Exo de Bac, Fonction Ln

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Terminale STG Fonctions Exercices de Bac

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EXERCICE

Soit f la fonction définie par ^{f x( )=x2}

(

^{2 ln( ) 1x −}

)

sur l’intervalle I = [0.5 ; 3.5], de courbe représentative C.

1. Calculer la dérivée de f et vérifier que f ’(x) est du même signe que ln(x) sur l’intervalle I.

2. Déterminer le signe de f ’(x) et en déduire le tableau de variation de f.

3. Donner l’équation de la tangente (D) à la courbe C au point d’abscisse 1.

4. Donner l’équation de la tangente (D’) à la courbe C au point d’abscisse e.

5. Dresser le tableau de valeurs de f (arrondies au dixième) sur I en partant de l’abscisse 0.5 et avec un pas de 0.5.

6. Représenter dans un repère les droites (D), (D’) et la courbe C.

Exercice Corrigé

Soit f la fonction définie par ^{f x( )=x2}

(

^{2 ln( ) 1x −}

)

sur l’intervalle I = [0.5; 4], de courbe représentative C.

1. Calculons la dérivée de f.

• On utilise la formule

(

^{u v×}

)

^{' '=u v v u+ ' avec}

( )

2 ' 2

' 2 2 ln 1

u x

u x

v

v x

x

= =

=

= − .

On obtient ^{f x'( ) 2 2 ln= x}

( ( )

^{x − + × =1}

)

^{x2 2}_x ^{4 lnx}

( )

^{x −2x+2x=4 lnx}

( )

^{x .}

• Comme sur I, 4x est positif, f ‘(x) est bien du signe de ln(x).

2. Déterminons le signe de f ’(x).

• f x'( ) 0> ⇔ln( ) 0x > ⇔ln( ) ln(1)x > ⇔ >x 1.

• On en déduit que f est croissante sur [1 ;4] et décroissante sur [0.5 ;1].

Voici le tableau de variations de f :

3. L’équation de la tangente (D) à la courbe C au point d’abscisse a est donnée par

( )

: ( ) '( )

T y= f a +f a x a− donc au point d’abscisse 1, (D) : ^{y= f(1)+ f'(1)}

(

^x−1

)

. Or f(1) = -1 et f x^'( ) 4 1 ln 1= × ×

( )

=0 donc (D) : y= −1.

4. De même au point d’abscisse e : f(e) = e² et ^{f x'( ) 4= × ×e ln}

( )

^{e =4e}donc (D’) : ^{y e= 2+4e x e}

(

^{− =}

)

^4ex−3e2. 5. Dresser le tableau de valeurs de f sur I en partant de l’abscisse 0.5 et avec un pas de 0.5.

x 0.5 1 3.5 f(x)

(0.5) 0.6

f ≈ − f(3.5) 18.4≈

-1

x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 f (x) -0.6 -1 -0.4 1.5 5.2 10.8 18.4

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6. Représentation graphique ci-contre.

2 3 4

-1 -2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-1 -2 -3

0 1

1

x y