an 09. p26. Amérique du nord. juin 2008.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par : f(x) = lnx − 1 lnx .
On nomme Cf la courbe représentative de f et Γ la courbe d’équation y = lnx dans un repère orthogonal (O ; i→ , j→ ).
1. Etudier les variations de f et préciser les limites en 1 et en +∞.
2. a. Déterminer limx→+∞ [f(x) – lnx]. Interpréter graphiquement cette limite.
2. b. Préciser les positions relatives de Cf et Γ.
3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe Cf passant par le point O.
a. Soit a un réel de ]1 ; +∞[.
Démontrer que la tangente Ta à Cf au point d’abscisse a passe par l’origine du repère si, et seulement si, f(a) – a f’(a) = 0.
Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par g(x) = f(x) – x f’(x).
b. Montrer que sur ]1 ; +∞[, les équations g(x) = 0 et (lnx)3 – (lnx)² − lnx – 1 = 0 ont les mêmes solutions.
c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur IR par u(t) = t3 – t² − t – 1, montrer que la fonction u s’annule une fois et une seule sur IR. pour un réel α dont on donnera une valeur approchée à 10−2 près par excès.
d. En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe Cf passant par le point O.
La courbe Cf et la courbe Γ sont données ci−après.
Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.
4. On considère un réel m et l’équation f(x) = mx d’inconnue x.
Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]1 ; 10].
y = lnx
C
f2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2
-1
-2
0 1
1
x y
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞∞∞∞[ par : f(x) = lnx − 1 lnx .
On nomme CCCCf la courbe représentative de f et ΓΓΓΓ la courbe d’équation y = lnx dans un repère orthogonal (O ; i→→→→ , j→→→→ ).
1. Etudier les variations de f et préciser les limites en 1 et en +∞∞∞∞.
variations : f est dérivable sur ]1 ; +∞[ et f’(x) = 1
x − -(lnx)' (lnx)² = 1
x + 1/x (lnx)² = 1
x + 1
x(lnx)² = (lnx)² + 1 x(lnx)²
Dans ]1 ; +∞[, x(lnx)² > 0 et (lnx)² + 1 > 0 donc f’(x) > 0 ce qui prouve que f est strictement croissante sur ]1 ; +∞[.
limite en 1 : quand x → 1+, lnx → 0+ donc − 1
lnx → −∞ et par addition limx→1 f(x) = −∞
limite en +∞ : quand x → +∞, lnx → +∞ donc − 1
lnx → 0 et par addition, limx→+∞ f(x) = +∞
2. a. Déterminer limx→→→+∞→ [f(x) – lnx]. Interpréter graphiquement cette limite.
x→+∞lim [f(x) – lnx] = limx→+∞ − 1
lnx = 0 (vu précédemment …)
On en déduit que quand x → +∞, Cf et Γ vont se rapprocher infiniment. Γ est asymptote à Cf . 2. b. Préciser les positions relatives de CCCCf et ΓΓΓΓ.
les positions relatives de Cf et Γ sont données par le signe de f(x) – lnx donc de − 1 lnx dans ]1 ; +∞[, lnx > 0 donc f(x) – lnx < 0 ce qui prouve que Γ est au dessus de Cf. 3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe Cf passant par le point O.
a. Soit a un réel de ]1 ; +∞∞∞∞[. Démontrer que la tangente Ta à CCCCf au point d’abscisse a passe par l’origine du repère si, et seulement si, f(a) – a f’(a) = 0.
Ta a pour équation y = f’(a)(x – a) + f(a)
Ta passe par O ⇔ 0 = f’(a)(0 – a) + f(a) ⇔ f(a) – a f’(a) = 0
Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞∞∞∞[ par g(x) = f(x) – x f’(x).
g(x) = f(x) – x f’(x) = lnx − 1
lnx − x × (lnx)² + 1
x(lnx)² = lnx − 1
lnx − (lnx)² + 1
(lnx)² = (lnx)3 - lnx - (lnx)² - 1
(lnx)² = (lnx)3 - (lnx)² - lnx - 1
(lnx)²
b. Montrer que sur ]1 ; +∞∞∞∞[, les équations g(x) = 0 et (lnx)3 – (lnx)² − lnx – 1 = 0 ont les mêmes solutions.
g(x) = 0 ⇔ (lnx)3 - (lnx)² - lnx - 1
(lnx)² = 0 ⇔ (lnx)3 – (lnx)² − lnx – 1 = 0 donc g(x) = 0 et (lnx)3 – (lnx)² − lnx – 1 = 0 ont les mêmes solutions.
c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur IR par u(t) = t3 – t² − t – 1, montrer que la fonction u s’annule une fois et une seule sur IR pour un réel αααα dont on donnera une valeur approchée à 10−2 près par excès.
variations de u : u est dérivable sur IR et u’(t) = 3t² − 2t – 1
u’(t) a le signe du trinôme 3t² − 2t – 1 dont les racines sont 1 (évidente) et −1/3.
en –∞ et +∞, u(t) se comporte comme t3 donc lim
x→-∞ u(t) = −∞ et limx→+∞ u(t) = +∞
sur ]−∞ ; 1], u(t) < 0 donc u(t) ne s’annule pas.
sur ]1 ; +∞[, u est continue (car dérivable), strictement croissante et prend des valeurs de −2 à +∞
donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel α de ]1 ; +∞[ tel que u(α) = 0.
Recherche d’une valeur approchée de α :
par balayage avec la calculatrice on obtient u(1,83) < 0 et u(1,84) > 0 donc à 10−2 près par excès α ≈ 1,84 d. En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe CCCCf passant par le point O.
D’après 3. a. la tangente Ta au point d’abscisse a passe par O ⇔ f(a) – a f’(a) = 0 or : f(a) – a f’(a) = 0 ⇔ g(a) = 0 ⇔ (lna)3 – (lna)² − lna – 1 = 0 ⇔ u(lna) = 0 et u(lna) = 0 a pour seule solution α
et lna = α a pour seule solution a = eα
donc seule la tangente à Cf au point d’abscisse a = eα passe par O.
avec α ≈ 1,84 : a ≈ 6,30 et f(a) ≈ 1,30 ce qui permet de placer le point A(a ; f(a)) de tangence.
La courbe CCCCf et la courbe ΓΓΓΓ sont données ci−après.
Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.
4. On considère un réel m et l’équation f(x) = mx d’inconnue x.
Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]1 ; 10].
Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d’intersection de Cf avec la droite D d’équation y = mx Ta est une de ces droites …
La tangente Ta obtenue précédemment a pour équation y = f’(a) x c'est à dire y = 0,21x quand m > 0,21 : il n’y a pas de solution.
quand m = 0,21 : D est la tangente Ta, il y a une seule solution : a.
quand 0,187 ≤ m < 0,21 : il y a deux solutions dans ]1 ; 10[
(0,187 est le coefficient directeur de la droite passant par O et le point de Cf d’abscisse 10) quand 0 < m < 0,187 : il y a deux solutions dont une dans ]1 ; 10].
quand m ≤ 0 : il y a une solution dans ]1 ; 10]
y = lnx
y = 0,187x y = 0,21x y = 0,4x
y = 0,1x
y = -0,15x
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2
-1
-2
0 1
1
x y
A
