Devoir Maison - Le flocon de Von Kock.
On construit le "flocon de Von Koch" de la façon suivante : pour passer d’une étape à une autre, chaque seg- ment est partagé en 3 segments égaux ; puis on superpose sur le segment central un triangle équilatéral (vers l’extérieur de la figure).
Le "flocon" est la figure obtenue comme la courbe limite issue d’une infinité d’étapes décrites précédemment.
Voici dessinées les trois premières étapes du processus :
étape 0 étape 1 étape 2
On voudrait déterminer le périmètrepnde la figure obtenue à lanièmeétape, et l’aireAnde cette figure, sachant que l’on démarre avec un segment de longueur1.
1) Étude du périmètre
Voici représentée une étape du processus :
x x3 x3 x3
•On note cn le nombre de segments de la figure à lanième étape.
Montrer que
(c0= 1
cn+1= 4cn
En déduire la valeur decn en fonction den.
•On note xn la longueur d’un des segments de cette figure.
Montrer que
(x0= 1
xn+1= 13xn
En déduire la valeur dexn en fonction den.
•En déduire que le périmètrepn estpn= 43nn = 43n .
2) Étude de l’aire
•Préliminaire : SiABC est un triangle équilatéral de côtéx, montrer que l’aire deABC est √43x2.
•Compléter la phrase suivante :
" Lors de la construction de la figure, à lanièmeétape, il y a segments, chacun de ces segments
a pour longueur .
Sur chacun de ces segments, on va construire triangle dont le côté mesure et dont
l’aire est .
Donc les triangles que l’on construit pour atteindre la(n+ 1)ième étape, rajoutent une aire égale à ".
•En déduire queAn s’exprime comme la somme de termes d’une suite géométrique, et en déduire la valeur de An en fonction den.
3) Étude du flocon
Étudier le comportement de la suite(pn)lorsque n→+∞. Étudier le comportement de la suite(An)lorsquen→+∞. Que peut-on en déduire ?
