A406. Paires de rectangles
Q1 Trouver les dimensions entières de deux rectangles d'aires minimales telles que l'aire du premier est le quadruple de l'aire du second et le périmètre du second est le quadruple du périmètre du premier.
Q2 L'un des côtés d'un premier rectangle de dimensions entières est égal à 2016.Trouver les dimensions entières d'un second rectangle telles que l'aire du premier est k fois l'aire du second, le périmètre du second est k fois celle du premier et le multiple k est un entier le plus grand possible.
Q3 Démontrer que pour tout entier k, on sait toujours trouver les
dimensions entières de deux rectangles dont l'aire du premier est k fois l'aire du second et le périmètre du second est k fois le périmètre du premier. Application numérique k = 2016.
Solution proposée par Jean Nicot
Notons a,b les dimensions du premier rectangle et A,B celles du second. On note k le rapport des aires.
ab = k AB et k(a+b)=A+B. Ces dimensions peuvent être ordonnées A<a<b<B. On prend A comme unité de longueur, quitte à effectuer une homothétie si nécessaire.
Q1- On pose a+b=s et ab=p. p=k B et ks=1+B. En éliminant B, p=k²s-k (b-a)²=s²-4p= s²-4k²s+4k= (s-2k²)² -(4k4-4k )=d² en notant d la différence b-a (s-2k²+d)(s-2k²-d)=4k(k-1)(k²+k+1) ou, comme k=4, (s-32+d)(s-32-d)=24.3².7
On aura les dimensions les plus faibles si le rectangle ab est le plus proche d’un carré, donc d le plus faible et la constante décomposée en un produit de deux facteurs voisins, soit 4*9 et 4*7 = 36 et 28.
Alors d=4 et s= 64 soit a= 30 et b=34 B=p/4=17*15=255 4s= 4*64=256=255+1 A=1 et il n’y a rien à rectifier.
Les dimensions sont ( 30 et 34) et (1 et 255).
Q2- Recherchons une solution avec de petits rectangles, soit avec A=1 et a=2016
ab=k AB et k(a+b)=A+B. Eliminons B. B=2016*b/k=k(2016+b)-1 d’où b=(2016k-1)k/(2016-k²) b doit être positif donc k<√2016 =44.8 et entier >1. Dans cette plage, la seule valeur de k est k=32 qui conduit à b=2081 et B=131103 pour A=1 et a=2016
Recherchons si une valeur de A supérieure à 1 améliorerait le résulta.t Ici b=(2016k-A)Ak/(2016-Ak²) La plage admissible pour k se trouve donc réduite. On trouve une seconde solution, moins bonne, pour A=3, k=25, b=80425 B=6485472
Pour de plus grandes valeurs de A, k devient trop limité et certainement <32.
Q3-On peut encore prendre A comme unité des longueurs, en autorisant , si utile, des valeurs rationnelles pour les autres côtés. Avec les notations de Q1, on a vu
(s-2k²-d)(s-2k²+d)=4k(k-1)(k²+k+1) ou encore (a-k²)(b-k²)=k(k-1)(k²+k+1) Recherchons en premier des valeurs entières avec A=1.
On peut scinder, de plusieurs façons, le polynôme en k en deux facteurs, dont l’un peut contenir k. Alors a ou b sera divisible par k et AB=ab/k sera entier. On a le même résultat si k, non premier, a ses facteurs répartis entre a et b.
A ce stade, on a obtenu plusieurs solutions possibles pour a et b.
On peut prendre, par exemple a=k²+k(k-1)= 2k²-k et b=k²+(k²+k+1)=2k²+k+1 s=4k²+1 B=k(a+b)-1=4k3+ k – 1 ab=4k4+k²-k=k(4k3+k-1)=kAB
On a donc une solution pour tout k : A=1 B=4k3+ k – 1 a= 2k²-k b=2k²+k+1 Ce n’est pas la seule.
Application numérique : k=2016
A=1 B= 32774162399 a=8126496 b=8130529
