Inverse du Laplacien discret dans le problème de Poisson-Dirichlet à deux dimensions sur un rectangle

(1)

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

JEANCHANZY

Inverse du Laplacien discret dans le problème de Poisson-Dirichlet à deux dimensions sur un rectangle

Tome XV, n^o3 (2006), p. 485-552.

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(2)

Annales de la Facult´e des Sciences de Toulouse Vol. XV, n^◦3, 2006 pp. 485–552

Inverse du Laplacien discret dans le probl` eme de Poisson-Dirichlet ` a deux dimensions

sur un rectangle

⁽^∗⁾

Jean Chanzy¹

R^´ESUM´E.— Ce travail a pour objet l’étude d’une méthode de«discréti- sation» du Laplacien dans le problème de Poisson à deux dimensions sur un rectangle, avec des conditions aux limites de Dirichlet. Nous ap- prochons l’opérateur Laplacien par une matrice de Toeplitz à blocs, eux- mêmes de Toeplitz, et nous établissons une formule donnant les blocs de l’inverse de cette matrice. Nous donnons ensuite un développement asymptotique de la trace de la matrice inverse, et du déterminant de la matrice de Toeplitz. Enfin, par un passage à la limite dans l’inverse, de type ergodique, nous passons du discret au continu, en retrouvant l’expression connue du noyau de Green du problème de Poisson, sous forme de série, et en en donnant une nouvelle expression asymptotique plus intéressante, car elle converge plus rapidement.

ABSTRACT.— This work is focused on the study of a«discretization»

method for the Laplacian operator, in the two-dimensional Poisson problem on a rectangle, with Dirichlet boundary conditions. The Laplacian operator is approximated by a block Toeplitz matrix, the blocks of which are Toeplitz matrices again, and a formula of the inverse matrix blocks is given. Then an asymptotic development of the inverse matrix trace and the Toeplitz matrix determinant are obtained. Finally, the continuum expression of the Laplacian operator is found by calculating the ergodic limit of the inverse matrix. A new asymptotic formula for the well known Green function for the Poisson problem that we obtain converges more rapidly than the usual one.

1.Le probl`eme de Poisson

L’opérateur Laplacien a depuis fort longtemps une importance capitale dans de nombreux domaines, et en particulier en Analyse, pour la résolution d’équations aux dérivées partielles, notamment en calculant des noyaux de

(∗) Re¸cu le 16 septembre 2004, accept´e le 18 mai 2005

(1) Universit´e de Paris-Sud, Bˆatiment 425 ; F-91405 Orsay Cedex.

t´el : 01 69 15 57 29 ; fax : 01 69 15 72 34 E-mail : [email protected]

(3)

Green, en Probabilités, dans l’étude des marches aléatoires, et en Calcul Numérique, pour la résolution de divers problèmes posés par la Physique, la Météorologie, l’Économie,... En effet, dans toutes les branches de la Physique, en particulier, la modélisation mathématique aboutit souvent à l’obtention d’une équation aux dérivées partielles où figure le Laplacien, avec des conditions aux limites sur des domaines variés. Ces conditions sont de différentes sortes, dont les principales sont celles de Dirichlet, qui portent sur les solutions de l’équation sur la frontière de son domaine de validité, celles de Neumann, qui portent sur la dérivée des solutions dans la direction orthogonale à la frontière de ce domaine, et les conditions mixtes, qui sont une combinaison des deux précédentes. La difficulté est qu’en général, les solutions de ces équations aux dérivées partielles dépendent très fortement de la géométrie du problème, et il n’est pas toujours possible d’en obtenir une expression simple avec des fonctions usuelles. De plus, l’obtention du Noyau de Green du problème posé est parfois aussi difficile que de calculer explicitement les solutions de ce problème, et on en utilise parfois un développement en série.

Dans la présente étude, nous considérons le problème de Poisson sur un rectangle, avec des conditions aux limites du type Dirichlet et nous commen¸cons par «discrétiser» ce problème, en représentant le Laplacien par un opérateur matriciel de Toeplitz à blocs, les blocs étant eux-mêmes des matrices de Toeplitz. Concrètement, on se donne un rectangle d’intérieurR et de frontière∂R et on considère le problème suivant :

∆u=v sur R u=w sur ∂R,

où u est la fonction à déterminer, de classeC², v une fonction continue sur R et w une fonction continue sur∂R.

On munitR∪∂R d’un maillage (voir ﬁgure 1), de nœuds (x_i;y_j) avec xi=i a

m+ 1 etyj =j b

n+ 1, comme dans la ﬁgure 1. On ai∈N∩[0, m+1]

etj∈N∩[0, n+ 1]. On approche ensuite le Laplacien ∆ par son expression aux différences finies avec un pash1= a

m+ 1 en abscisse eth2= b n+ 1 en ordonn´ee.

On remplace alors le rectangleR par le maillage : Rh1,h2 ={(xi;yj) : 1im; 1jn}, et :

∂Rh1,h2 =∂R∩ {(xi;yj) : 0im+ 1; 0j n+ 1}.

(4)

Figure 1. — Maillage du rectangle (R)

Nous noterons iciM = [C, A, B]_m_×_mles matrices tridiagonales par blocs du type :

M =







A B 0 . . . 0 C A B . . . 0 ... . .. ... ... ...

0 . . . C A B 0 . . . 0 C A





 ,

de dimension mn × mn, chaque bloc ´etant de dimension n × n, et M˜ = [c, a, b]_n×n les matrices tridiagonales

M =







a b 0 . . . 0 c a b . . . 0 ... . .. ... ... ...

0 . . . c a b 0 . . . 0 c a





 ,

de dimensionn×n.

(5)

Maintenant, soitU_ij =u(x_i, y_j). On a :

∆_h₁_,h₂U_ij = (∆_h₁_,h₂u)(x_i, y_j)

= 1

h²₁(u(x_i+1, y_j) +u(x_i−1, y_j)−2u(x_i, y_j)) +1

h²₂(u(x_i, y_j+1) +u(x_i, y_j−1)−2u(x_i, y_j))

= 1

h²₁(U_i+1 _j+U_i−1_j−2U_ij) + 1

h²₂(U_{i j+1}+U_{i j−1}−2U_ij).

Posant alors λ= h1

h₂ 2

(λ > 0), ui =





 Ui1

Ui2

... Ui n−1

Uin





 , ∀i ; 1 i m

et U =





 u₁ u₂ ... u_m−1

u_m





, on peut approcher le probl`eme initial par le probl`eme discret suivant :

∆_h₁_,h₂U =v dans R_h₁_,h₂ U =w sur ∂Rh1,h2, On obtient donc :

h²₁∆h1,h2Uij =Ui+1j+Ui−1j−2Uij+λ(Ui j+1+Ui j−1−2Uij). On en d´eduit :

h²₁∆_h₁_,h₂u_i=u_i+1+u_i−1+Lu_i+λU_i0δ_j,1+λU_{i n+1}δ_j,n,

oùLest la matrice tridiagonaleL= [λ,−2(1 +λ), λ]_n_×_n et δ_p,q le symbole de Kronecker. Posant L = [Id, L,Id]_m_×_m, on obtient h²₁∆_h₁_,h₂U = LU +θ₁+θ₂, où θ₁etθ₂ sont des vecteurs de dimensionmnqui ne dépendent que des valeurs dewsur les côtés du rectangle R. Donc :

LU =h²₁v−θ₁−θ₂.

Posant alors V = h²₁v −θ1 −θ2, vij = v(xi, yj), wij = w(xi, yj) et Vij=V(xi, yj), il vientLU =V, o`uV est construit comme U avec :

(6)

V_ij =h²₁v_ij−(δ_i1w_0j+δ_imw_m+1_j)−λ(δ_j1w_i0+δ_jnw_{i n+1}), et δp,q, symbole de Kronecker.

On peut donc remplacer le problème de Poisson-Dirichlet par un pro- blème linaire du type ˜LU = ˜V, où U et ˜V sont des vecteurs de dimensionmn, et ˜Lune matrice de Toeplitz tridiagonale par blocs, de dimension mn×mn, chaque bloc étant lui-même une matrice de Toeplitz tridiagonale de dimensionn×n. On a alors :









 L˜=

−1

2Id,L,˜ −1 2Id

m×m

L˜=

−1

2λ,1 +λ,−1 2λ

n×n

λ= h₁

h2

2

.

A partir de cette mod´elisation, nous utilisons une formule d’inversion`

établie par le même auteur dans [Ch1] et [Ch2], et nous calculons donc la matrice inverse du«Laplacien discret»ainsi obtenu, nous en déduisons une expression asymptotique de la trace de cette matrice inverse et du déter- minant de la matrice «Laplacien», et enfin par un passage à la limite «continu», de type ergodique, nous déduisons de l’inverse de la matrice du Laplacien discret deux expressions différentes du noyau de Green du problème de Poisson-Dirichlet posé ci-dessus.

Avertissement. — La bibliographie donn´ee à la fin de cet article ne saurait être exhaustive, étant donné la profusion de publications sur le sujet traité, qui préoccupe les mathématiciens et les physiciens depuis de nombreuses années.

Remerciements. — Ce travail constitue un chapitre de ma th`ese, menée sous la direction de M. Abdellatif Seghier. Je remercie les participants du groupe de travail «Analyse, Probabilités et Applications» de l’Université de Paris-Sud/Orsay pour leurs nombreuses remarques tant sur le contenu que sur la forme de cet article qui s’en est trouvé grandement amélioré.

(7)

2.R´esultats principaux

La présente étude est effectuée à partir des résultats d’un précédent article du même auteur (voir [Ch2] ou [Ch1]), dans le cadre suivant :

2.1. Cadre de l’étude Définitions générales

On noteT le tore à une dimension, identifié avec l’intervalle ]−π , π] et σ la mesure de Haar surT, de sorte que, si θ ∈]−π , π], dσ= dθ

2π, et ^◦ı l’imaginaire pur deC. On consid`ere le caract`ere :

χ:]−π , π]−→T θ−→e^◦^{ı θ}, qui permet de d´eﬁnir

χ^k:]−π , π]−→T χ^k :]−π , π]−→T θ−→e^◦^{ı kθ} θ−→e⁻^◦^{ı kθ}.

On noteM_n(C) l’espace des matrices de dimensionn×nà coefficients dans le corps des complexesC et Id la matrice identité deM_n(C).

SiM = (m_{i j})₁_{i , j}_n ∈C, alorsM^∗= (m_{j i})₁_{i , j}_n est la matrice adjointe deM, et

tr (M M^∗) =

i=n i= 1

k=n k= 1

mi kmi k =

1i , kn

|mi k|².

Nous définissons alors surM_n(C) la norme matricielle de Hilbert-Schmidt M₂= [tr(M M^∗)]^1/2, associée au produit scalaireM, M₂=

tr(M M^∗) 1/2

. Cette norme permet en particulier de bénéficier de la commutativité de deux matrices à l’intérieur de la trace, avantage décisif pour obtenir des théorèmes d’inversion et de trace équivalents à la dimension 1 (voir [M-M]).

Comme les op´erateurs de Toeplitz que nous allons manipuler op`erent sur des matrices, nous allons en fait traiter ces matrices comme des vecteurs et nous allons donc munirM_n(C) des trois normes vectorielles :

(8)

∀M = (m_ij)₁_i,j_n∈M_n(C),

M₁ =

1i , jn

|m_{i j}|,

M₂ = [tr (M M^∗)]^1/2, M_∞ = max

1i , jn|m_{i j}|.

Espaces de travail

Dans ce paragraphe, nous définissons le cadre de cette étude, et en particulier les espaces dans lesquels nous nous pla¸cons dans la suite du présent article.

Espaces de Lebesgue de fonctions matricielles

Il est impératif, dans cette étude, de pouvoir induire sur les fonctions matricielles des propriétés équivalentes à celles qu’ont leurs composantes.

C’est pourquoi nous introduisons les espaces suivants : (i) L²_M(T) =

M :T−→M_n(C) :

TM²₂dσ <+∞

est l’espace des fonctions matricielles«de carr´e int´egrable» sur le toreT, muni du produit scalaireM, M_L²

M

= 1 n

Ttr (M M^∗) dσet de la norme M_L²

M

= 1

n

TM²2dσ 1/2

.

(ii) L^∞_M(T) =

M :T−→M_n(C) :M_L∞ M = sup

z∈TM(z)_∞<+∞

est l’espace des fonctions matricielles«essentiellement born´ees» sur le toreT. (iii) L¹_M(T) =

M :T−→M_n(C) :M_L¹

M

= 1 n

TM₁ dσ <+∞

est l’espace des fonctions matricielles«int´egrables»sur le toreT.

Espaces de Hardy (i)H_M²⁺(T) =

M ∈ L²_M(T) :M(k) = 0si k <0

est l’espace de Hardy des fonctions matricielles de carr´e int´egrable et de type analytique sur le tore T, avecM(k) =

Tχ^kM(χ) dσ(χ).

(9)

(ii)H_M²⁻(T) =

M ∈ L²_M(T) :M(k) = 0si k0

est l’espace suppl´emen- taire orthogonal deH_M²⁺(T) dansL²_M(T).

(iii) On poseH_M^∞(T) =H_M²⁺(T)∩L^∞_M(T).

Espace des polynˆomes matriciels Soit PN = Lin_M

χ^kId :p∈N ; 0kN

l’espace des polynômes trigonométriques matriciels de degré inférieur ou égal à N. Notons que

PN ⊂H_M²⁺(T).

Projections et op´erateurs de Hankel

Nous considrons d’abord un symbole matriciel F décomposable en F =GG^∗,Gétant une matrice normale surT(c’est-à-dire queGcommute avec sa matrice adjointe surT), et telle queG∈H_M^∞(T) etG⁻¹ ∈H_M^∞(T) et nous définissons ensuite la matrice complexe : ΦN =χ^NG⁻¹^∗Get puis les opérateurs suivants :

π₊:L²_M(T)−→H_M²⁺(T) est la projection orthogonale surH_M²⁺(T) π₋:L²_M(T)−→H_M²⁻(T) est la projection orthogonale sur H_M²⁻(T)

H_Φ_N :H_M²⁺(T)−→H_M²⁻(T) H_Φ^∗_N :H_M²⁻(T)−→H_M²⁺(T) M −→π₋(MΦ_N) M−→π₊(MΦ^∗_N).

HΦN etH_Φ^∗_N sont respectivement le premier et le second opérateur de Han- kel (voir [N]). Ces opérateurs permettent d’échanger les espaces H_M²⁺(T) et H_M²⁻(T) et ont ceci de remarquable qu’ils sont réduits à l’opérateur nul si le symbole G est l’inverse d’un polynôme matriciel (voir [Ch2]).

Ces opérateurs permettent aussi de définir des matrices de Hankel à blocs H = (Ai,j)0i,jN, où les blocs Ai,j sont des coefficients de Fourier Ai,j =F(i+j+ 1) du symboleF (voir [W2]).

Opérateur de Toeplitz tronqué à blocs

Définition 2.1. — On définit d’abord π_N⁽¹⁾ la projection deL²_M(T) sur PN, puis l’opérateur de Toeplitz tronqué à blocs, à symbole matriciel F, par :

T_N(F) :PN −→ L²_M(T)−→ PN

Q−→ QF −→ π⁽¹⁾_N (QF)

(10)

Théorème d’inversion exacte d’un opérateur de Toeplitz à symbole matriciel. — Soit F un symbole matriciel décomposable en F = GG^∗, G étant une matrice normale et inversible sur T, telle que G∈H_M^∞(T)et G⁻¹∈H_M^∞(T). Alors :

(i) ∃α∈]0,1[ ∀N ∈N HΦN+1L²_Mα (ii) T_N(F)est inversible et pour tout Q∈ PN, T_N(F)⁻¹(Q) =π₊(QG⁻¹^∗)G⁻¹

−π+

Id−H_Φ^∗_N+1HΦN+1

₋₁

π+ π+(QG^−1∗)Φ^∗_N₊₁!!

ΦN+1

G⁻¹.

Ce théorème est démontré dans [Ch2] et [Ch1].

Dans toute la suite, nous ´ecrironsL²_M,H_M²⁺,. . . (nous omettrons le tore T dans l’expression des espaces de Lebesgue et des espaces de Hardy) `a chaque fois qu’aucune confusion ne sera possible.

2.2. Th´eor`emes principaux

Nous commen¸cons par appliquer le théorème d’inversion précédent au calcul des blocs de la matrice inverse du Laplacien discret. Nous déterminons le symbole décomposéGdu Laplacien, et nous notonsW la matrice 2A², où Aest le coefficient de Fourier d’ordre 1 deG(voir début du paragraphe 3.2).

Nous obtenons ainsi le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 2.2. — On prend iciN=m−1et on aL˜⁻¹= Lˇ_{k, l}!

0k,lm−1

∀k∈N : 0km−1 et∀l∈N : 0lm−1 Lˇ_{k, l} = 2

W^|^k⁻^l^|⁺¹−W^k+l+3

(Id−W²)⁻¹

− Id−W^2m+2!₋1

W^m⁻^k Id−W^2k+2! L˜²−Id

₋1/2

W^m−l Id−W^2l+2! , ou

Lˇk, l = 2W^|k−l|+1

Id−W2 min(k+1,l+1)

(Id−W²)⁻¹

− Id−W^2m+2!₋1

W^m⁻^k Id−W^2k+2! L˜²−Id

_−1/2

W^m⁻^l Id−W^2l+2! .

(11)

Nous en déduisons l’expression des valeurs propres puis des éléments de matrice de chacun des blocs de la matrice inverse du Laplacien discret, et nous donnons un développement asymptotique de la trace de cette matrice inverse, ainsi que du déterminant de la matrice Laplacien.

Notons (γp)₁_p_n les valeurs propres de W, et posons ˇLk, l = Lk+1, l+1, pour toutk, pour toutl tels que 0k, lm−1.

Corollaire 2.3. — Les valeurs propresσ_{k, l}^(p) de chaque blocLk, lsont :

σ^(p)_{k, l} = 2





γ^|k−l|+1_p

"

1− γ²_p!min(k,l)

1−γ²_p

#

− γ2(m+1)−(k+l)+1 p







"

1− γ_p²!k

1−γ_p²

# "

1− γ²_p!l

1−γ_p²

#

1− γ_p²!m+1

1−γ_p²











 ,

et les ´el´ements de chaque blocLk, lde la matrice inverseL˜⁻¹ont la forme : (Lk, l)_{i, j} = 2

n+ 1

p=n

p=1

σ_{k, l}^(p)sin

p iπ n+ 1

sin

p jπ

n+ 1

,

pour1in,1jn,1km,1lm.

Dans la suite, nous notonsλ0= a

b 2

, de sorte queλ=λm,n=λ0

n+ 1 m+ 1

2

(voir paragraphe 4.1, apr`es la proposition 4.2).

Corollaire 2.4. — tr

L˜⁻¹

= m(m+ 1) π√

λ₀

"_p=n

p=1

1 ptanh pπ√

λ₀!

#

−(m+ 1)² π²λ0

"_p=n

p=1

1 p²

#

−(m+ 1)² π²λ0

"_p=n

p=1

1 p

# O

1 m+ 1

,

On peut alors déterminer un équivalent de la trace normalisée : 1

mn tr

L˜⁻¹

= 1

π√ λ₀

m+ 1 n

n 1

dt t tanh(tπ√

λ₀)

+O

m+ 1 n+ 1

,

(12)

qu’on peut ´ecrire aussi : 1

mn tr

L˜⁻¹

= 1

π$ λm,n

n+ 1 n

n 1

dt t tanh(tπ√

λ0)

+O

"

$1 λm,n

# ,

Corollaire 2.5. — On peut définir pour le logarithme du déterminant du Laplacien discret le développement asymptotique suivant à l’ordre0: ln

det

L˜

=mnln

π² 2(m+ 1)²

+m+n−3mn+ 1 +(2m+ 1)(2n+ 1)

4 ln(λ0 n²+m²)

−

2m+ 1 4

ln(λ0+m²)−

2n+ 1 4

ln(λ0 n²+ 1) +m(m+ 1)

√λ₀

arctan n√

λ0

m

−arctan

√λ0

m

+n(n+ 1)$ λ0

arctan

m n√

λ0

−arctan 1

n√ λ0

+O(1).

Enfin, par un passage à la limite«continu», nous retrouvons le noyau de Green du problème de Poisson-Dirichlet sur un rectangle, et nous en donnons une nouvelle expression sous forme de série qui converge très rapidement, et pour laquelle chaque terme décroˆıt exponentiellement en fonction de son ordre et de l’aplatissement du rectangle. On désigne par [u] la partie entière du réelu. On choisit,∀(x;y;x;y)∈[0,1]⁴ :

k=k(m) = [(m+ 1)x], l=l(m) = [(m+ 1)x], i=i(n) = [(n+ 1)y], j=j(n) = [(n+ 1)y]. Avec ces notations, nous avons les deux th´eor`emes suivants :

Théorème 2.6. — Développement classique du noyau de Green

n→+∞lim

m→+∞

$λ_m,n

2 Lk(m), l(m)

!

i(n), j(n)

= 2 π

p∈N^∗

sinh pπ√

λ0min(x, x)!

sinh pπ√

λ0(1−max(x, x))! psinh(pπ√

λ0)

×sin(pπy) sin(pπy),

pour(x;y)= (x;y), uniform´ement par rapport `ak,l,i etj.

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Théorème 2.7. — Nouveau développement du Noyau de Green Posons :

ϕ_q(t, y, y) = sin²((π/2)(y+y)) + sinh² (π/2)√

λ₀(2q+t)! sin²((π/2)(y−y)) + sinh² (π/2)√

λ₀(2q+t)!. Alors :

n→+∞lim

m→+∞

$λm,n

2 Lk(m), l(m)

!

i(n), j(n)

= 1 4π

q∈N

ln

ϕ_q(|x−x|, y, y)ϕ_q(x+x, y,−y) ϕq+1(−|x−x|, y, y)ϕq+1(−(x+x), y,−y)

, pour(x;y)= (x;y), uniform´ement par rapport `ak,l,i etj.

Nous donnons ensuite une comparaison de la vitesse de convergence des deux séries définissant le noyau de Green du problème de Poisson-Dirichlet sur un rectangle et en concluons que la seconde série est beaucoup plus intéressante que la première, car il suffit d’en calculer quelques termes pour obtenir une précision convenable.

Nous terminons enfin par une expression du noyau de Green du théorème 2.7 à partir d’une somme finie et d’un reste, par le corollaire suivant : Corollaire du théorème 2.7. — Fixons un nombre entier naturel S et un réel ε tel que ε ∈ ]0,1]. Alors le noyau de Green s’´ecrit, ∀x ∈ [0,1],

∀x∈[0,1],∀y∈[0,1],∀y∈[0,1], tels quemax{|x−x|,|y−y|ε} : G(x, y, x, y) = 1

4π

q=S

q=0

ln

ϕ_q(|x−x|, y, y)ϕ_q(x+x, y,−y) ϕ_q+1(−|x−x|, y, y)ϕ_q+1(−(x+x), y,−y)

+RS(x, y, x, y), avec :

max

|RS(x, y, x, y)|: (x, y, x, y)∈[0,1]⁴; max (|x−x|,|y−y|)ε

1

π

3e⁻^π^√^λ⁰^ε+e⁻^π^√^λ⁰ 1−e^−2π^√^λ⁰ ln

1

1−e^−2(S+1)π^√^λ⁰

.

Num´eriquement, pour √

λ0 = 2, si on ne prend que le premier terme de la série (S = 0), le reste est inférieur à 3,33.10⁻⁶. Pour √

λ0= 1, si on

(14)

prend les deux premiers termes de la série (S = 1), le reste est inférieur à 3,38.10⁻⁶. Pour √

λ₀ = 1/2, si on prend les quatre premiers termes de la série (S= 3), le reste est inférieur à 3,72.10⁻⁶.

3.Inverse du Laplacien discret 3.1. Calcul des valeurs propres du symbole

La matrice à blocs ˜L du paragraphe 1 peut être considérée comme un opérateur de Toeplitz tronqué par blocs, de symbole matriciel

F=−1

2χId + ˜L− 1 2χId.

Notons (αp)1pn la suite finie des valeurs propres de ˜L. Nous allons voir qu’elles sont toutes distinctes, réelles et strictement supérieures à 1.

L˜ = ˜Ln =







1 +λ −λ

2 0 · · · 0

−λ

2 1 +λ −λ

2 · · · 0 ... . .. . .. . .. ... 0 · · · −λ

2 1 +λ −λ 2 0 · · · 0 −λ

2 1 +λ







est de dimensionn×n.

Les valeurs propres de cette matrice sont de la formeαp= 1 +ζpλavec p ∈ N : 1 p n. Un calcul classique (voir [Z]) permet d’obtenir leur expression sous la forme :

∀p∈ {1; 2;· · ·;n}, α_p = 1+λ

1−cos pπ

n+ 1

= 1+2λsin²

pπ 2(n+ 1)

.

On voit facilement que chaque sous-espace propre de ˜Lest de dimension 1 et ind´ependant deλ. La matrice ˜Lest alors diagonalisable en base orthonorm´ee et ˜L=P

Diag (α_p)₁_p_n

P⁻¹.P est une matrice de changement de base, r´eelle, orthogonale et ind´ependante deλ. Calculons cette matrice de passage P :

(15)

Proposition 3.1. — La matrice de passage orthogonale permettant de diagonaliser L˜ s’´ecrit :

P =

% 2 n+ 1

sin

ipπ n+ 1

1i,pn

.

D´emonstration. — Pour ceci, nous aurons besoin du lemme suivant :

Lemme 3.2. — Pour tous entiers naturelsi etj,

p=n

p=1

sin ipπ

n+ 1

sin jpπ

n+ 1

= n+ 1 2 δ_i,j, o`uδ_i,j est le symbole de Kronecker.

Démonstration. — La démonstration de ce lemme très classique est laissée au lecteur.

Montrons maintenant la proposition 3.1 :

On vérifie facilement par un calcul direct que chacun des sous-espaces propres de ˜Lest l’espace de dimension 1 engendré par le vecteur :

X_p=

% 2 n+ 1





 sin

pπ n+ 1

sin 2pπ

n+ 1

... sin

(n−1)pπ n+ 1

sin npπ

n+ 1





 .

En utilisant le lemme 3.2, on obtient la matrice P =

% 2 n+ 1

sin

ipπ n+ 1

1i,pn

.

(16)

3.2. D´ecomposition du symbole matriciel du Laplacien

Dans cette section, nous calculons la décomposition du symbole F du Laplacien discret et nous montrons que cette décomposition vérifie les hy- pothèses du théorème de Helson-Lowdenslager (voir [H-L]), de fa¸con à pouvoir utiliser le théorème d’inversion du paragraphe 2.1. Notre symbole peut s’écrire :

F =P

"

Diag

−1

2χ+αp− 1 2χ

1pn

# P⁻¹. Factorisons les valeurs propres de la matriceF :

−1

2χ+αp− 1

2χ =−(χ−α_p)²−(α²_p−1)

2χ .

Posons 





βp=αp+

&

α²_p−1 γ_p=α_p−&

α²_p−1.

On a β_pγ_p= 1 ,β_p>1 et 0< γ_p<1. Par ailleurs

−1

2χ+αp− 1 2χ =

%βp

2 (1−γpχ)

%βp

2

1−γp

χ

. En posant alors

G=P

"

Diag

%βp

2 (1−γpχ)

1pn

# P⁻¹,

on d´ecompose le symbole enF =GG^∗ ,G´etant de la formeG=χA+B et G^∗= 1

χA+B , avec A=P

"

Diag

−

%γ_p 2

1pn

# P⁻¹ et

B=P

"

Diag

%βp

2

1pn

# P⁻¹, ce qui entraˆıne les ´egalit´es suivantes :

AB=BA=−1 2Id A²+B²= ˜L.

(17)

Remarquons que AetB sont des matrices sym´etriques r´eelles qui commu- tent.

Montrons maintenant queGest dansH_M^∞etG⁻¹est dansH_M²⁺, et pour cela, calculonsG_L²

M

et ''G⁻¹''

L²_M :

Proposition 3.3. — Posons W = 2A², alors G⁻¹ = B⁻¹

q∈N

χ^qW^q, qui est une s´erie convergente dansL²_M. On peut ensuite calculer :

G_L²

M

= 1

ntr L˜

1/2

; ''G⁻¹''

L²_M= 1

ntr L˜²−Id

₋1/2 1/2

. On en d´eduit queGetG⁻¹ sont dansH_M²⁺. Par ailleurs,

G_L∞

M A_∞+B_∞<+∞, etGest dansL^∞_M. D´emonstration. —

G⁻¹ = (χA+B)⁻¹

= [(Id +χAB⁻¹)B]⁻¹

= B⁻¹(Id +χAB⁻¹)⁻¹

= B⁻¹(Id−χW)⁻¹. On obtient alorsId_L²

M

= 1

n

Ttr (IdId^∗) dσ 1/2

= 1, et : χW²_L²

M

= 1

n

Ttr

(χW)(χW)^∗

dσ

= 1

n

Ttr W²! dσ,

χW²_L²

M = 1

ntr W²!

= 4

n

p=n

p=1

γp

2 2

,

χW²_L²

M

= 1

n

p=n

p=1

(γ_p)²

1maxpn(γp) 2

,

(18)

donc

0<χW_L²

M max

1pn(γ_p)<1.

Dans ces conditions,∀S ∈N, (Id−χW)

q=S

q=0

χ^qW^q =

q=S

q=0

χ^qW^q−

q=S+1

q=1

χ^qW^q

= Id−χ^S+1W^S+1

=

"_q=S

q=0

χ^qW^q

#

(Id−χW).

D’autre part, ''χ^S+1W^S+1''²

L²_M = 1 n

Ttr

χ^S+1W^S+1

χ^S+1W^S+1 _∗

dσ

= 1

n

Ttr

W^2(S+1)

dσ

= 1

ntr

W^2(S+1)

= 1

n

p=n

p=1

(γp)^2(S+1). Finalement,

''χ^S+1W^S+1''

L²_M= (

1 n

p=n

p=1

(γp)^2(S+1) )1/2

. Comme∀p∈N : 1pn, 0< γp<1, pournﬁx´e,

S→lim+∞

''χ^S+1W^S+1''

L²_M

= 0.

On en d´eduit :

S→+∞lim ''''

'Id−(Id−χW)

q=S

q=0

χ^qW^q '''' '

L²_M

= lim

S→+∞

'''' 'Id−

"_q=S

q=0

χ^qW^q

#

(Id−χW) '''' 'L²_M

= 0,

(19)

et doncG⁻¹=B⁻¹

q∈N

χ^qW^q. Par ailleurs, ''''

'B⁻¹

q=S

q=0

χ^qW^q '''' '

2

L²_M

= 2 n

q=S

q=0

tr

W^2q+1

,

'''' 'B⁻¹

q=S

q=0

χ^qW^q '''' '

2

L²_M

= 2

n

p=n

p=1

γ_p

q=S

q=0

γ_p^2p

= 2

n

p=n

p=1

γp

"

1−γp^2(S+1)

1−γ_p²

# .

Comme∀p∈N : 1pn, 0< γp <1, pournﬁx´e,

S→lim+∞

'''' 'B⁻¹

q=S

q=0

χ^qW^q '''' 'L²_M

=

"

2 n

p=n

p=1

γ_p 1−γ_p²

#1/2

.

On en d´eduit que

''G⁻¹''

L²_M =

"

2 n

p=n

p=1

γ_p 1−γ_p²

#1/2

.

Or :

1−γ_p²= 1−

2α²_p−1−2αp

&

α_p²−1

, donc :

1−γ_p² = 2−2α²_p+ 2α_p

&

α²_p−1

= 2

&

α²_p−1

αp−&

α²_p−1

= 2γp

&

α²_p−1, donc

''G⁻¹''

L²_M=



1 n

p=n

p=1

& 1 α²_p−1





1/2

.

Comme∀p∈N : 1pn,αp >1, ni 1 ni−1 ne sont valeurs propres de L˜ et

∀p∈N : 1pn,

&

α²_p−1= 0.

(20)

Les

&

α²_p−1 sont les valeurs propres de la matrice

L˜²−Id 1/2

et cette matrice est inversible (cette matrice existe puisque ˜L est symétrique réelle et définie positive). On obtient alors

''G⁻¹''

L²_M= 1

n tr

L˜²−Id

_−1/21/2

<+∞. Enﬁn un calcul direct montre que

G_L²

M = 1

n tr L˜

1/2

<+∞.

Les matrices G et G⁻¹ sont donc dans L²_M et comme elles sont de type analytique , elles sont dansH_M²⁺. De plus, par l’in´egalit´e

G_L∞

M A∞+B∞<+∞(triviale),Gest dansL^∞_M.

Dans ces conditions , on peut appliquer le th´eor`eme d’inversion du paragraphe 2.1.

3.3. Calcul de l’inverse du Laplacien discret

L˜étant une matrice de Toeplitz par blocs de dimensionmn×mn, nous allons appliquer le théorème d’inversion au calcul des blocs ˇLk lde la matrice inverse ˜L⁻¹ (0kN et 0lN avecN =m−1).

Th´eor`eme 3.4. — On prend iciN=m−1et on aL˜⁻¹= Lˇ_{k, l}!

0k,lm−1

∀k∈N : 0km−1 et∀l∈N : 0lm−1

Lˇk, l = 2

W^|k−l|+1−W^k+l+3

(Id−W²)⁻¹

− Id−W^2m+2!₋₁

W^m−k Id−W^2k+2! L˜²−Id _−1/2

W^m−l Id−W^2l+2! , ou

Lˇk, l = 2W^|k−l|+1

Id−W2 min(k+1,l+1)

(Id−W²)⁻¹

− Id−W^2m+2!₋₁

W^m−k Id−W^2k+2! L˜²−Id _−1/2

W^m−l Id−W^2l+2! .