Corrigé de la Série 1 I. Longueurs d’ondes associées à des corpuscules

Université Mohammed V Année universitaire 2020-2021 Faculté des Sciences de Rabat Mécanique Quantique – SMP4

Corrigé de la Série 1 I. Longueurs d’ondes associées à des corpuscules

a.

La relation de L. Broglie :

𝜆 =

^!

!

A.N:

𝜆 =

^!.!×!"!!"

!"^!!"×!"^!!"

  = 6.6×10

^-16

m = 6.6×10

^-6

Å

Interprétation: La longueur d’onde est complètement négligeable à l’échelle du grain de poussière.

b.

Pour un neutron thermique, c-à-d, un neutron ayant une vitesse 𝑣 correspondant à l’énergie moyenne d’agitation thermique à la température (absolue) 𝑇.𝑣 est donnée par la relation :

!

!

𝑚

_!

𝜈

^!

=

^!!

!!_!

≈  

^!

!

𝐾𝑇

Donc, la longueur d’onde correspondant à une telle vitesse est :

𝜆 =

_!^!

=

^!

!!_!!"

  ^{= 1.4×10}

^-10

m = 1.4 Å

Avec : mn est la masse du neutron (mn = 1.67×10^-27 Kg) K est la constante de Boltzmann (K = 1.38×10^-23 J/degré).

T est la température absolue (T = 300 K).

Comparaison : Cette longueur est de l’ordre de la distance entre atomes dans un réseau cristallin. Un faisceau de neutrons thermiques tombant sur un cristal donnera donc naissance à des phénomènes de diffraction analogues à ceux observés avec des rayon X (≃10^-12 et 10^-8 m).

c.

i. Si l’on accélère un faisceau d’électrons (me≃ 0.9×10^-30 Kg) par une différence de potentiel, on leur communique une énergie cinétique :

E = q.V = 1.6×10^-19 V. Joule Avec q = 1.6×10^-19C, et comme E = ^!

!

!!_!

,

la longueur d’onde associée est :

𝜆 =

^!

!

=

^!

!!_!!

(*)

A.N : λ = 12.3 Å

Rq : on a encore des longueurs d’onde comparables à celles des rayons X. Donc, on peut

mettre en évidence des phénomènes de diffraction par des cristaux ou des poudres cristallines.

ii. La masse au repos de l’électron est équivalente à mec²≃ 0.5×10⁶ eV. C-à-d que la vitesse correspondante est très voisins de la vitesse de la lumière  𝑐. Donc, les relations suivantes : E = hν et 𝜆 =_!  ^!  restent valables dans le domaine relativiste. Par contre, la relation (*) doit être modifiée, car en relativiste, l’énergie E d’une particule de masse au repos m0 n’est plus      _2𝑚^𝑃2

0

 

mais :𝐸 =   𝑃^!𝐶^!+𝑚_!^!𝐶^!.

Donc, pour un électron d’énergie 1 GeV, mec² est négligeable devant E.

Alors :

𝜆 =

^!!

!

=

!.!"×!"^!!"×!×  !"^!

!.!×!"^!!" = 1.2×10^-15 m = 1.2 Fermi

Rq :

Avec des électrons ainsi accélérés, on peut explorer la structure des noyaux atomiques et en particulier celle du proton ; les dimensions nucléaires sont en effet de l’ordre du Fermi.

II. L’effet photoélectrique

Exercice 1:

1-

On a: W0 = h

ν

0

=

^!!

!_!

=  

!.!"×!"^!!"×!×  !"^!

!.!!×!"^!! = 3×10^-19 J ; W0= 1.9 eV

2-

λ = 0.44 µm

a-

Ec = h ν - W0 ≃  1.5× 10^-19 J

b-

On a: Ec =  ^!_!𝑚_!𝜈^!_à𝜈 = ^!!_!^!

!  ≃ 5.8×10^!𝑚/𝑠   (Avec me = 9.1×10^-31 Kg)

c-

Théorème de l’énergie cinétique : Ec2 – Ec1 = W

Il n’y a ici qu’un seul travail effectué, le travail électrique résistif qui sert à annuler la vitesse de l’électron : W = e U0.

- Ec2 = 0 puisqu’à l’arrivée la vitesse de l’électron est nulle.

- Ec1 = Ec ; c’est l’énergie initiale de l’électron.

Donc :

E

c1

= W = e U

0 è U0

=

−^!_!^!!

=

−^!!_!

A.N :

U

_{0 =} −^!.!×!"_!.!×!"^!!"_!!"

; U

₀

= -0.94 V

Exercice 2 :

• r =

^!

!

Avec n le nombre de photons efficaces (ceux qui arrachant des électrons) et N le nombre total de photons reçus par la cathode.

•

Le potentiel d’arrêt : Correspondant à la tension qu’il faut appliquer entre les électrodes à fin d’annuler l’énergie cinétique des électrons.

1-

2-

On a

:

W0 = h

ν

0

=

3×10^-19 J = 1.88 eV

Et l’énergie cinétique de l’électron ( Ec =!

!𝑚_!𝜈^!

).

E

_c

= E

_ph

– W

₀ è      𝜈 =   ^!(!!!_!^{!  !!)}

! ;

avec E

_ph

= hc/λ

A.N : ν = 4.62 × 10⁵

m/s 3-

Le travail électrique appliqué est : W = e U.

L’énergie cinétique totale de l’électron lorsqu’il atteint l’anode est donc égale à celle qu’il avait en quittant la cathode plus l’énergie acquise grâce à la tension accélératrice d’après le théorème de l’énergie cinétique : Ec(anode) – Ec (cathode) = W

Donc : Ec(anode) = Ec(cathode) + eU = Eph -W0 + eU = 1.6×10^-17 J 𝑣_!"#$%= ^!!!(!"#$%)

!_! = 5.9×10⁶ m/s

Exercice 3 : 1-

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

La  fréquence  en  fonction  de  la  valeur  absolue  de  la  tension

υ (1014 Ηz)

|U₀| (V) 5,34 x10³⁴

On obtient une droite d’équation : 𝑣 =2.41×10^!" 𝑈_! +5.34×10^!" (**) On a d’après le théorème de l’énergie cinétique :

U0 = −^!_!^!    è 𝑈_!  =^!_!^!

On a également hν = W0 + Ec avec W0 = hν0

D’où l’équation :

hν = hν

₀

+ e

𝑈_!

.

Et donc ν = _!^! 𝑈_! +𝜈_!  est l’équation de la droite ci- dessus.

1-D’après l’équation (**), le seuil photoélectrique correspond à 𝜈_! = 5.34×10^!"  𝐻𝑧 Remarque:

W0 = hν0 = 3.5×10^-19 J = 2.2 eV, cette valeur de ν0 est compatible avec le travail d’extraction.

2-D’après l’équation de la droite, le coefficient directeur 𝑎 = ^!

!