D10470. Figure des centres
Quatre points d’un cercle définissent 4 triangles quand on les prend trois par trois. Quelle figure forment les centres des cercles inscrits de ces tri- angles ?
Solution
Soient M, N, P, Q les milieux des arcsAB, BC, CD, DA du cercle donné.
La bissectriceAN de l’angleBAC porte les centresID du cercle inscrit au triangle ABC, et J centre du cercle exinscrit dans l’angle A. Les angles droits J BID et J CID montrent que B et C appartiennent au cercle de diamètre J ID. Le centre de ce cercle est sur AN et sur la médiatrice de BC, donc en N. L’égalité N ID = N B = N C se prolonge en = N IA (sur N D) par le raisonnement analogue sur le triangle DBC. Le triangle N IAID est isocèle, sa hauteur se confond avec la bissectrice N Qde l’angle AN D, etIAID est perpendiculaire à N Q.
Or l’angle (QN, M P) = (QN, QM) + (M Q, M P) est la moitié de (QC, QA) + (M A, M C) =π, etIAID est parallèle à M P.
De même, les autres côtés du quadrilatère des centres inscrits sont paral- lèles à l’une ou l’autre des perpendiculaires M P et N Q : ils forment un rectangle.
En variante, Jean-Nicolas Pasquay montre que la droiteM P est parallèle à une bissectrice du couple de droites (BC, AD) ; de même N Q pour le couple (CD, AB).ABCD étant inscriptible, ces deux couples sont antipa- rallèles, et l’angle (M P, N Q) est droit.
Remi Planche établit que c’est un rectangle par des considérations d’angles dans les cercles tels que celui de centreN passant parB, C, ID, IA. Voir détails page suivante.
La remarque de Jean-Nicolas Pasquay
Soit O le centre du cercle circonscrit àABCD. On a moduloπ (M P, BC) = (M P, OM) + (OM, ON) +π/2,
(M P, AD) = (M P, OP) + (OP, OQ) +π/2.
Or (OM, ON) = 2(DM, DN) = (DA, DC) = (BA, BC) = 2(BQ, BP) = (OQ, OP).
Ainsi (M P, BC) + (M P, AD) = 0 modulo π,M P est l’une des directions des bissectrices du couple BC, AD.
De même N Qest l’une des directions des bissectrices du coupleCD, AB.
Comme ABCD est inscriptible, ces deux couples sont antiparallèles, et ont mêmes directions de bissectrices. On en conclut que l’angle (M P, N Q) est droit.
La preuve de Remi Planche
Voici une démonstration basée sur des calculs d’angles et de cordes.
Soit R le rayon du cercle ABCD et 2s,2t,2u,2v les mesures angulaires des arcs AB, BC, CD, DA. Notons que s+t+u+v=π.
On établit successivement que
1) les points A, IC, ID, B forment un arc de cercle, de mesure angulaire π−s :
– les points ID et IC voient le segment AB sous le même angle π−(t+ u+v)/2 = (π+s)/2 ;
– l’arc extérieur AB mesure le double (π” +s) et l’arc complémentaire AICIDB mesure π−s;
2) l’arc ICID mesureu :
– l’arc AIC mesure v du fait que BIC est bissectrice et que l’angleABIC
mesure v/2 ;
– ce raisonnement s’applique mutatis mutandis à l’arcBID et fournit pour celui-ci la valeur t;
– l’arc ICID a pour mesure la différence entreπ−setv+t, soitu;
3) le rayonS du cercle AICIDB a pour longueur 2Rsin(s/2) : – comme corde du cercle ABCD,AB= 2Rsins;
– comme corde du cercleAICIDB,AB= 2Ssin((π−s)/2) = 2Scos(s/2) ; – l’égalité des deux expressions donne S= 2Rsin(s/2) ;
4) le segment ICID est corde du cercle AICIDB et a pour longueur 2Ssin(u/2) = 4Rsin(s/2) sin(u/2) ;
5) les segmentsIAIB etICID sont égaux :
– on applique 1) à 4) aux points C, IA, IB, D, ce qui donne IAIB = 4Rsin(u/2) sin(s/2) ;
6) de même les segments IDIA et IBIC sont égaux, et IAIBICID est un parallélogramme :
– on applique 1) à 5) aux pointsB, ID, IA, C etD, IB, IC, A;
7) sur le cercle AICIDB, de centre M milieu de l’arc AB du cercle ABCD, la médiatrice deICID fait avecM Al’anglev+u/2, égal à l’angle (M A, M P) oùP est le milieu de l’arcCDdu cercleABCD; elle se confond avec la médiatrice de IAIB, et le parallélogramme est un rectangle.
