DM n˚3. Probabilit´ es : arbres, ind´ ependance. Correction.
Exercice 1
1.
Cat´egorie A Cat´egorie B Cat´egorie C Total
Eau gazeuse 122 108 310 540
Eau plate 348 132 180 660
Total 470 240 490 1200
2. a. 470 personnes sur 1200 appartiennent `a la cat´egorie A, donc p(A) = 1200470 ≈0.39. De mˆeme :
• p(B) =1200240 = 0.2,
• p(C) = 1200490 ≈0.41,
• p(G) = 1200540 = 0.45.
b. Parmi les 240 personnes de la cat´egorie B, 108 boivent de l’eau gazeuse. Donc pB(G) =108240 = 0.45.
On remarque quepB(G) =p(G), donc B et G sont ind´ependants.
c. Parmi les 1200 presonnes interrog´ees, 310 sont de la cat´egorie C et boivent de l’eau gazeuse. Doncp(C∩G) =1200310 ≈0.26.
P(C)×P(G)≈0.41×0.45≈0.18 doncP(C)×P(G) est diff´erent deP(C∩G). Donc C et G sont d´ependants.
Exercice 2
1. p(R) +p(V) = 1 car soit on ramasse soit une pomme verte, soit une rouge. D’autre part, l’´enonc´e donnep(R) = 2×p(V). Doncp(V) =13 etp(R) = 23.
2.
chemin V A
0 1
0 0 1 1 p(R)=2/3
p(V)=1/3
R
V
A
A A
A
p(A)=3/5
R2/5 4/5
1/5
chemin A R
00 11
3. a) On cherchep(R∩A). On suit le cheminR∩Adans l’arbre :p(R∩A) =p(R)×pR(A) =
2
3×35 = 25= 0.4.
b) On cherchep(R∩A). On suit le cheminV ∩Adans l’arbre :p(V ∩A) =p(V)×pV(A) =
1
3×45 = 154.
c) On cherchep(A), on somme les probabilit´es des chemins qui arrivent sur A, c’est-`a-dire p(A) =p(V ∩A) +p(R∩A) =25+154 =156 +154 = 1015, donc en simplifiant p(A) = 23.
Exercice 3
1. Ici on se contente de traduire l’´enonc´e sous forme math´ematiques... Ne calculez pas pF(A) en utilisant la formulepF(A) = p(F∩A)p(F) , d’autant qu’on vous demande de calculer p(F ∩A) plus tard seulement !
• 20% des clients ach`etent une applique, doncp(A) = 0.2. De mˆeme :
• p(S) = 0.3
• p(L) = 0.5
• pA(F) = 0.35
• pS(F) = 0.4
• pL(F) = 0.7
2.
0,3
0 1
00 11 0 1
A S
L
F
F F F 0,2
0,5 0,3
0,35 0,65
F F
0,4 0,6 0,7
00 11
3. On suit les cheminsF∩A,F∩S et F∩Lsur l’arbre et on trouve :
• p(F∩A) = 0.2×0.35 = 0.07
• p(F∩S) = 0.3×0.4 = 0.12
• p(F∩L) = 0.5×0.7 = 0.35.
4. On somme les trois chemins arrivant sur F :p(F) =p(F∩A) +p(F∩S) +p(F∩L) = 0.54.
2
