EPFL
Algèbre linéaire 1ère année 2008-2009
Corrigé de la série 10
Correction exercice 1
1. L’addition dans M at(m, n,F), notée +, est définie de la manière suivante, pour (aij) ∈ M at(m, n,F) et (bij)∈M at(m, n,F) on a :
(aij +bij)ij = (aij)ij + (bij)ij.
La multiplication par les scalaires est définie de la manière suivante, pour λ ∈ F et (aij)∈M at(m, n,F)
(λaij)ij =λ(aij)ij.
On vérifie que (aij +bij)∈M at(m, n,F) et (λaij)∈M at(m, n,F).
L’élément neutre pour l’addition est la matrice nulle 0 définie par (0)ij = 0. On vérifie que 0 + (aij) = (aij).
Inverse additif.
Soit (aij)∈M at(m, n,F) on vérifie que la matrice −1(aij) où −1∈F est tel que : (aij)−(aij) = 0
De plus, on vérifie les relations suivantes : (λ+µ)(aij) = (λaij) + (µaij)
λ((aij) + (bij)) = (λaij) + (λbij) λ(µ(aij)) = (λµ)(aij)
2. Montrons que M(−,B,B0) est linéaire. Soient α ∈ F , f et g dans L(V, W), B = {~v1, . . . , ~vn} une base de V et B0 ={w~1, . . . , ~wm} une base de W.
On note M(−,B,B0)(f) = (aij) et M(−,B,B0)(g) = (bij) on rappelle que ceci signifie que :
f(~vi) =a1iw~1 +. . .+amiw~m et g(~vi) = b1iw~1+. . .+bmiw~m. Par conséquent, on a
(αf +g)(~vi) =αf(~vi) +g(~vi) = (αa1i+b1i)w~1+. . .+ (αami+bmi)w~m.
On en déduit que M(−,B,B0)(αf+g) =αM(−,B,B0)(f) +M(−,B,B0)(g)et donc que M(−,B,B0) est linéaire.
On définit l’application linéaire :
RealB,B0 :M at(m, n,F)→ L(V, W)
de la manière suivante. On associe à (aij) l’application linéaire de V dans W telle que RealB,B0(aij)(~vk) = a1kw~1 +. . .+amkw~m ∈W
On vérifie que RealB,B0 est l’inverse de M(−,B,B0). En effet, pour tout T et tout k ∈ {1, . . . n} on a :
RealB,B0 ◦ M(−,B,B0)(T)(~vk) = T(~vk).
De même, M(−,B,B0)◦RealB,B0(A) = A.
1
Correction exercice 2 Soit P =Pn
i=0aiXi, on a f(P) =Pn
i=0aiXn−i donc f(P)∈ Pn(R). On vérifie facilement (le faire !) que f est linéaire. On a f ◦f = Id donc f est bijective et l’inverse de f est f.
La matrice de f dans la base canonique s’écrit :
0 0 . . . 0 1
... 1 0
. ..
0 1 ...
1 0 . . . 0 0
Correction exercice 3
Soit GL(V) l’ensemble des opérateurs inversibles de V.
– Montrons que la composition des applications linéaires dans GL(V) est interne c’est à dire que la composée de deux applications inversibles est inversible. Soient T et U deux éléments de GL(V) d’inverses respectifs T−1 et U−1, alors
(T.U)(U−1.T−1) = (U−1.T−1)(T.U) = Id
par conséquent T.U ∈GL(V).
– (i) Soit Id :V →V l’application identité (qui est un élément de GL(V)), on a : Id◦T =T ◦Id =T
pour tout T dans GL(V).
– (ii) Par définition d’inversibilité, pour T ∈GL(V) on a l’existence de T−1 ∈GL(V) tel que T ◦T−1 =T−1◦T = Id.
– (iii) T ◦(U ◦V) = (T ◦U)◦V par associativité de la composition.
Correction exercice 4 1. Si x=rcosα et y=rsinα, alors
Tθ(x, y) = (rcos(α+θ), rsin(α+θ)
= (r(cosαcosθ−sinαsinθ), r(cosαsinθ+ sinαcosθ))
= (xcosθ−ysinθ, xsinθ+ycosθ).
2. Tθ est linéaire car sinθ et cosθ sont des constants fixes.
3. Tθ(1,0) = (cosθ,sinθ) et Tθ(0,1) = (−sinθ,cosθ), alors [Tθ]B,B =
cosθ −sinθ sinθ cosθ
.
1. Soit V un espace vectoriel quelconque. Si l’on enlève les axiomes d’un espace vectoriel qui s’agissent de la multiplication scalaire, les axiomes qui restent disent précisément que V est un groupe par rapport à l’addition vectorielle. En particulier, R est un groupe par rapport à l’addition usuelle.
2
2. On pose Tφ(x, y) = (u, v). On effectue le calcul :
Tθ+φ(x, y) = (xcos(θ+φ)−ysin(θ+φ), xsin(θ+φ) +ycos(θ+φ))
= (xcosθcosφ−xsinθsinφ−ysinθcosφ−ycosθsinφ, xsinθcosφ+xcosθsinφ+ycosθcosφ−ysinθsinφ)
= ((xcosφ−ysinφ) cosθ−(xsinφ+ycosφ) sinθ, (xcosφ−ysinφ) sinθ+ (xsinφ+ycosφ) cosθ)
= (ucosθ−vsinθ, usinθ+vcosθ)
= Tθ(u, v)
= Tθ(Tφ(x, y))
Correction exercice 5 1. On définit l’addition de deux suites(xn)n∈Net(yn)n∈Npar(xn)n∈N+ (xn)n∈N = (xn+yn)n∈N, et la multiplication par un scalaire λ par λ(xn)n∈N = (λxn)n∈N. Il est facile de vérifier que c’est bien une structure d’espace vectoriel.
La suite (en)n∈N telle que e0 = 1 et e1 = 0, et la suite (fn)n∈N telle que f0 = 0 et f1 = 1 forment une base deE(α, β), en effet toute suite(xn)n∈N s’ecrit de manière unique comme x0(en)n∈N+x1(fn)n∈N
2. On va prouver que le terme général d’une telle suite est : On note la récurrence xn+2 =αxn+1+βxn par (R).
– λrn1 +µrn2 si r1 et r2 sont deux racines distinctes du polynôme x2−αx−β – (λ+µn)r0n si r0 est racine double du polynôme x2−αx−β
– (λcos(nθ) +µsin(nθ))ρn pour une suite réelle quand ρeiθ et ρe−iθ sont les deux racines complexes du polynôme x2−αx−β
L’idée est alors de rechercher des suites géométriques vérifiant la récurrence (R). C’est-à- dire chercher des scalaires r tels que la suite (rn)n∈N vérifie (R). On démontre aisément que ce problème équivaut à résoudre l’équation du second degré x2−αx−β . Le polynôme est alors appelé le polynôme caractéristique de la suite. Son discriminant est α2 + 4β . Il faudra alors distinguer plusieurs cas, selon que le nombre de racines du polynôme caractéristique.
– Si le discriminant est strictement positif, alors les deux suites (rn1)n∈N et (r2n)n∈N sont linéairement indépendantes et donc forment une base deE(α, β) par le point précédent.
Donc toute suite deE(α, β) s’écrit comme combinaisant linéaire de (rn1)n∈N et(r2n)n∈N. – Si le discriminant est nul, le problème est tout autre car on ne trouve qu ?une seule valeur r0, donc une seule famille de suites géométriques (rn0)n∈N vérifiant (R) . L ?idée consiste alors à rechercher les suites (λn)n∈N telles que, (λnrn0)n∈N vérifie (R). Cette méthode s’appelle la méthode de variation de la constante. On s ?assure d’abord de l ?existence de la suite en vérifiant que r0 n’est jamais nul . La relation de récurrence sur (λnr0n)n∈N se traduit par une relation de récurrence sur (λn)n∈N :
r02λn+2 =αr0λn+1+βλn.
En utilisant ensuite le fait que α2 + 4β = 0 et que r0 = a2 , on obtient la relation caractéristique de toute suite arithmétique :
λn+2−λn+1 =λn+1−λn La suite est donc une suite arithmétique de terme général
λn =λ+µn.
Les suites vérifiant (R) ont alors pour terme général : un= (λ+µn)r0n.
3
– Si le discriminant est strictement négatif. L’équation du second degré possède alors dans C deux racines conjuguées, r1 = ρeiθ et r2 =ρe−iθ. Les suites de termes général Arn1 +Br2n sont des suites complexes vérifiant (R)
Parmi celles-ci, celles pour lesquelles A et B sont conjugués, sont des suites réelles . Donc les suites de terme général :
un= (λcos(nθ) +µsin(nθ))ρn.
4
