A. Comportement de la suite (S

Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

Calcul d’une somme avec une série entière

Introduction

On fixe un réelθ∈]0,π[. L’objectif de ce problème est de démontrer la convergence de la série X

n>¹

sin(nθ) n

et de calculer sa somme. On noteRle rayon de convergence de la série entière X

n>¹

sin(nθ) n xⁿ

etf :I→Rla somme de cette série entière sur son intervalleI de convergence.

I. Calcul de la fonction f sur ] − 1, 1[

1. Montrer que la série entière X

n>¹

sin(nθ)

n xⁿa un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.

2. Justifier que la fonctionf est dérivable sur ]−1, 1[ et que

∀x∈]−1, 1[, f⁰(x)=

+∞X

n=1

sin(nθ)xⁿ⁻¹. 3. Montrer que pour toutx∈]−1, 1[, on a les égalités

f⁰(x)=Im µ e^iθ

1−xe^iθ

¶

= sin(θ) x²−2xcos(θ)+1. 4. En déduire que pour toutx∈]−1, 1[, on a

f(x)=Arctan

µx−cos(θ) sin(θ)

¶

+Arctan

µcos(θ) sin(θ)

¶ .

5. Montrer que la fonctiont7→Arctan

µcos(t) sin(t)

¶

+test constante sur l’intervalle ]0,π[.

6. Conclure que pour toutx∈]−1, 1[, on a f(x)=Arctan

µx−cos(θ) sin(θ)

¶ +π

2−θ.

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II. Définition et continuité de la fonction f en 1

On introduit la suite numérique (S_N)N∈Ndéfinie par

∀N∈N, S_N=

N

X

n=0

sin(nθ).

A. Comportement de la suite (S

)

1. Montrer que pour toutN∈N, on a

S_N =Im

µ1−e^i(N+1)θ 1−e^iθ

¶ . 2. En déduire pour toutN∈Nl’inégalité

|SN|6 ²

|1−iθ|.

B. Étude d’une série de fonctions

Pour toutn∈N^∗, on considère les fonctions f_n: [0, 1]→Retu_n: [0, 1]→Rdéfinies par

∀x∈[0, 1], fn(x)=sin(nθ)

n xⁿ et un(x)= xⁿ

n −xⁿ⁺¹ n+1. 3. Montrer pour toutN∈N^∗et toutx∈[0, 1] que

N

X

n=1

f_n(x)=

N−1X

n=1

S_nu_n(x)+S_Nx^N N . 4. En procédant par exemple à une étude de fonction, montrer que

sup

x∈[0,1]

|u_n(x)| = 1 n(n+1). 5. En déduire que la série de fonctions X

n>1

S_nu_nconverge normalement sur [0, 1].

6. Montrer que X

n>1

fnconverge simplement sur [0, 1] et que

∀x∈[0, 1], f(x)=

+∞X

n=1

S_nu_n(x).

7. Montrer que la fonction f est continue en 1.

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III. Conclusion

1. Montrer que 1−cos(θ) sin(θ) =tan

µθ 2

¶ .

2. En utilisant les questions des parties précédentes, en déduire que

+∞X

n=1

sin(nθ)

n =π−θ 2 .

3. En adaptant les méthodes utilisées dans le problème, justifier la convergence de la série X

n>¹

cos(nθ) n et calculer sa somme.

Fin

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