D10567. Le somnifère de Georges (3e dose)
Sur un cercle on se donne 3 pointsA,B etC (B etC fixes) ; trouver lorsque Adécrit le cercle le lieu des points caractéristiques du triangle ABC : –centre de gravitéG,
–orthocentreH,
–centre du cercle inscritI, –centre du cercle d’EulerE.
Solution
Soit g le centre de gravité du triangle (fixe) OBC; on a vectoriellement gG=OA/3. Le lieu de Gest le cercle de centre g et de rayon R/3.
La relation vectorielle classiqueOH =OA+OB+OCmontre que le lieu de Hest le cercle lieu deAtranslaté du vecteurOB+OC =Oh(hsymétrique de O par rapport àBC), donc le cercle de rayon R centré enh.
Le cercle d’Euler, de rayon R/2, passe par le milieu de BC, ainsi E est sur le cercle de rayonR/2 centré au milieu de BC. Ce lieu dérive aussi du lieu de H puisque E est le milieu de OH.
L’angle (IB, IC) = (π−(AB, AC))/2. Le lieu de I est formé des deux arcs capables (IB, IC) = π/2 + (OB, OC)/4 et (IC, IB) = π −(OB, OC)/4 intérieurs au cercle donné. Les centres de ces arcs sont les intersections de la médiatrice deBC avec le cercle donné.
Remarque.
Les deux arcs de cercle formant le lieu de I appartiennent à deux cercles dont les parties extérieures au cercle donné sont aussi des lieux.
Quand on fixe deux sommets B et C sur un cercle donné, on le divise en deux arcs de milieuxA0 etA00. Les cercles de centres A0 et A00 passant par B et C contiennent les centres des cercles inscrit et exinscrits du triangle ABC, quand A parcourt le cercle donné : le cercle de centre A0 coupe la droiteAA0 en I etIa si A est sur l’arc BA00C, enIb etIc siA est sur l’arc BA0C. Conclusion analogue en échangeant A0 et A00.
