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Vecteurs, droites et plans de l’espace : Corrigé
Exercice 1 : (13 points)
ABCDEFGH est un cube
1) a) Placer sur la figure précédente I le milieu de [AE] et J le milieu de [FG]
b) Placer le point K tel que 𝐶𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
3𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
2) Sans justifier, décrire la position relative : a) des droites (FG) et (DH)
(FG) et (DH) ne sont pas coplanaires (donc ni sécantes ni parallèles) b) des droites (DI) et (HE)
(DI) et (HE) sont sécantes
c) des plans (IJK) et (HDC) Les plans (IJK) et (HDC) sont sécants.
3) a) Justifier que les droites (KJ) et (BF) sont sécantes. On notera L leur point d’intersection.
(KJ) et (BF) sont sécantes car elles sont coplanaires, elles appartiennent à la face (BCF), et ne sont pas parallèles.
b) Déterminer l’intersection des plans (IJK) et (ABE). Justifier la réponse.
L’intersection de deux plans est une droite. On a I ∈ (IJK), et I ∈ [AE] donc I ∈ (ABE), donc I est dans l’intersection des deux plans, c’est l’un des points de la droite.
De même, L ∈ (KJ) donc L ∈ (IJK), et L ∈ (BF) donc L ∈ (ABE) donc L est aussi dans l’intersection, c’est un autre point de la droite.
L’intersection est donc la droite (IL) c) Construire cette intersection
d) Construire l’intersection des plans (IJK) et (EFG)
2 Soit M l’intersection de (IL) et de (EF), alors l’intersection de (IJK) et de (EFG) est la
droite (MJ)
Dans la suite du problème, on se place dans le repère (𝐴; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ )
4) a) Donner sans justifier les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G et H
𝐴(0; 0; 0) 𝐵(1; 0; 0) 𝐶(1; 1; 0) 𝐷(0; 1; 0) 𝐸(0; 0; 1) 𝐹(1; 0; 1) 𝐺(1; 1; 1) et 𝐻(0; 1; 1)
b) Déterminer, en justifiant, les coordonnées des points I, J et K 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ = 1
2𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ (car I milieu de [AE]) donc 𝐼 (0; 0;1
2) 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ (car J est milieu de [FG]) Donc 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ donc 𝐽 (1;1
2; 1) 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ donc 𝐾 (1; 1;1
3) 5) a) En déduire les coordonnées du vecteur 𝐼𝐽⃗⃗⃗
𝐼𝐽⃗⃗⃗ (
1−0 1 2−0 1−1 2
) donc 𝐼𝐽⃗⃗⃗ (
11 21 2
)
b) En déduire une représentation paramétrique de la droite (IJ) Par définition, (IJ) passe par le point 𝐼 (0; 0;1
2) et a pour vecteur directeur 𝐼𝐽⃗⃗⃗ (
11 21 2
) donc une
représentation paramétrique de (IJ) est : {
𝑥 = 𝑡 𝑦 = 1
2𝑡 𝑧 = 1
2𝑡 +1
2
avec 𝑡 ∈ ℝ c) Le point 𝑀(3; 2; 2) appartient-il à la droite (IJ) ? Justifier
On cherche donc à résoudre le système (donc à savoir s’il existe 𝑡 tel que) : {
3 = 𝑡 2 = 1
2𝑡 2 = 1
2𝑡 +1
2
La 1ère équation fournit une valeur pour 𝑡 Mais 1
2× 3 =3
2 ≠ 2 donc la 2ème équation n’est pas vérifiée avec cette valeur (la troisième oui), donc le système n’a pas de solution, donc le point M n’appartient pas à (IJ)
3
Exercice 2 : (8 points)
ABGHIJOP, BCFGJKNO et CDEFKLMN sont des cubes
1) a) Décomposer le vecteur 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dans la base (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐾𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) Décomposer le vecteur 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ dans la base (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗
c) Décomposer le vecteur 𝐻𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ dans la base (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝐻𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐻𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2) a) Ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ? Justifier par un calcul On a 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (21
1), 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ (−11
0) et 𝐻𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ (−131).
On cherche à savoir s’il existe deux réels 𝑥 et 𝑦 tels que 𝐻𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ , c’est-à-dire si : {
3 = 2𝑥 + 𝑦 1 = 𝑥 − 𝑦
−1 = 𝑥
La dernière équation nous fournit 𝑥 = −1, en remplaçant dans la deuxième équation on obtient 1 = −1 − 𝑦 donc 𝑦 = −2
Et la première équation : 2 × (−1) + (−2) = −2 − 2 = −4 ≠ 3 n’est pas vérifiée donc les vecteurs ne sont pas coplanaires.
b) En déduire s’ils forment une base de l’espace ou non.
Oui, trois vecteurs non coplanaires définissent une base de l’espace.
3) Représenter sur la figure précédente le vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Citer un vecteur qui lui est égal.
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗
4 4) a) Placer le point Q tel que 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗
b) En déduire les coordonnées de 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ dans la base (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3(𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝑂⃗⃗⃗⃗ ) = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ +1
3𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ donc 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ (
11 3 1 3
)
c) Montrer que les points A, Q et M sont alignés.
On a 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ (
11 3 1 3
) et 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (311) donc 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗
donc les vecteurs 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires, donc A, Q et M sont alignés.
Questions bonus : (+0,5 point)
Un solide est constitué d’un assemblage de petits cubes. On donne ci-dessous différentes vues de ce solide.
De combien de petits cubes est constitué ce solide ? De 7 cubes, sa représentation est :
