Chapitre 12. L’ensemble des nombres réels R
Plan du chapitre
1
L’ensemble des nombres réels . . . .page 2 1.1Description géométrique des réels . . . page 2 1.2Distance entre deux réels. Intervalles de R. . . page 2 1.3La droite numérique achevéeR . . . page 32
Décimaux et rationnels . . . .page 3 2.1Nombres décimaux. Approximation décimale d’un réel . . . page 3 2.2Nombres rationnels . . . page 43
Majorants, minorants. Maximum, minimum. Borne supérieure, borne inférieure. . . .page 5 3.1Majorants, minorants . . . .page 5 3.2Maximum, minimum . . . page 5 3.3Borne supérieure, borne inférieure . . . page 64
Complément : convexes de R. . . .page 81 L’ensemble des nombres réels
1.1 Description géométrique des réels
Aucune construction de l’ensemble des nombres réelsRn’est au programme des classes préparatoires. On se contente donc d’une vision géométrique intuitive (et suffisante) de ces nombres. On représente traditionnellement l’ensemble des nombres réels par une droite appeléedroite numérique. Cette droite est munie d’une origineOet d’un vecteur−→i.
• A tout pointMde cette droite correspond un unique nombre (réel)xtel que−−OM→=x−→i.
• A tout nombre (réel)xcorrespond un pointMde cette droite tel que−−OM→=x−→i.
Ainsi, un nombre réel « est » un point sur une droite orientée. Les nombres à droite deO(les nombres positifs) permettent de mesurer n’importe quelle longueur.
b
O M
xb
−→i
L’ensembleRest muni d’une addition+et d’une multiplication×telles que (voir chapitre « Structures » pour la définition d’un corps commutatif) :
Théorème 1.(R,+,×)est un corps commutatif.
On a déjà expliqué qu’il existe différents types de nombres réels. Redécrivons les différents ensembles de nombres.
• L’ensemble des entiers naturelN.
• L’ensemble des entiers relatifsZ.
• L’ensemble des nombres décimauxD. Ce sont les nombres de la forme n
10p oùn∈Zetp∈N.
• L’ensemble des nombres rationnelsQ. Ce sont les nombres de la forme a
b où(a, b)∈Z×N∗. On a
N⊂
6= Z⊂
6= D⊂
6= Q⊂
6= R.
1.2 Distance entre deux réels. Intervalles de R
Ladistance usuelle entre deux réelsxetyestd(x, y) =|x−y|=Max{x, y}−Min{x, y}=Max{y−x, x−y}.
b b b
x 0 y
|x−y|
Par exemple,d(2, 3) =|2−3|=3−2=1.
Cette distance possède les propriétés immédiates suivantes :
• ∀x∈R,d(x, 0) =|x|=Max{x,−x}.
• ∀(x, y)∈R2,d(x, y) =0⇔x=y.
• ∀(x, y)∈R2,d(x, y) =d(y, x).
• ∀(x, y, z)∈R3,d(x, y)6d(x, z) +d(z, y)avec égalité si et seulement sizest entrexet y.
Cette distance permet de décrire certains intervalles deR:
• pourx0∈Ret r>0, [x0−r, x0+r] ={x∈R/ |x−x0|6r};
• pourx0∈Ret r > 0,]x0−r, x0+r[ ={x∈R/ |x−x0|< r}.
b b b
x0
x0−r x0+r
|x−x0|6r
bx
De manière générale, les différents types d’intervalles sont (aetbétant des réels tels quea6b) :
• [a, b] ={x∈R/ a6x6b}(intervalle fermé borné ousegment)
• [a, b[={x∈R/ a6x < b}(intervalle borné semi-ouvert à droite)
• ]a, b] ={x∈R/ a < x6b}(intervalle borné semi-ouvert à gauche)
• ]a, b[={x∈R/ a < x < b}(intervalle borné ouvert)
• [a,+∞[={x∈R/ x>a}(intervalle minoré et fermé à gauche et non majoré)
• ]a,+∞[={x∈R/ x > a}(intervalle minoré et ouvert à gauche et non majoré)
• ] −∞, a] ={x∈R/ x < a}(intervalle majoré et fermé à droite et non minoré)
• ] −∞, a[={x∈R/ x < a}(intervalle majoré et ouvert à droite et non minoré)
• ] −∞,+∞[=R.
1.3 La droite numérique achevée R
La droite numérique achevéeRest l’ensemble des nombres réelsR=] −∞,+∞[auquel on adjoint les deux symboles−∞ et+∞(qui ne sont pas des nombres) avec la convention :∀x∈R−∞< x <+∞. On obtient
R= [−∞,+∞].
La notationRpourra s’avérer utile dans un petit nombre de situation. Par exemple, on a le théorème : « toute suite réelle croissante et majorée converge et toute suite réelle croissante et non majorée tend vers+∞». On pourra alors énoncer de manière plus condensée : « toute suite réelle croissante converge dansR».
2 Décimaux et rationnels
2.1 Nombres décimaux. Approximation décimale d’un réel
Définition 1.Lesnombres décimauxsont les nombres de la forme n
10p,(n, p)∈Z×N.
Dit autrement, un nombre réel x est décimal si et seulement si il existe un entier naturel ptel que 10px soit un entier relatif.
Théorème 2.Soitxun réel. Pour tout entier naturelp, il existe un entier relatifnpet un seul tel que np
10p 6x < np 10p + 1
10p. Le nombre décimaldp= np
10p est appelé l’approximation décimale dex à10−p par défautet le nombre décimal dp+ 1
10p est l’approximation décimale dex à 10−p par excès.
Démonstration. Soitxun réel. Soitpun entier naturel fixé. Soitnun entier relatif.
n
10p 6x < n 10p+ 1
10p ⇔n610px < n+1⇔n=⌊10px⌋.
❏ Ainsi, l’approximation décimale à10−p près par défaut de xest ⌊10px⌋
10p . Par exemple, puisque3, 14159 6π < 3, 14160, l’approximation décimale à10−5 près par défaut deπest 3, 14159.
Une conséquence du théorème 2 est :
Théorème 3.Soitxun réel.∀ε > 0, ∃d∈D/|x−d|6ε. On dit alors queDest dense dansR.
Démonstration. Soit ε > 0. Soit p un entier naturel. 1
10p 6 ε ⇔ 10p > 1
ε ⇔ p > log 1
ε
. Soient alors p0 = Max
E
log
1 ε
+1, 0
puisdp0 l’approximation décimale à10−p0 près par défaut dex. Par définition dedp0, on a dp0 6x < dp0+ 1
10p0 puis06x−dp0< 1
10p0 6εet donc
|x−dp0|6ε.
Ainsi, aussi proche dexqu’on le veut, on peut trouver un nombre décimal. ❏
On peut noter que la suite (dp)p∈N du théorème 2 est une suite de nombres décimaux qui converge vers le nombre réel x car pour toutp∈ N, |x−dp| 6 1
10p avec lim
p→+∞
1
10p = 0. Ainsi, tout nombre réel est limite d’une suite de nombres décimaux.
2.2 Nombres rationnels
Définition 2.Lesnombres rationnelssont les nombres de la forme a
b,(a, b)∈Z×N∗. L’ensemble des nombres rationnels se noteQ. Un nombre réel qui n’est pas un nombre rationnel est ditirrationnel.
On a déjà démontré que le nombre réel√
2n’était pas un nombre rationnel. On peut démontrer que plus généralement si mest un entier qui n’est pas une puissancen-ème parfaite, le réel √n
mest un irrationnel. On peut démontrer aussi que des nombres commeeouπsont des irrationnels (voir planche d’exercices).
On « rappelle » que (voir chapitre « Structures » pour la définition d’un corps commutatif) Théorème 4.(Q,+,×)est un corps commutatif.
En particulier,Qest une partie deRstable pour+ et pour×ou encore la somme de deux rationnels est un rationnel et le produit de deux rationnels est un rationnel. Les choses se compliquent avec des irrationnels.
• La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel. En effet, soientx∈Qet y∈R\Qpuisz=x+y.
Si z∈Q, alorsy=z−x∈Qce qui n’est pas. Donc,z∈R\Q.
• Le produit d’un rationnel non nul et d’un irrationnel est un irrationnel. En effet, soientx∈Q∗ et y∈R\Q puisz=x×y. Siz∈Q, alorsy= z
x ∈Qce qui n’est pas. Donc,z∈R\Q.
• Le produit d’un rationnel et d’un irrationnel peut être rationnel ou irrationnel. Six∈Q∗et y∈R\Q, alors xy∈R\Q, mais six=0∈Qety∈R\Q, alorsxy=0∈Q.
• La somme de deux irrationnels peut être un rationnel (par exemple,√ 2+
−√ 2
=0∈Q) ou un irrationnel (on peut montrer que√
2+√ 3 /∈Q).
• Le produit de deux irrationnels peut être un rationnel (par exemple,√ 2×√
2=2∈Q) ou un irrationnel (on peut montrer que√
2×√ 3=√
6 /∈Q).
Le théorème qui suit et sa démonstration ne peuvent être compris que si l’on a des connaissances en arithmétique. Sinon, il faudra attendre le chapitre « Arithmétique ».
Théorème 5.Soientaun entier naturel non nul etbun entier naturel supérieur ou égal à2tels que PGCD(a, b) =1.
Le nombre rationnelr= a
b est un nombre décimal si et seulement si la décomposition primaire debest de la forme2α5β,(α, β)∈N2\ {(0, 0)}.
Démonstration. Supposons queb=2α5β,(α, β)∈N2\ {(0, 0)}. Soitp=Max{α, β}. Alors,
10pr= a10p
2α5β =a×2p−α5p−β∈Z(carp−α∈Netp−β∈N).
Inversement, supposons quer∈D. Il existep∈Ntel que10pa
b ∈N∗. Puisquern’est pas un entier (carb>2eta∧b=1), l’entier pn’est pas nul.
PosonsK=10pa
b de sorte queKest un entier naturel non nul tel queKb=10pa. L’entierbdoit donc diviser l’entier 10pa. Mais l’entierb est premier à l’entiera. D’après le théorème deGauss, l’entier bdivise 10p =2p5p avecp∈ N∗. On sait alors que la décomposition primaire debest de la forme2α5β,(α, β)∈N2\ {(0, 0)}.
❏ Ainsi, 3
20, 1 25 ou 7
8 sont des nombres décimaux alors 1 3 ou 4
21 ne sont pas des nombres décimaux.
Théorème 6.QetR\Qsont denses dansR.
Démonstration. Soitxun réel. D’après le théorème 3, aussi proche que l’on veut dex, il existe un nombre décimal. Puisque
qu’un nombre décimal est un nombre rationnel particulier, ceci montre queQest dense dansR.
On peut montrer queQest dense dansRdirectement sans avoir fait au préalable le travail pour les nombres décimaux : Soitε > 0. On choisit un entier naturel non nulbtel que 1
b 6ε(par exemple, on prendb= 1
ε
+1de sorte queb > 1 ε ...) Soita=⌊bx⌋.aest un entier relatif tel quea6bx < a+1et donc a
b 6x < a b+ 1
b 6 a
b+ε.r= a
b est un nombre rationnel tel que|x−r|6ε. On a montré queQest dense dansR.
Une conséquence de ce qui précède est qu’entre deux nombres réels distincts, il existe toujours au moins un rationnel.
Vérifions maintenant queR\Qest dense dans R. Soit x∈R. Soitε > 0. Il existe un rationnelr1entre x−ε
√2 et x−ε
√2
2 et il existe un rationnelr2 entre
x+ε
√ 2
2 et x+ε
√2 .r1etr2sont distincts et donc l’un au moins des deux rationnelsr1our2est non nul. On le note plus simplementr.
Considérons le nombrey=r√
2. Siyétait rationnel, on aurait√ 2= y
r ∈Qce qui n’est pas. Doncy∈R\Q. D’autre part,
x−ε
√2 6r6 x−ε
√ 2 2 ou
x+ ε
√2
2 6r6 x+ε
√2
⇒ x−ε
√2 6r6 x+ε
√2 ⇒x−ε6r√
26x+ε⇒|x−y|6ε.
Ainsi, aussi proche qu’on le désire d’un réel donné, on peut trouver un nombre irrationnel ou aussi, entre deux réels distincts, il existe au moins un nombre irrationnel.
❏
3 Majorants, minorants. Maximum, minimum. Borne supérieure, borne in- férieure
On rappelle d’abord les définitions d’un majorant, d’un minorant, d’un maximum et d’un minimum.
3.1 Majorants, minorants
Définition 3.SoitAun partie non vide deR.
SoitM∈R.Mest unmajorantdeAsi et seulement si∀x∈A,x6M.
Aest majoréesi et seulement siAadmet au moins un majorant ou encore
Aest majorée si et seulement si∃M∈R/∀x∈A, x6M.
Soitm∈R.Mest unminorantdeAsi et seulement si∀x∈A,x>m.
Aest minoréesi et seulement siAadmet au moins un minorant ou encore
Aest minorée si et seulement si∃m∈R/∀x∈A, x>m.
Aest bornéesi et seulement siAest minorée et majorée ou encore
Aest bornée si et seulement si∃(m, M)∈R2/∀x∈A, m6x6M.
➱ Commentaire.
⋄ Une partie donnée deRn’est pas nécessairement majorée. C’est par exemple le cas deR+.
⋄ Un majorant, s’il existe, n’est pas unique. Par exemple, siMest un majorant d’une partie non videAde R, alorsM+1est un autre majorant deA. Une partie majoréeA deRadmet toujours une infinité de majorants.
3.2 Maximum, minimum
Définition 4.SoitAune partie non vide deR.
Aadmet un plus grand élément(ou unmaximum) si et seulement si(∃M∈R/(M∈Aet∀x∈A, x6M).
Aadmet un plus petit élément(ou unminimum) si et seulement si(∃m∈R/(m∈Aet∀x∈A, x>m).
Un maximum (resp. minimum) deAest donc un majorant (resp. minorant) deAqui appartient à A.
Théorème 7.SoitAune partie non vide de R. SiAadmet un maximum, celui-ci est unique.
SiAadmet un minimum, celui-ci est unique.
Démonstration. SoientMetM′deux maximums deA(le pluriel de maximum est maximums ou maxima) pas nécessairement distinct.Mest un majorant deAetM′ est dansA. Donc,M>M′.M′ est un majorant deAetMest dansA. Donc,M′ >M.
Finalement,M=M′.
La démonstration est analogue pour les minimums.
❏ On doit donc dire dorénavantlemaximum ouleminimum deA(en cas d’existence). Le maximum deA(resp. minimum deA) se note Max(A)(resp. Min(A)). Tout ce qui précède peut alors être résumé en
SoitAune partie non vide deRet soientmetMdeux réels.
M=Max(A)⇔(M∈Aet∀x∈A, x6M).
m=Min(A)⇔(m∈Aet∀x∈A, x>m).
Si A est une partie non vide de R même majorée (resp. minorée), A n’admet pas nécessairement de maximum (resp.
minimum). Par exemple, l’ensemble ]0,+∞[ n’admet pas de minimum ou encore il n’existe pas de plus petit réel strictement positif ou encoreil n’existe pas de premier réel strictement positif. Démontrons explicitement cette affirmation. Supposons par l’absurde qu’il existe un réel strictement positif a inférieur ou égal à n’importe quel réel strictement positif. Le réelx= a
2 est un réel strictement positif vérifiant0 < x < acara−x=a−a 2 = a
2 > 0. Ceci est une contradiction.
Ainsi, une partie non vide deR ou bien n’admet pas de maximum (resp. minimum) ou bien admet un maximum (resp.
minimum) et un seul.
3.3 Borne inférieure, borne inférieure
Définition 5.SoitAune partie non vide deR.
•Laborne supérieuredeAest le plus petit des majorants deA. Elle se note Sup(A).
Ainsi, par définition,
∀M∈R, M=Sup(A)⇔
∀x∈A, x6M et
∀M′ ∈R, ((∀x∈A, x6M′)⇒M6M′) .
•Laborne inférieuredeAest le plus grand des minorants deA. Elle se note Inf(A).
Ainsi, par définition,
∀m∈R, m=Inf(A)⇔
∀x∈A, x>m et
∀m′∈R, ((∀x∈A, x>m′)⇒m>m′) .
Exemple.L’ensemble [0, 1[ n’admet pas de maximum. Montrons le explicitement. Supposons par l’absurde qu’il existe un réela∈[0, 1[tel que∀x∈[0, 1[, x6a. Soitx0= 1+a
2 . On a déjà06x0< 1+1
2 =1 et doncx0est un réel de[0, 1[.
Mais d’autre part,x0> a+a
2 =a. Donc, x0 est un élément de[0, 1[qui est strictement plus grand quea. Ceci est une contradiction et donc[0, 1[ n’admet pas de maximum.
Montrons que[0, 1[admet une borne supérieure et que cette borne supérieure est égale à 1. Déjà,1 est un majorant de [0, 1[. Montrons que1est le plus petit majorant de [0, 1[. SoitMun majorant de [0, 1[.
Siaest un élément de[0, 1[, alorsMest supérieur ou égal à 1+a
2 (car1+a
2 ∈[0, 1[) et doncMest strictement supérieur àa(car 1+a
2 > a). Ainsi,Mest un réel strictement supérieur à tout réel de [0, 1[. En particulier, Mest un réel positif, distinct de tout réel de[0, 1[. On en déduit queM>1.
Finalement,1 est le plus petit majorant de[0, 1[et donc Sup([0, 1[) =1.
❏
A priori, une borne supérieure (resp. inférieure) n’existe pas nécessairement mais, si elle existe, elle est unique car c’est le minimum (resp. maximum) de l’ensemble des majorants (resp. minorants).
Le théorème qui suit peut en fait être considéré comme un axiome. Il est appeléaxiome de la borne supérieure. Il n’a donc pas à être démontré.
Théorème 8.
•Toute partie non vide et majorée de Radmet une borne supérieure.
•Toute partie non vide et minorée deRadmet une borne inférieure.
➱ Commentaire. Il est clair qu’une partie non vide et non majorée (resp. minorée) deRn’admet pas de borne supérieure (resp.
inférieure) car une borne supérieure (resp. inférieure) est un majorant (resp. minorant). Pour une partie non vide deR, l’existence d’une borne supérieure (resp. inférieure) est donc équivalente au fait que cette partie soit majorée (resp. minorée).
Quand on découvre la notion de borne supérieure (resp. inférieure), on a tendance à la confondre avec la notion de maximum (resp. minimum). Cela est dû au résultat suivant :
Théorème 9.SoitAune partie non vide de R.
•Si Aadmet un plus grand élément, alorsAadmet une borne supérieure et de plus, Sup(A) =Max(A).
•Si Aadmet un plus petit élément, alorsAadmet une borne inférieure et de plus, Inf(A) =Min(A).
Démonstration. SoitAune partie non vide deR. Supposons queAadmette un plus grand élément. Posons M=Max(A).
•Mest un majorant deA.
•SiM′ est un majorant deA, alorsM′>McarM∈A.
Donc,Mest le plus petit des majorants deA. Ceci montre queAadmet une borne supérieure et de plus que Sup(A) =Max(A).
La démonstration est analogue pour une borne inférieure. ❏
On donne maintenant une caractérisation de la borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie non vide et majorée (resp.
minorée) deR.
Théorème 10.
•SoitAune partie non vide et majorée deR. SoitMun réel.
M=Sup(A)⇔
Mest un majorant deA et
tout réel strictement petit queMn’est pas un majorant deA
⇔
∀x∈A, x6M et
∀ε > 0, ∃x0∈A/ M−ε < x0 .
•SoitAune partie non vide et minorée deR. Soitmun réel.
m=Inf(A)⇔
Mest un minorant deA et
tout réel strictement grand quemn’est pas un minorant deA
⇔
∀x∈A, x>m et
∀ε > 0, ∃x0∈A/ x0< m+ε .
Démonstration. SoitAune partie non vide et majorée deR.Aadmet donc une borne supérieureM.
Mest un majorant deA et tout majorant deA est supérieur ou égal àM. On en déduit que tout réel strictement inférieur àM n’est pas un majorant deA.
Inversement, soitM′un réel tel queM′ est un majorant deAet tout réel strictement inférieur àM′n’est pas un majorant deA.
Alors,M′est un majorant deAet tout majorant deAest supérieur ou égal àM′. Donc,M′ est le plus petit des majorants deA ou encoreM′=Sup(A).
La démonstration est analogue pour la borne inférieure. ❏
Exercice 1.Déterminer Inf
α∈]0,π[
Sup
n∈Z
|sin(nα)|
. Solution 1.
•Pour α∈]0, π[, posonsf(α) =Sup
n∈Z
|sin(nα)|=Sup
n∈N
|sin(nα)|.
Soitα∈]0, π[.{|sin(nα)|, n∈Z}est une partie non vide et majorée (par1) deR. Donc,f(α)existe dansR. La fonctionf est bien définie sur]0, π[.
• ∀α∈]0, π[,∀n∈Z, |sin(n(π−α))|=|sin(nα)|et donc∀α∈]0, π[,f(π−α) =f(α).
On en déduit que Inf
α∈]0,π[f(α) = Inf
α∈]0,π2]f(α).
•fπ 3
=Sup
0,
√3 2
=Max
0,
√3 2
=
√3 2 .
•Ensuite, si α∈hπ 3,π
2
i,f(α)>|sin(1α)|=sin(α)>sinπ 3
=
√3
2 =fπ 3
.
•Soit alorsα∈i 0,π
3
i. Montrons qu’il existe un entier naturel non nuln0tel que n0α∈ π
3,2π 3
. Il existe un unique entier natureln1tel que n1α6π
3 <(n1+1)αà savoirn1=j π 3α
k. Mais alors, π
3 <(n1+1)α=n1α+α6 π 3 + π
3 = 2π
3 et l’entiern0=n1+1convient.
Ceci montre quef(α)>|sin(n0α)|>
√3 2 =fπ
3 .
Finalement∀α∈]0, π[,f(α)>fπ 3
et donc Inf
α∈]0,π[
Sup
n∈Z
|sin(nα)|
= Min
α∈]0,π[
Sup
n∈Z
|sin(nα)|
=fπ 3
=
√3 2 .
α∈]0,π[Inf
Sup
n∈Z
|sin(nα)|
=
√3 2 .
Exercice 2.SoientAetBdeux parties non vides et majorées deR. On poseA+B={a+b, (a, b)∈A×B}.
Montrer queA+Badmet une borne supérieure puis que Sup(A+B) =Sup(A) +Sup(B).
Solution 2.
•AetBsont des parties non vides et majorées deR. Donc, les partiesAetBadmettent toutes deux une borne supérieure dansR.
•A+Best une partie non vide deRcarAet Ble sont.
Pour tout(a, b)∈A×B,a6Sup(A)et b6Sup(B). Donc, pour tout(a, b)∈A×B,a+b6Sup(A) +Sup(B). Ainsi, A+Best une partie non vide et majorée (par Sup(A) +Sup(B)) deR. Donc,A+Badmet une borne supérieure dansR.
•Soitε > 0. ε
2 est un réel strictement positif et donc il existea0∈Atel quea0>Sup(A) −ε
2 et il existeb0∈Btel que b0>Sup(B) − ε
2. En additionnant membre à membre ces inégalités, on obtienta0+b0>Sup(A) +Sup(B) −ε.
En résumé,
∀(a, b)∈A×B, a+b6Sup(A) +Sup(B) et
∀ε > 0, ∃(a0, b0)∈A×B/ a0+b0>Sup(A) +Sup(B) −ε
. Donc, Sup(A+B) =Sup(A) +Sup(B).
4 Complément : convexes de R
Définition 6.SoitCune partie non vide deR.
Cestconvexe si et seulement si∀(a, b)∈C2,[a, b]⊂C.
Convention.∅est une partie convexe de R.
Théorème 11.Les parties convexes deRsont les intervalles.
Démonstration. Il est clair que tout intervalle deRest une partie convexe deR.
Réciproquement, soit Cune partie convexe de R. Montrons queCest un intervalle. Si C= ∅, alors C=]0, 0[ est un intervalle.
Dorénavant,Cest une partie convexe non vide deR.
1er cas.Supposons queCest minorée et majorée. Donc,Cadmet une borne inférieure et une borne supérieure dans R. Posons a=Inf(C)et b=Sup(C).
1er sous-cas.Supposonsa∈Cet b∈C(ou encorea=Min(C)etb=Max(C)). Pour toutxdeC, on aa6x6bet donc C⊂[a, b]. D’autre part, puisqueCest convexe et que(a, b)∈C2, on a[a, b]⊂C. Dans ce cas,C= [a, b]est un intervalle.
2ème sous-cas.Supposonsa∈Cetb /∈C. Pour toutxdeC, on aa6x < bet doncC⊂[a, b[. Inversement, soitx∈[a, b[.
En particulier,x < b. Soitε=b−x > 0. Puisqueb=Sup(C), il existey∈Ctel quex=b−ε < y6b. PuisqueCest convexe et que(a, y)∈C2, on a[a, y]⊂C. Puisquex∈[a, y], on ax∈C. On a montré que toutxde[a, b[est dansCet donc que [a, b[⊂C. Dans ce cas,C= [a, b[est un intervalle.
3ème sous-cas.Supposonsa /∈Cetb∈C. Par un raisonnement analogue au cas précédent,C=]a, b].
4ème sous-cas.Supposonsa /∈Cetb /∈C. Par un raisonnement analogue,C=]a, b[.
2 ème cas.Supposons queCest minorée et non majorée. Cadmet une borne inférieure réelle que l’on notea.
1er sous-cas.Supposonsa∈C. Pour toutxdeC,a6xet doncC⊂[a,+∞[. Inversement, soitx∈[a,+∞[.An’est pas majorée et doncxn’est pas un majorant deA. Par suite, il existey∈Ctel quex < y. Puisque(a, y)∈C2, on a[a, y]⊂Cet en particulier, puisquex∈[a, y], on ax∈C. Ainsi, toutxde[a,+∞[est dansCet donc[a,+∞[⊂C. Dans ce cas,C= [a,+∞[.
est un intervalle.
2ème sous-cas.Supposonsa /∈C. Pour toutxdeC,a < xet doncC⊂]a,+∞[. Inversement, soitx∈]a,+∞[. Soitε=x−a > 0.
Il existey∈Ctel quea6y < a+ε=x. D’autre part,xn’est pas un majorant deAet donc il existez∈Ctel quex < z.
Ainsi, il existe(y, z)∈C2tel quey < x < z. PuisqueCest convexe,x∈[y, z]⊂C. Toutxde]a,+∞[appartient donc àCpuis ]a,+∞[⊂C. Dans ce cas,C=]a,+∞[.
3 ème cas.Supposons queCest non minorée et majorée. Par des raisonnements analogues au cas précédent, on obtientC=]−∞, b], b∈R, ouC=] −∞, b[,b∈R.
4 ème cas.Supposons queCest non minorée et non majorée. Soitx∈R.xn’est ni un minorant, ni un majorant deC. Donc, il existe(y, z)∈C2tel quey < x < z. Puisque(y, z)∈C2,x∈[y, z]⊂C. Ceci montre queR⊂Cet donc queC=R=] −∞,∞[.
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