A406. Paires de rectangles
Q1 Trouver les dimensions entières de deux rectangles d'aires minimales telles que l'aire du premier est le quadruple de l'aire du second et le périmètre du second est le quadruple du périmètre du premier.
Q2 L'un des côtés d'un premier rectangle de dimensions entières est égal à 2016.Trouver les dimensions entières d'un second rectangle telles que l'aire du premier est k fois l'aire du second, le périmètre du second est k fois celle du premier et le multiple k est un entier le plus grand possible.
Q3 Démontrer que pour tout entier k, on sait toujours trouver les dimensions entières de deux rectangles dont l'aire du premier est k fois l'aire du second et le périmètre du second est k fois le périmètre du premier. Application numérique k = 2016.
Q1) Le deuxième triangle doit avoir une aire minimale et un périmètre maximal. Cela s'obtient en choisissant sa largeur égale à un.
Soient a et b les dimensions du premier rectangle, c et 1 celles du deuxième.
Le système d'équations à résoudre est : ab = 4c et c+1 = 4(a+b) ,d'où en posant a+b=s et ab = p, 4s = p/4 + 1 , p = 16s – 4 , mais s² – 4p doit être un carré soit s² – 4p = h² , s² – 64s + 16 = h² (s – 32)² – 1008 = h², (s – 32 – h).(s – 32 + h) = 1008.
1008 = 24.3².7 admet 5.3.2 = 30 diviseurs donc est décomposable de 15 façons en produit de 2 facteurs, mais 9 façons en produit de 2 facteurs de même parité.
s-32-h 2 4 8 14 28 18 6 12 24
s-32+h 504 252 126 72 36 56 168 84 42
s 285 160 99 75 64 69 119 80 65
p 4556 2556 1580 1196 1020 1100 1900 1276 1036
a 17 18 20 23 30 25 19 22 28
b 268 142 79 52 34 44 100 58 37
Premier rectangle 30*34 , surface = 1020, périmètre = 128
Deuxième rectangle c = 1020/4, dimensions : 255*1,donc surface = 255, périmètre = 512 1020 = 4*255 et 512 = 4*128
Q2) Dimensions des rectangles : 1°) a=2016 sur b et 2°) c sur d. On admet que pour avoir k maximum, le deuxième rectangle doit avoir la largeur égale à un : d = 1
2016.b = k.c et c+1 = k(2016 + b) d'où k(2016 + b) = 2016.b/k + 1 et b= f(k) = (2016∗k2−k) (2016−k2) Pour que b soit positif il faut k < √2016 donc k < 44.
Le tableau suivant montre que la seule valeur de k comprise entre 2 et 44 qui donne f(k) entier est k=32, avec b = 2081, alors c = (2016/k).b = 63*2081 = 131103
Premier rectangle 2081 sur 2016, surface = 4195296, périmètre = 8194 Deuxième rectangle 131103 sur 1, surface = 131103, périmètre = 262208 4195296 = 32*131103 et 262208 = 32*8194
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 4,00695825 9,03886398 16,126 25,3114013 36,6515152 50,2170819 66,0942623 84,3860465 105,213987 128,720317
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
155,070513 184,456416 217,1 253,257956 293,227273 337,352056 386,031915 439,732326 498,997525 564,466667 636,894256
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
717,176194 806,383333 905,805176 1017,00746 1141,90909 1282,88636 1442,9166 1625,77957 1836,34597 2081 2368,27508
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
2709,83953 3122,07965 3628,75 4265,63679 5089,27622 6194,53939 7753,75 10115,9851 14111,8333 22320,6048 48786,65
Q3) Gardons la largeur du deuxième rectangle égale à un, en remplaçant 4 par k, le problème devient : p = k.c et c + 1 = k.s, p = k.(ks – 1), s² – 4k.(ks – 1) = h², s² – 4k²s + 4k = h²
(s – 2k²)² – h² = 4k4 – 4k . Il y a plusieurs façons d'écrire 4k4 – 4k comme produit de deux facteurs.
On a au moins une solution : prenons (s – 2k²) – h = 2k et (s – 2k²) + h = 2(k3 – 1) s = k3 – 1 + 2k² + k = k3 + 2k² + k – 1
p = k[k(k3 + 2k² + k – 1) – 1] = k5 + 2k4 + k3 – k² – k
Les solutions de l'équation t² – (k3 + 2k² + k – 1).t + (k5 + 2k4 + k3 – k² – k) = 0 sont les dimensions du premier rectangle : (k3 + k² – 1) sur (k² + k).
c = p/k, dimensions du deuxième rectangle : (k4 + 2k3 + k2 – k – 1) sur 1.
Application numérique k = 2016
Premier rectangle:8197604351 sur 4066272 Deuxième rectangle : 16534567975967 sur 1
