Projecteurs et symétries

Projecteurs et symétries

¦ Eest unKespace vectoriel,FetGsont des sous-espaces vectoriels deE.

I. Projecteurs

¦ On dit queF etG sont des sous-espaces supplémentaires deE lorsque pour toutu∈E, il existe un unique couple (v,w)∈F×Gtel queu=v+w.Illustration graphique :

u

v w

F G

0

Posons alorsp(u)=v, ceci permet de définir une applicationpdeE dansE. On dit quep est le projecteur surFparallèlement àG. De la même manière, on peut poserq(u)=wce qui définit une applicationqdeEdansEet on dit queqest le projecteur surGparallèlement àF. On dit aussi que qest le projecteur associé àp.Illustration graphique :

u

p(u) q(u)

F G

0

On démontre alors quepetq sont des application linéaires, ce sont donc des endomorphismes de E. De plus, pour toutu∈E,p(u)+q(u)=uc’est à direp+q=idE.

¦ On remarque que par définition pour toutu∈E,p(u)∈F. De plus, pour toutu∈G,p(u)=0. Ceci montre que Imp⊂FetG⊂Kerp. On démontre que l’on a en fait Imp=Fet Kerp=G. On dit queF etGsont les sous-espaces associés au projecteurp(ou sous-espaces caractéristiques du projecteur

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pou encore directions dep). Comme pouru∈Eon ap(u)∈F, on a alorsp(p(u))=p(u). Ceci se note égalementp◦p=pou encorep²=p.

¦ Réciproquement, sipest un endomorphisme deEetp²=p, alorspest un projecteur deE, c’est le projecteur sur Impparallèlement à Kerp.

¦ Matrice dans une base adaptée. Dans le cas oùE est de dimension finie, posonsn=dimE,r = dimF et ainsi dimG=n−r (carF⊕G=E). On considère (e1, . . . ,er) une base deF et (er+1, . . . ,en) une base deG. On sait alors queB=(e1, . . . ,en) est une base deE(théorème de concaténation des bases). De plus pouri∈ ‚1,rƒ,ei ∈F donc son projeté surF parallèlement àG estp(ei)=ei. Pour i∈ ‚r+1,nƒ,ei∈Gdonc son projeté surFparallèlement àGestp(ei)=0. Ainsi :

Mat_B(p)=









































1 (0) 0 · · · 0 ←ligne 1

. .. ... ...

(0) 1 0 · · · 0 ←ligner 0 · · · 0 0 (0) ←ligner+1

... ... . ..

0 · · · 0 (0) 0 ←lignen On en déduit en particulier que rg(p)=r=dimF=tr(M)=tr(p).

II. Symétries

¦ On suppose à nouveauFetGsous-espaces supplémentaires deE. Pouru∈E, il existe un unique couple (v,w)∈F×G tel que u =v+w. On pose alors s(u)=v−w. Ceci définit à nouveau une application linéaires deE dansE et on dit que s la symétrie par rapport àF parallèlement àG.

Illustration graphique :

u

p(u) q(u)

−q(u)

F G

s(u) 0

On dit encore queFetGsont les sous-espaces caractéristiques de la symétrie.

¦ On remarque que siu∈F, alorss(u)=u i.e. u∈Ker(s−i d) et siu∈G, alorss(u)= −u i.e. u∈ Ker(s+idE). On en déduitF ⊂Ker(s−idE) etG⊂Ker(f +g). On peut en fait montrer que l’on a F=Ker(s−i d) etG=Ker(s+idE). De plus, pouru∈E, on note ques(s(u))=uc’est à dires◦s=idE.

¦ Réciproquement, sisest un endomorphisme deEets²=idE, alorssest unee symétrie deE, c’est la symétrie par rapport à Ker(s−idE) parallèlement à Ker(s+idE).

¦ En reprenant les notations précédentes (u=v+w,p(u)=v,q(u)=wets(u)=v−w) on obtient p+q=idEdoncq=idE−pets=p−qdoncs=2p−idE.

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