Pj(s)→

∞

X

n=1

ann^−s=f(s),

ce qui donnef(s) =F(s). Ainsi,f ∈ Dpuisquef ∈ H². Etf se prolonge en une fonction analytique bornée parλsurC0, ce qui achève la démonstration.

7 Le Théorème des dilatées

Le but de ce paragraphe est de prouver le Théorème 4.1. On note H = L²(0,1)et(e_k)k≥1la base orthonormale deHdéfinie pare_k(x) =√

2 sinkπx, ainsi que P∞

k=1akek le développement de ϕ ∈ H fixée. On dispose d’un opérateur de transfert unitaireS :H→ H² défini par

S(f)(s) =

∞

X

n=1

c_nn^−s si f =

∞

X

n=1

c_ne_n.

Supposons d’abord que(ϕn)est une base de Riesz deH, nous disposons aussi d’un opérateur de ToeplitzTϕ :H→H défini par

Tϕf =

∞

X

n=1

cnϕn si f =

∞

X

n=1

cnen avec X

n≥1

|c_n|² <∞.

Le lemme suivant exprime une relation utile d’entrelacement entreS etTϕ.

Lemme 7.1 Si (ϕn) est une base de Riesz deH, on a (7.1) S(T_ϕf) =Sϕ Sf pour toute f ∈ H². Preuve : sif =P

n≥1c_ne_n, on a Tϕf =

∞

X

n=1

cnϕn=

∞

X

n=1

cn

∞

X

k=1

a_ke_nk

=

∞

X

N=1

eN

X

nk=N

cna_k

=

∞

X

N=1

eN(a∗c)_N

(où∗désigne la convolution de Dirichlet) si bien que S(Tϕf) =

∞

X

N=1

(a∗c)NN^−s = (

∞

X

k=1

a_kk^−s)(

∞

X

n=1

cnn^−s) =Sϕ Sf

ce qui prouve (7.1).

Comme conséquence du Lemme 7.1, on voit que (écrivantk k₂ pour la norme dansH =L²(0,1)et notant quekϕ_nk₂ =kϕk₂)

kSϕ Sfk_H2 =kS(T_ϕf)k_H2 =kT_ϕfk₂≤Bkϕk₂kfk₂ =Bkϕk₂kSfk_H2

oùB est la constante de Riesz supérieure de(ϕ_n). CommeS est surjective, cela exprime que Sϕest un multiplicateur deH² de norme ≤Bkϕk₂. On a par un calcul analogue (écrivantg=Sf)

(7.2) k(Sϕ)gk_H2 ≥Akϕk₂kgk_H2 ∀g∈ H²

oùAest la constante de Riesz inférieure de(ϕ_n). Cela exprime que l’opérateur M de multiplication parSϕ, M :H²→ H² est injectif d’image fermée. Il est aussi surjectif, d’après la relation (7.1) et le fait queTϕ est surjectif, puisque lesϕ_nforment unebase de Riesz. De plus,Sϕne s’annule pas surC1/2. En effet, siSϕ(τ) = 0pour unτ ∈C1/2, les fonctions de l’image de la surjection STϕS⁻¹ : H² → H² sont toutes orthogonales au noyau reproduisant Kτ, toujours d’après (7.1) (cette hypothèse de totalité des ϕ_n est essentielle : dans l’exemple de la remarque qui suit le théorème de Wintner, la fonction Sϕvérifie

kSϕ gk_H2 =kgk_H2

pour toute g ∈ H² et pourtant a des zéros dans C1/2 dès que|a|< 1/√ 2).

La relation (7.2) s’écrit aussi bien, puisqueM est surjectif et puisqueSϕne s’annule pas

(7.3) kg/Sϕk_H2 ≤(Akϕk₂)⁻¹kgk_H2 ∀g∈ H².

Il en résulte que1/Sϕest un multiplicateur deH²de norme≤(Akϕk_∞)⁻¹, ce qui achève, modulo le Théorème 6.7, la preuve de l’implication 2.⇒ 1.

du Théorème 4.1.

Supposons maintenant que Sϕet 1/Sϕsont dans H^∞. Nous avons encore, désignant parV ⊂H l’espace vectoriel (non fermé) engendré par lesen, la relation (7.1) pourf ∈V, qui montre que

(7.4) (k1/Sϕk∞)⁻¹kfk₂≤ kT_ϕfk₂ ≤ kSϕk∞kfk₂ ∀f ∈V.

D’autre part, (7.1) de nouveau montre que T_ϕ :V → H est d’image dense, puisque l’opérateur M : SV → H² de multiplication par Sϕ est d’image dense sachant que Sϕ et 1/Sϕ sont dans H^∞. Mais (7.4) et la densité de T_ϕ(V) montrent que (ϕ_n) est une base de Riesz de H de constantes B et A vérifiant Bkϕk₂ ≤ kSϕk∞ et (Akϕk₂)⁻¹ ≤ k1/Sϕk∞. Cela prouve l’implication1.⇒2.du Théorème 4.1.

Remarques. (1)Une version affaiblie du Théorème 4.1 a été obtenue dans ([20]) sous la forme suivante (cf.[37], p.25 pour la définition de presque- périodique)

Théorème 7.2 Supposons que Sϕ(s) = P∞

n=1ann^−s se prolonge dans C0

avec Sϕ(it) presque-périodique sur R au sens de Bohr. Alors, (ϕ_n) est une base de Riesz si et seulement si1/Sϕ∈ H² et

t∈infR

|Sϕ(it)|>0.

Mais il est remarqué dans [24] que cette forme est définitivement plus faible que le Théorème 4.1, avec l’exemple (déduit de la fonction intérieure sin- gulièrez7→e−(1+z)/(1−z))

Sϕ(s) = 1 4

3 +e^{−(1+2−s)/(1−2−s)}

qui vérifie clairement 1/2 <|Sϕ(s)| <1 dans C0, mais pour lequel Sϕ(it) n’est même pas continue surR.

(2) Voici comment prouver une assertion gratuite de l’introduction. Sup- posons queϕ=P∞

n=1a_ne_n∈H et que(ϕ_n)n≥1 soit unebase orthonormale de H. Nous pouvons écrire e1 = P

k≥1ckϕk avec P

|c_k|² < ∞. D’où e_n=P

k≥1c_kϕ_kn puisquee_n= (e₁)_n. En particulier, si n >1:

an=hϕ, e_ni=hϕ₁,X

k≥1

ckϕkni=X

k≥1

ckhϕ₁, ϕkni= 0

puisquekn≥n >1 et donc ϕ₁ ⊥ϕ_kn. Il vient ϕ=a₁e₁ avec |a₁|= 1.

8 Propriétés supplémentaires de H

Les deux résultats suivants aident à l’étude des opérateurs de composition surH² du chapitre trois.

8.1 Représentation intégrale

Il est utile de disposer d’une formule de représentation intégrale pour la norme dans H², analogue à la formule de Parseval pour l’espace de Hardy H² du disque. Plusieurs telles formules existent, en particulier une formule de type Littlewood-Paley, valable aussi pour les espaces H^p de séries de Dirichlet ([3], [4], [5]). La suivante, très élémentaire, suffira à nos besoins.

Théorème 8.1 Soit f(s) = P

n≥1ann^−s ∈ H², dont la série de Dirichlet converge uniformément sur C0. Soit u ∈L¹(R) avec u≥0 et kuk₁ = 1, de dilatéesua(t) =_a¹u(_a^t), a >0. Alors

kfk²_H2 = lim

a→∞

Z

R

|f(it)|²ua(t)dt.

Preuve : la preuve formelle qui suit est valide si f est un polynôme de Dirichlet, i.e. a_m = 0pour m grand. En effet, puisquecu_a(ξ) =u(aξ):b

Z

R

|f(it)|²ua(t)dt=X

m,n

aman

Z

R

(m/n)^−itua(t)dt=X

m,n

amancua(log(m/n))

=X

m,n

amanub

a(logm−logn)a→∞

−→

∞

X

n=1

|a_n|²=kfk²_H2

d’après le lemme de Riemann-Lebesgue. Dans le cas général, soit ε > 0 et N₀ un entier tel quesup_t∈R|f(it)−f_N(it)| ≤ εpour N ≥N₀, où l’on pose f_N(s) = PN

n=1a_nn^−s. L’inégalité triangulaire et le fait que R

Ru_a(t)dt = 1 donnent pourN ≥N0, notant ici µa=ua(t)dt etf, fN pour f(it), fN(it):

Z

R

|f|²dµ_a1/2

≤ Z

R

|f−f_N|²dµ_a1/2

+ Z

R

|f_N|²dµ_a1/2

≤ε+ Z

R

|f_N|²dµ_a1/2

d’où par ce qui précède lim sup

a→∞

Z

R

|f|²dµa

1/2

≤ε+ (

N

X

n=1

|a_n|²)^1/2 ≤ε+kfk_H2.