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D317 Les frères ennemis [**** à la main]

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Academic year: 2022

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(1)

D317 Les frères ennemis [**** à la main]

Solution de Paul Voyer

Le problème est trivial pour n = 2 et 3.

n = 2

Deux points diamétralement opposés conviennent.

La distance est égale à R = 19999 km.

n = 3

Les 3 points définissent un plan. Ils forment un triangle équilatéral ayant comme cercle circonscrit un grand cercle.

Toutes les distances sont de 3 2R

= 13333 km n = 4

Les points forment un tétraèdre régulier inscrit dans la sphère.

G, centre de gravité, est tel que GH = GD/3.

L'arc DGA vaut R*arcos(- 3

1) soit 6366*1.9106 = 12163 km, valable pour toutes les distances.

n = 5

Trois des points forment un triangle équilatéral, disons sur l'équateur.

Les deux autres sont les pôles.

La plus courte distance est obtenue antre pôle et équateur, vue sous un angle de 2

 .La

distance entre pôle et équateur est 2

R

= 10000 km.La distance entre deux points de l'équateur est 3

2R

soit 13333 km n = 6

Les points forment un octaèdre régulier inscrit dans la sphère.

(2)

L'arc vu du centre est de 2

 , toutes les distances valent 2

R

= 10000 km

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