A406 ‒ Paires de rectangles [**** à la main et avec l'aide éventuelle d'un automate]
Q₁ Trouver les dimensions entières de deux rectangles d'aires minimales telles que l'aire du premier est le quadruple de l'aire du second et le périmètre du second est le quadruple du périmètre du premier.
Q₂ L'un des côtés d'un premier rectangle de dimensions entières est égal à 2016.Trouver les dimensions entières d'un second rectangle telles que l'aire du premier est k fois l'aire du second, le périmètre du second est k fois celle du premier et le multiple k est un entier le plus grand possible.
Q₃ Démontrer que pour tout entier k, on sait toujours trouver les dimensions entières de deux rectangles dont l'aire du premier est k fois l'aire du second et le périmètre du second est k fois le périmètre du premier.
Application numérique k = 2016.
Solution proposée par Marie-Christine Picquet
Q1
Le premier rectangle a pour cotes : a & b , le second rectangle a pour cotes c & d a + b = k. (c + d) et cd = k.a.b avec k = 4
On obtient c.d = k.a.(kc + kd - a) = ak²c + ak²d - a²k c.(d - k²a) = + ak²d - a²k ----> c = (ak²d - a²k) / (d - k²a)
Posons k²a = u , alors c = u.(d - a/k) / (d - u) = u.(d - u + u -a/k) / (d - u) = u + u.( u - a/k) / (d - u) Si bien que c = k²a + ( a².k^4 - ka² ) / (d - k²a)
( a².k^4 - ka² ) / (d - k²a) doit être un entier .
or k = 4 . Alors c = 16a + ( 256a² - 4a² ) / (d - 16a) = 16a + 252a²/ (d - 16a) En posant a = 1 --> C = 16 + 252 / (d-16) = 16 + (2² x 3² x 7) / (d - 16)
liste des diviseurs de 252 : ( 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 9 , 12 , 14 , 18 , 21 , 28 , 36 , 42 , 63 , 84 , 126 , 252 ) d - 16 doit être un de ces 9 premiers diviseurs .
ce qui donne 9 valeurs pour C sans compter les symétries.
a) d = 17 --> c = 16 + 252 = 268 et b = 285 x 4 - 1 = 1139 --> ab = 1139 et cd = 4556 b) d = 18 --> c = 16 + 126 = 142 et b = 160 x 4 - 1 = 639 --> ab = 639 et cd = 2556 c) d = 19 --> c = 16 + 84 = 100 et b = 119 x 4 - 1 = 475 --> ab = 475 et cd = 1900 ....
i) d = 30 --> c = 16 + 18 = 34 et b = 64 x 4 - 1 = 255 --> ab = 255 et cd = 1020
j) d = 34 --> c = 16 + 14 = 30 et b = 64 x 4 - 1 = 255 --> ab = 255 et cd = 1020 par symétrie ...
a = 1 , b = 255 , c = 30 & d = 34 --> a + b =256 , c + d = 64 , ab = 255 & cd = 1020
Q2
En repartant de la formule donnant C , C= (ak²d - a²k) / (d - k²a) = ka . [ k + a.(k³- 1)/(d-k²a)]
ka x [ k + a.(k³- 1)/(d-k²a)] = 2016 k divise 2016 = 2^5 x 3² x 7 le plus grand k est obtenu avec le plus petit a = 1
2016 = k . [ k + (k³-1)/(d-k²)]
Si k est impair , l'intérieur des crochets est pair ainsi que (k³-1) --> impossibilité . Donc k est pair.
Si k est pair , les crochets ont la même parité que k³-1 , ils sont donc impairs et k²<2016 2016 = 32 x (32+31) Alors k = 32 et (k³-1)/(d-k²) = 31 = k-1 qui divise k³-1 .
On en déduit d = 32767/31 + 32² = 2081
Et le premier rectangle a pour dimensions 2016 x 2081 et cd = 4195296 le second rectangle à pour dimensions 1 x 131103 avec ab = 4195296/32
Q3
Quel que soit k , en posant a=1 et k³ - 1 = d - k² , avec C = k.[k + (k³-1)/d-k²)] on obtient tout de suite : d = k³ + k² - 1 et c = k.(k+1) et un début de liste de triplets (k , c , d) solutions.
(2, 6 , 11) ; (3 , 12 , 35) ; (4 , 20 , 79) ; (5 , 30 , 149) ; (6 , 42 , 251) ... (2016 , 4 066 272 , 8 197 604 351) ; (k , d = k.(k+1) , c = k³+k²-1)
Le second rectangle a donc pour dimensions a = 1 et b = 16534567975967
