Universit´e Paris-Sud 2018–2019 Math201
Feuille 10 : R´ eduction et forme de Jordan
Exercice 1. Soit φ l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est la matriceAsuivante:
A :=
4 3 −1
−2 −1 2
−1 −1 4
.
1. D´eterminer un vecteur non nul 1 tel que φ(1) = 31, puis un vecteur 2 tel que φ(2) = 32+1.
2. Montrer que Vect(1, 2) est un plan vectoriel stable sousφ.
3. D´eterminer une matrice inversible P telle que P−1AP =
3 1 0 0 3 0 0 0 α
, o`u α est un nombre r´eel que l’on pr´ecisera.
4. Calculer An pour tout entiern strictement positif.
Exercice 2. Soient V un R-espace vectoriel de dimension 2, et f un endomorphisme de V dont le polynˆome caract´eristique estX2+ 2.
1. Montrer qu’aucun vecteur de V n’est un vecteur propre de f.
2. Soit e1 un vecteur non nul deV.Montrer qu’on peut trouver e2 tel que (e1, e2) soit une base de V dans laquelle la matrice de f est
0 −2
1 0
.
3. On d´esigne parCle sous-espace vectoriel de L(V) form´e des endomorphismesg tel que g◦f =f◦g.Montrer que, pour touty∈V,il existe un unique g∈ C tel queg(e1) =y.
En d´eduire que (f,Id ) est une base de C.
Exercice 3. SoitE un R-espace vectoriel de dimension 3.On consid`ere un endomorphisme ude E dont le polynˆome caract´eristique estX(X2+ 2) et on poseV = Ker(u2+ 2 Id).
1. Quelle est la dimension de Keru?
2. Montrer que Keru∩V ={0},puis queE= Keru⊕V.
3. Soit W un suppl´ementaire de Keru stable sousu. Montrer queW =V.
Exercice 4. Soit M =
2 1 1 1 2 1 1 1 2
.
1. Trouver un polynˆome annulateur de M de degr´e minimalA.
2. Effectuer, pour tout n entier naturel plus grand que 2, la division euclidienne de Xn par Aet en d´eduireMn.
1
3. On poseu0 = 1, v0=−1 et w0= 2 puis un+1 = 2un+vn+wn, vn+1=un+ 2vn+wn, wn+1=un+vn+ 2wn.Calculer un, vnet wn en fonction de n.
Exercice 5. Soient U =
3 −2
1 0
etV =
2 −1
1 0
.
1. Calculer pour tout entier nles matrices Un etVn.
2. On consid`ere les suites de nombres r´eels d´efinies par les relations de r´ecurrence : un+2− 3un+1+ 2un = 0, u0 = 1 et u1 = −1 et vn+2 −2vn+1+vn = 0, v0 = 1 et v1 = −1.
Calculer un etvn en fonction de n.
Exercice 6 (Calcul des puissances d’une matrice). Soit n∈N∗,Kun corps et M ∈ Mn(K) une matrice nlignes n colonnes `a coefficients dans K. On suppose qu’il existe un polynˆome α:= Qd
i=1(X−λi)∈K[X] scind´e `a racines simples (i.e. ∀16i6d,∀1 6j 6d, λi =λj ⇒ i=j) et tel queα(M) = 0.
1. Pour tout k ∈ N, montrer qu’il existe un unique polynˆome Q ∈ K[X] et un unique d-uplet (ak,i)06i6d−1 tels que :
Xk=Qα+
d−1
X
i=0
ak,iXi.
2. En d´eduire que
Mk=
d−1
X
i=0
ak,iMi.
3. ´Ecrire le syst`eme dont lesak,isont solutions et montrer que ce dernier admet une unique solution. (Voir l’exercice sur Vandermonde.)
Exercice 7. 1. V´erifier que la matriceA=
3 −2 −2
−4 1 2
8 −4 −5
admet−1 pour valeur propre et d´eterminer une matrice inversibleP telle que P−1AP soit diagonale.
2. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel :
x0(t) = 3x(t)−2y(t)−2z(t) y0(t) =−4x(t) +y(t) + 2z(t) +e2t z0(t) = 8x(t)−4y(t)−5z(t) + 1
Exercice 8. Soient A et B deux matrices `a coefficients complexes ayant mˆeme polynˆome caract´eristique et mˆeme polynˆome minimal. Si les multiplicit´es des valeurs propres sont inf´erieures ou ´egales `a 3, d´emontrer queA et B sont semblables. Donner un contre-exemple d´emontrant que cela n’est plus vrai s’il existe une valeur propre de multiplicit´e m>4.
Exercice 9. Dans chacun des cas qui suivent, on noteCetM le polynˆome caract´eristique et le polynˆome minimal d’une mˆeme matrice. Donner les formes de Jordan possibles ainsi que les dimensions des sous-espaces caract´eristiques et des sous-espaces propres :
2
1. C(X) = (X−5)5(X+ 2)3 etM(X) = (X−5)2(X+ 2) 2. C(X) = (X−2)6(X+ 6)3 etM(X) = (X−2)3(X+ 6)2 3. C(X) = (X−3)6 etM(X) = (X−3)3
Exercice 10. SoientA etB deux matricesn×n`a coefficients complexes.
1. Soit v un vecteur propre de AB associ´e `a la valeur propre λ. Montrer que λ est une valeur propre de BA(On pourra distinguer les cas o`u Bv= 0 etBv 6= 0). Conclure.
2. On veut montrer un r´esultat plus pr´ecis : les produits AB etBA ont mˆeme polynˆome caract´eristique.
3. On consid`ere les matrices 2n×2n d´efinies par : M =
AB 0 B 0
et N =
0 0 B BA
. Montrer que
M I A
0 I
=
I A 0 I
N . En d´eduire que M etN ont mˆeme polynˆome caract´eristique.
4. Calculer les polynˆomes caract´eristiques de M etN en fonction de ceux deAB etBA.
Conclure.
Definition 11. SoitKun corps. SoitE unK-espace vectoriel etuun endomorphisme deE.
1. On dit qu’un sous-espace vectoriel F de E eststable par (sous) u si u(F)⊂F.
2. On dit que le couple (E, u) est semi-simple si tout sous espace F de E stable par u admet un suppl´ementaireG stable paru.
Exercice 12 (Diagonalisable entraˆıne semi-simple). Soit E un K-espace vectoriel de dimen- sion finien, uun endomorphisme diagonalisable deEetSsonspectreautrement dit l’ensemble de ses valeurs propres. Pour toutλ∈ S,on note Eλ le sous-espace propre associ´e `aλ.SoitF un sous-espace vectoriel deE stable paru.Pour tout λ∈ S on noteFλ :=Eλ∩F.
1. Montrer que
F =M
λ∈S
Fλ.
2. Montrer que, pour toutλ∈ S, Fλ est stable paru et qu’il admet un suppl´ementaireGλ dans Eλ,stable paru.
3. En d´eduire que F admet un suppl´ementaireGdans E stable par uet conclure.
Exercice 13 (Sur Csemi-simple entraˆıne diagonalisable). Dans tout ce qui suit on suppose d´esormais que K =C. Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie n et u un endomor- phisme deE tel que (E, u) est semi-simple.
1. Rappeler pourquoi u poss`ede une valeur propreλ. Soit Eλ l’espace propre associ´e.
2. Montrer que Eλ poss`ede un suppl´ementaireF stable par u.
3. Montrer que (F,resuF) est semi-simple.
4. Conclure finalement que si (E, u) est semi-simple,uest diagonalisable. Hint : On pourra raisonner, par r´ecurrence, sur la dimension n deE.
3
