Analyse combinatoire
Résumé à maîtriser :
Analyse combinatoire sans répétition :
Tous les éléments sont différents (discernables) Un élément ne peut être pris qu’une seule fois
Choix et ordre arrangements
)!
(
! p n
A
np nOrdre permutations
P
nn!Choix combinaisons
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(
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C
np nAnalyse combinatoire avec répétitions :
Tout objet peut être pris plusieurs fois
Choix et ordre arrangements
A
np npOrdre permutations
!...
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2 1 n n
P
n nChoix combinaisons
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2 )(
1 (
p
n p
n p
C
np n Exercices récapitulatifs :
1) Une personne veut acheter une nouvelle voiture. Elle constate qu’elle a le choix entre 8 modèles, mais que chaque modèle existe en 15 couleurs différentes et présente 3 versions différentes, chacune avec ou sans transmission automatique. De combien de manières peut-elle effectuer sa commande ?
2) Un comité de 3 membres doit être formé, comprenant un représentant de chacune des catégories direction, personnel et consommateurs. S’il y a 3 représentants possibles parmi le personnel, 2 parmi les membres de la direction et 4 parmi les consommateurs, évaluer le nombre de comités différents qui peuvent être formés ?
3) A chaque voyage un représentant de commerce visite 6 villes des 9 villes de sa région. De combien de manières peut-il prévoir son itinéraire ?
4) Un directeur d’entreprise se propose d’embaucher 7 ouvriers qui devront remplir des tâches identiques ; 14 candidats postulent.
a) De combien de manières, l’industriel peut-il opérer son choix ? b) Idem mais un certain candidat sera d’office embauché
c) Idem mais un candidat est exclu par manque d’expérience
5) Dans une cour, il y a 8 emplacements prévus pour garer 8 voitures. Cinq locataires, possédant chacun une voiture, se proposent d’utiliser ces parkings en modifiant chaque jour la disposition des voitures. On demande combien de jours seront nécessaires pour que toutes les dispositions possibles aient été adoptées.
6) Combien de tiercés gagnants dans l’ordre peut-on imaginer avec 14 chevaux au départ ?
7) Une délégation de 5 syndicalistes doit être choisie pour représenter l’usine à un congrès. Treize membres étant éligibles, de combien de manières peut-on former la délégation sachant que :
a) deux membres se refusent à participer au congrès b) deux membres exigent d’être ensemble s’ils sont élus ?
8) Cinq tennismen et quatre tenniswomen participent à un tournoi. Déterminer le nombre de matches distincts que l’on peut organiser
a) en simples messieurs b) en simples dames c) en doubles messieurs d) en doubles dames e) en doubles mixtes
9) Une maîtresse de maison possède 11 amis.
a) De combien de manières peut-elle inviter 5 d’entre eux à dîner ? b) Combien de possibilités a-t-elle si deux d’entre eux sont mariés et ne
peuvent venir qu’ensemble ?
c) Combien de choix a-t-elle si deux d’entre eux sont en mauvais termes et ne peuvent pas être invités ensemble ?
10) Dans un petit local du centre PMS, de combien de façons différentes peuvent s’asseoir 3 personnes s’il y a 10 places numérotées ?
11) Combien y a t-il de nombres de 4 chiffres différents ne commençant pas par 0 ?
12) Combien de mots différents peut-on écrire avec les lettres du mot « cahier » et du mot « ordinateur »
13) Combien de résultats différents peuvent se présenter pour le tiercé d’une course de 10 participants ?
14) Dans un local, il y a 10 personnes assises en cercle. Déterminer combien de conversations à deux peuvent s’établir si aucune personne ne parle avec ses deux voisins ?
15) Dans une réserve de magasin, se trouvent 36 postes TV et on doit former un échantillon de 10 postes. Déterminer de combien de manières différentes, on peut former cet échantillon si
a) aucun échantillon ne peut contenir un poste bien précis b) chaque échantillon doit contenir un poste bien précis
16) De combien de manières peuvent se placer 7 personnes autour d’une table ronde si
a) les places sont numérotées
b) les places ne sont pas numérotées
17) Dans une bibliothèque, on veut choisir 3 livres parmi un ensemble de 8 livres dont 2 seulement ont une couverture de la même couleur. Combien de choix a-t-on si on désire emprunter 3 livres de couleurs différentes ?
18) De combien de manières un ensemble de 5 livres de math et 3 livres d’anglais peuvent –ils être rangés sur une planche pour que les ouvrages consacrés à la même matière soient les uns à côté des autres ?
Idem mais seuls les livres de math doivent rester groupés.
19) On aligne sur une même rangée 5 billes rouges identiques, 2 billes blanches identiques, 3 billes bleues identiques. S’il est impossible de distinguer les billes de même couleur, combien de groupements de 10 billes peut-on former ?
l’alphabet. De combien de façons peut-on tenter un essai pour ouvrir ce coffre ?
21) De combien de manières un comité de 5 personnes peut-il être formé si on choisit parmi 7 ouvriers et 8 cadres et si au moins 3 personnes du comité doivent être des ouvriers ?
22) Combien y a-t-il de mots de 7 lettres commençant par A et se terminant par E ?
23) De combien de manières peut-on former un groupe de 4 garçons et 5 filles si on choisit parmi 7 garçons et 6 filles ?
24) De combien de manières différentes peuvent s’asseoir 5 personnes dans une voiture si seulement 3 d’entre elles ont leur permis de conduire ?
25) Un joueur de scrabble a 7 lettres différentes dans sa main. Il décide de vérifier tous les mots possibles de 4 lettres qu’il pourrait former. S’il met 5 secondes à former chaque mot, combien de minutes lui faudra-t-il ?
26) La carte d’un restaurant comprend 4 potages, 3 plats et 2 desserts. Combien de menus différents peut-on imaginer ?
27) Calculer le nombre de possibilités de voir 6 enfants installés sur un toboggan sachant que 3 d’entre eux sont capables d’occuper la place du conducteur.
28) Deux sœurs jumelles de même taille disposent au total de 5 jupes et 4 chemisiers. Sous combien d’aspects différents peuvent-elles paraître simultanément en public ?
29) De combien de manières peut-on colorier une carte représentant 3 pays avec des couleurs différentes (une par pays), choisies parmi 7 tons différentes ? 30) Une personne désire offrir un livre à chacun de ses trois amis. Sachant qu’elle
dispose de 5 ouvrages différents, de combien de manières peut-elle procéder ?
31) Déterminer le nombre de lots de 4 chaussures prélevées parmi 4 paires complètes de manière à contenir une seule paire complète. Même question si le lot prélevé doit contenir au moins une paire complète.
32) Sachant qu’il y a 18 équipes de football en première division, calculer le nombre de matches que l’on dispute chaque année.
33) A l’aide de 3 mannequins différents, 3 robes et 3 chapeaux :
a) combien d’étalages différents peut-on imaginer sans tenir compte de la place des mannequins
b) idem si on a 5 robes et 4 chapeaux
a) De combien de manières peut-on former une équipe de 5 joueurs b) Idem si un joueur doit faire partie de l’équipe
c) Idem si un joueur ne peut pas faire partie de l’équipe
d) En utilisant tous les hommes, combien de matches d’entraînement différents peut-on réaliser ?
35) Un professeur d’éducation physique doit partager sa classe de 22 élèves en 2 équipes de football opposées l’une à l’autre.
a) Combien de matches différents pourra-t-il organiser ?
b) Un autre jour, un élève est absent mais le professeur décide de faire jouer 11 élèves contre 10. Combien de matches cette fois ?
36) Parmi les chiffres allant de 1 à 9, on en choisit 5 (tous différents), parmi lesquels deux sont pairs. Combien de nombres peut-on ainsi former ? 37) A l’aide des 6 chiffres suivants : 2,3,5,6,7 et 9, combien peut-on former de
nombres différents comportant 3 chiffres distincts, et multiples de 5 ? 38) Combien y a-t-il de nombres de 3 chiffres
a) distincts
b) distincts et rangés par valeurs décroissantes c) distincts et rangés par valeurs croissantes
rem : les chiffres sont lus de gauche à droite
39) Neuf personnes effectuent une promenade en utilisant deux charrettes, l’une de 5 places et l’autre de 4 places.
a) De combien de façons peuvent-elles se répartir dans les deux charrettes ?
b) Idem mais on veut que 2 femmes (et seulement 2) prennent place dans la plus petite voiture sachant qu’il y a 4 femmes parmi les 9 personnes c) Idem mais on veut que Aline et Pierre soient dans la même voiture.
40) De combien de manières un professeur peut-il choisir 1 ou plusieurs élèves parmi 6 étudiants.
41) Dans une école, existent les cours à option suivants :
5 cours de langues, un cours d’actualité, un cours de dessin, un cours de musique et un cours d’informatique. Un étudiant doit choisir 5 de ces cours.
a) De combien de manières peut-il organiser son horaire ? b) Idem mais il est obligé de prendre deux cours de langues.
42) Deux amis se trouvent dans la file d’un restaurant self-service. Sachant que la file comporte n personnes, exprimez
a) combien de cas possibles on peut dénombrer
b) Idem mais les deux amis sont séparés par un groupe de r personnes exactement
combien de manières peut-on choisir 5 personnes parmi les 20 si a) chacune des 5 lit au moins une revue
b) 3 d’entre elles lisent la revue A, 2 la revue B et chacune d’elles ne lisant qu’une seule revue
c) 3 d’entre elles lisent au moins la revue A
44) Au loto, on tire 7 numéros parmi les nombres allant de 1 à 42. Combien y a-t- il de tirages possibles ?
45) Un homme a le temps de jouer à la roulette 5 fois tout au plus. A chaque partie, il gagne ou il perd 1 euro. Il commence à jouer avec 1 euro et arrête avant la 5ème partie s’il perd son argent ou s’il gagne 3 euros (et possède donc à ce moment 4 euros). Déterminer le nombre de cheminements différents que le jeu peut prendre jusqu’à son terme.
46) Deux tennismen ont décidé de jouer un match selon la règle suivante : gagnera la partie celui qui gagnera 2 sets de suite ou un total de 3 sets.
Combien de cas de figures peut-on compter ? 47) Une classe comporte 12 élèves.
a) De combien de manières ces 12 élèves peuvent-ils subir 3
questionnaires différents sachant que 4 élèves ont reçu un même questionnaire.
b) De combien de manières peut-on répartir ces 12 élèves en 3 groupes contenant chacun 4 élèves ?
48) Il y a 1000 habitants dans un village. Montrer que deux au moins ont les mêmes initiales (une pour le nom et une pour le prénom)
49) De combien de manières peut-on offrir 7 jouets à 3 enfants si le plus jeune reçoit un jouet de plus que les deux autres.
50) Un bus qui dessert 12 stations transporte au départ 9 voyageurs. Sachant qu’aucun voyageur n’est monté en cours de route, on demande
a) de combien de façons les 9 voyageurs ont pu descendre du bus ? b) Même question s’il en est descendu au plus un par arrêt ?
Solutions des exercices :
C C C C C C
C C C C C
C
C C C
C C C
C C
C C C
A A
C C
C A
C C C
C C C C
c b
a
ou e
ou d
ou c
b a
b a
c b
a
5 9 4 9 4 9 5 9 3 9 5
11
1 3 1
4 1 4 1 2 5
4 2 5
2 2 2 4 4
4
2 3 2 4 5
5
2 4 2 5
5 11 3 11 5
11 3 14 5 8
7 13 6
13 7
14 6 9
1 4 1 2 1 3
1 2 1 3 1 15 1 8
) )
) ) 9
2 2 . . )
2 3 3
3 . )
3 2 . )
) ) ) 8
) ) ) 7
) 6
) 5
) )
) ) 4
) 3
. ) 2
. . . ) 1
rép avec ou
P P P P
P P P P
ou P b P a
b a
P b P P a
A
C C
C C
C C
A A A
3 26 3
2 3 5 10
4 5 3 5
2 6 3
6 1
6 3 8
6 7
9 35 10
35 3 10
2 10 6
3 9 3 10
26 ) 20
/ ) 19
.
; 2 . . ) 18
2 )
17
) ) ) 16
) )
) 15
2 / ) 10 . 7 )(
14 ) 13
) ) ) 12
. 9 ) 11
) 10
2 : ) 3 . 4 . 4 . 5 )(
28 . 3 ) 27
2 . 3 . 4 ) 26
60 / ) 5 . )(
25 . 3 ) 24
. ) 23
) (
26 );
( ) 22
) 21
5 4 7 4
5 6 4 7
5 5 26 5
24 2 12 3 7
5 7 1 8 4 7 2 9 3 7
P P
rép avec rép
sans ou
A C C
A A
C C
C C C C C
2 / ) ) ) ) ) 34
1440 )
2 . 3 ).(
3 . 4 ).(
4 . 5 )(
36 ) 1 . 1 ).(
2 . 2 ).(
3 . 3 )(
) 33
17 . 18 )
32 )
2 4 2 . 2
4 . 6 . )8 ) 31
) 30
) 29
5 10 5
9 4 9 5 10 2 18
4 1 2 1 4 1 6 1 4 8 8
1 4 1 6 3
5 3 7
C C C C A
P C C C C C
C C A
A
d c b a b a b
ou a
C C
C C C C C
P C
C C
C C C C C
C P C
P P A A
P C C
C C C
c b
a
r n b n n a
b a
c b
ou a
a
n k
1 36 6 42
2 10 3 10 2
5 3 7 5
15
2 3
7 5 9 6
1 6
2 4 2 3 1 4 1 3 2
5 2 4 5
9 5 4
9 2 9 2 5
5 3 5 2 4
21 21 22
) 44
) )
) ) 43
) 1 (
2 ) ) 1 .(
) ) 42
) ) ) 41
) 40
30 )
60 )
126 )
) 39
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) 37
) 36
) 50
! 2
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! ) 7
49
1000
² 26 ) 48
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idem b a
C C
