Exercice d’analyse

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚3

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Exercice d’alg` ebre

SoitAla matrice d´efinie par :

A=





4 −2 −2

3 0 −3

1 −2 1



.

1. Calcul des puissances de A

1.1. D´eterminer l’ensembleSp(A) desλ∈R, tel que le syst`eme lin´eaire :

(Sλ) : (A−λI3)



 x₁ x₂ x₃



=



 0 0 0





d’inconnue



 x1

x2

x3



∈R³ ne soit pas de Cramer.

1.2. Soientα, β, γ les ´el´ements deSp(A) rang´es dans l’ordre croissant. On a doncα < β < γ.

1.2.1. R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S<sub>α</sub>) et d´eterminer l’unique solution de (S<sub>α</sub>) dont la troisi`eme com- posante vaut 1, i.e. l’unique solution de (Sα) de la forme



 x1

x2

1



, avecx1, x2∈R.

1.2.2. R´esoudre le syst`eme lin´eaire (Sβ) et d´eterminer l’unique solution de (Sβ) dont la troisi`eme com- posante vaut 1.

1.2.3. R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S<sub>γ</sub>) et d´eterminer l’unique solution de (S<sub>γ</sub>) dont la troisi`eme com- posante vaut 1.

1.3. SoitP la matrice d´efinie par :

P =





1 1 0

1 0 −1

1 1 1



.

Montrer queP est inversible et calculerP⁻¹. 1.4. On poseD=P⁻¹AP.

1.4.1. Calculer les coefficients de la matriceD, puis ceux des matricesDⁿ pour toutn∈N^∗.

1.4.2. Montrer queA=P DP⁻¹.

1.4.3. D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N: Aⁿ=P DⁿP⁻¹. 1.4.4. En d´eduire les coefficients deAⁿ pour toutn∈N^∗.

2. ´Etude de trois suites li´ees par des relations de r´ecurrence lin´eaires d’ordre 1 Soient (u_n)_n∈N, (v_n)_n∈N et (w_n)_n∈Nles trois suites d´efinies par :

u₀= 1 v₀= 2 w₀=−1 et les relations de r´ecurrence :

un+1= 4un−2vn−2wn

vn+1= 3un−3wn

wn+1=un−2vn+wn

valables pour toutn∈N. On poseXn =



 un

v_n w_n



pour toutn∈N. 2.1. Que vaut le vecteurX₀?

2.2. Soitn∈N. Reconnaˆıtre le produitAXn.

2.3. D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N:Xn=AⁿX0.

2.4. En d´eduire une expression deun,vn etwn en fonction denpour toutn∈N^∗.

Exercice d’analyse

1. La s´erie harmonique

Pour toutn∈N^∗, on pose :H_n=

n

X

k=1

1 k.

1.1. Montrer que la suite (Hn)_n∈N^∗ est strictement croissante.

1.2. Enoncer le th´´ eor`eme des accroissements finis.

1.3. D´emontrer que pour toutk∈N^∗ : 1

k+ 1 <ln(k+ 1)− ln(k)< 1 k.

1.4. En d´eduire que pour tout n∈N^∗ : ln(n+ 1)< Hn.

1.5. Conclure quant au comportement asymptotique de la suite (Hn)n∈N^∗. Traduire le r´esultat obtenu dans le langage des s´eries.

1.6. Pour toutn∈N^≥2, on pose :

u_n =H_n−ln(n) et v_n=H_n−1−ln(n).

1.6.1. D´emontrer que les suites (un)_n∈N≥2 et (vn)_n∈N≥2 sont adjacentes. Leur limite commune est nomm´ee constante d’Euler et est not´eeγ.

1.6.2. En d´eduire que :H_n ∼

n→+∞ln(n).

2. La s´erie harmonique altern´ee

Pour toutn∈N^∗, on pose :A_n=

n

X

k=1

(−1)^k−1 k .

2.1. Montrer que les suites (A2n)_n∈N^∗ et (A2n+1)_n∈N^∗ sont adjacentes.

2.2. En d´eduire que la suite (An)n∈Nconverge. On notel sa limite.

2.3. Soitn∈N^∗ et soitf:R⁺ →R; x7→ln(1 +x)−

2n

X

k=1

(−1)^k−1x^k

k .

2.3.1. D´emontrer que pour toutx∈R⁺ :

2n

X

k=1

(−x)^k−1= 1−(−x)²ⁿ 1 +x .

2.3.2. Justifier quef est d´erivable surR⁺ et calculerf⁰. Pr´eciser le signe def⁰ surR⁺. 2.3.3. Dresser le tableau de variations def surR⁺ et calculerf(0).

2.3.4. En d´eduire que pour toutx∈R⁺ :

2n

X

k=1

(−1)^k−1x^k

k ≤ln(1 +x).

2.4. Soitn∈N^∗. D´emontrer par une m´ethode analogue `a celle expos´ee en 2.3. pour toutx∈R⁺ :

ln(1 +x)≤

2n+1

X

k=1

(−1)^k−1x^k

k .

2.5. D´eduire de 2.3. et 2.4. que pour toutn∈N^∗ :A2n ≤ln(2) ≤A2n+1, puis quel= ln(2).

2.6. Traduire les r´esultats obtenus en 2.2. et en 2.5. dans le langage des s´eries.

Probl` eme de probabilit´ es

On d´esigne par n un entier naturel non nul et dans les parties 2 et 3 de ce probl`eme, on consid`ere une urne contenant une boule blanche etn−1 boules noires.

Laurent et Marc tirent `a tour de rˆole une boule de cette urne dans l’ordre suivant. Laurent joue le premier, Marc joue apr`es Laurent, Laurent joue apr`es Marc, Marc joue apr`es Laurent etc.

Le gagnant est celui qui extrait la boule blanche. Le jeu s’arrˆete d`es que l’un des deux joueurs a gagn´e.

Pour toutk∈N^∗, on note :

Bk : la boule blanche est tir´ee auk-i`eme tirage; Lk : Laurent gagne auk-i`eme tirage;

Mk : Marc gagne auk-i`eme tirage. On note ´egalement :

L : Laurent gagne la partie; M : Marc gagne la partie.

L’objectif de ce probl`eme est de comparer les probabilit´esP(L) et P(M) selon le mode de tirage, et dans la partie 4, avec une urne remplie al´eatoirement.

Partie 1 : D´ecompositions d’´ev´enements

1. Que dire des ´ev´enementsL2k pourk∈N^∗ et M2k+1 pourk∈N?

2. Soit k ∈ N. Exprimer l’´ev´enement L2k+1 `a l’aide des ´ev´enements B1, B2, . . . , B2k, B2k+1 ou de leurs compl´ementaires.

3. Soitk∈N^∗. Exprimer l’´ev´enementM2k`a l’aide des ´ev´enementsB1, B2, . . . , B2kou de leurs compl´ementaires.

4. Exprimer l’´ev´enement L`a l’aide de certains ´ev´enements Lk, o`uk∈N^∗. 5. Exprimer l’´ev´enement M `a l’aide de certains ´ev´enements M<sub>k</sub>, o`uk∈N^∗.

Partie 2 : Les tirages se font avec remise de la boule tir´ee

On suppose dans cette partie que les tirages se font avec remise de la boule tir´ee. On pose, pour cette partie seulement,p= 1

n etq= 1−p=n−1 n .

1. CalculerP(L2k+1) pour toutk∈N. En d´eduire queP(L) = 1 1 +q. 2. CalculerP(M2k) pour toutk∈N^∗. En d´eduire queP(M) = q

1 +q. 3. V´erifier queP(L)> P(M). Ce r´esultat ´etait-il pr´evisible ?

4. Quelle est la probabilit´e que le jeu dure ind´efiniment ? Partie 3 : Les tirages se font sans remise de la boule tir´ee

On suppose dans cette partie que les tirages se font sans remise de la boule tir´ee.

1. Montrer que pour toutk∈Ntel que 2k+ 1≤non a :P(L_2k+1) = 1 n. 2. Montrer que pour toutk∈N^∗ tel que 2k≤non a : P(M2k) = 1

n.

3. Dans cette question, on suppose quenest pair. Il existe donc m∈N^∗ tel quen= 2m.

3.1. Que dire des ´ev´enements L_2k+1 pour k∈Ntel quek≥m etM_2k pourk∈N^∗ tel que k≥m+ 1 ? 3.2. Montrer que :P(L) = 1

2 et P(M) = 1 2.

3.3. Quelle est la probabilit´e que le jeu dure ind´efiniment ?

4. Dans cette question, on suppose quenest impair. Il existe doncm∈Ntel que n= 2m+ 1.

4.1. Que dire des ´ev´enementsL_2k+1pourk∈Ntel quek≥m+ 1 etM_2k pourk∈N^∗tel quek≥m+ 1 ? 4.2. Montrer que :P(L) = m+ 1

2m+ 1 etP(M) = m 2m+ 1. 4.3. V´erifier queP(L)> P(M). Ce r´esultat ´etait-il pr´evisible ? 4.4. Quelle est la probabilit´e que le jeu dure ind´efiniment ?

Partie 4 : Les tirages se font sans remise dans une urne remplie al´eatoirement

L’urne est maintenant remplie de la fa¸con suivante : on lance une pi`ece qui donne PILE avec probabilit´e p (0< p <1) et FACE avec probabilit´eq= 1−p.

On jette la pi`ece jusqu’`a obtenir un premier PILE. On note N le nombre (al´eatoire) de lancers effectu´es¹. On place alors dans l’urne une boule blanche etN−1 boules noires.

Pour toutn∈N^∗, on noteP_n et [N =n] les ´ev´enements d´efinis par :

P_n : le r´esultat dun-i`eme lancer de la pi`ece est PILE; [N =n] : le premier PILE est apparu aun-i`eme lancer. 1. Soitn∈N^∗.

1.1. D´ecomposer l’´ev´enement [N =n] `a l’aide des ´ev´enementsP1, P2, . . . , Pnou de leurs compl´ementaires.

1.2. CalculerP([N =n]).

2. Soitm∈N^∗. En utilisant la partie 3, calculer P(L/[N = 2m]) etP(M/[N = 2m]).

1. On dit aussi queN est la variable al´eatoire ´egale au rang du premier PILE obtenu.

3. Soitm∈N. En utilisant la partie 3, calculer P(L/[N = 2m+ 1]) etP(M/[N= 2m+ 1]).

4. On se propose ici d’expliciter P(L).

4.1. Enoncer la formule des probabilit´´ es totales donnant l’expression de P(L) relativement au syst`eme complet d’´ev´enements ([N =n])_n∈N∗.

4.2. En d´eduire que :

P(L) = q 2(1 +q)+

+∞

X

m=0

m+ 1 2m+ 1q^2mp.

5. Montrer de mˆeme que :

P(M) = q 2(1 +q)+

+∞

X

m=0

m

2m+ 1q^2mp.

6. V´erifier queP(L)> P(M).

7. Quelle est la probabilit´e que le jeu dure ind´efiniment ?