D10594. Le somnifère de Georges (2e dose) Considérons un triangle

D10594. Le somnifère de Georges (2e dose)

Considérons un triangleABC, son cercle circonscrit de centreO, son cercle inscrit de centre I et les centres Ia, Ib et Ic des trois cercles exinscrits ; appelons A⁰, B⁰ et C⁰ les milieux des arcs BC, CA et AB du cercle cir- conscrit. Je m’intéresse aux propriétés des triangles A⁰B⁰C⁰ etI_aI_bI_c : a/ quelle transformation simple relie ces deux triangles ?

b/ que représente le point I pour chacun de ces triangles ? c/ quel est le cercle d’Euler du triangle I_aI_bI_c?

Solution

a/ En B et C, les angles droits IBI_a et ICI_a des bissectrices montrent que B et C sont sur le cercle de diamètre IIa. Le triangle IaBC a pour angles (π−A)/2, (π−B)/2, (π−C)/2, et le segmentBC est vu du centre de ce cercle sous un angleπ−A.

Ce centre, milieu deIIa, appartient à l’arc capable correspondant, qui est l’arc BC du cercle circonscrit à ABC : il est en A⁰, intersection de l’arc BC et de la bissectrice AII_a.

De même, IIb et IIc ont pour milieux B⁰ et C⁰ : le triangle A⁰B⁰C⁰ est transformé deIaI_bIc par l’homothétie de centreI et de rapport 1/2.

b/ Les bissectrices de l’angleCABsontII_a etI_bI_c; la hauteur abaissée de Ia sur IbIc est IaIA; I appartient aux trois hauteurs et est l’orthocentre du triangleIaI_bIc.

C’est aussi l’orthocentre du triangleA⁰B⁰C⁰, dont les côtés sont parallèles à ceux deIaIbIc en vertu de l’homothétie et qui admetA⁰I, B⁰I, C⁰I comme hauteurs.

c/ Le cercle d’Euler passant par les pieds des hauteurs, c’est pour le triangle IaIbIc le cercle circonscrit au triangleABC.

Remarque. Jean-Claude Ripoll signale, en rapport avec ce problème, les propriétés :

– les centres des cercles d’Apollonius sont sur la droite de Lemoine, donc milieux des intersections des bissectrices avec les côtés, et

– les intersections des tangentes aux sommets au cercle circonscrit avec le côté opposé sont les centres des cercles d’Apollonius orthogonaux à ce cercle.