Corrigé de l’IC n

Corrigé de l’IC n

3 : limites de suites

C

1) Voir le cours !

2) (a) u_n= 3n, v_n= 1

n+ 1 (pour quev₀ soit définie), u_nv_n= 3n

n+ 1 = 3

1 +_n¹ −−−→

n→∞ 3.

(b) u_n=n², v_n=− 1

n+ 1, u_nv_n= −n²

n+ 1 = −n

1 +_n¹ −−−→

n→∞ −∞.

E

Exercice 1

• u_n=n⁴ ₁₇₈₉¹ −¹⁷_n + _n⁶4

, lim

n→∞n⁴ = +∞et lim

n→∞

1

1789 −¹⁷_n + _n⁶4

= 1

1789 donc lim

n→∞u_n= +∞.

• v_n= n² 1− ³_n+_n¹2

−n³√ n

1− ¹

n√ n

= 1−³_n+_n¹2

−n√ n

1− ¹

n√ n

−−−→

n→∞ 0.

• w_n= (n+ 1)−(n−1)

√n+ 1 +√

n−1 = 2

√n+ 1 +√

n−1 −−−→

n→∞ 0.

• −1 6(−1)ⁿ 61, donc − 1

n²+ 1 6x_n 6 1

n²+ 1. Les deux suites encadrantes convergent vers 0, donc d’après le théorème des gendarmes,(u_n) converge, et lim

n→∞u_n= 0.

• yn = −3ⁿ

1−

−2 3

n

. −1 < −²₃ < 1, donc

−2 3

n

−−−→n→∞ 0, et 3 > 1 donc 3ⁿ −−−→

n→∞ +∞.

Finalement lim

n→∞y_n=−∞. Exercice 2

Soit(un) la suite définie paru0= 3, et pour toutn∈N,un+1 = 1 4u²_n. 1) u₀ = 3∈[0; 3], donc la propriété est fondée.

Si06u_n63, alors

0 = 1

40² 6un+1 = 1

4u³_n6 1 43² 63

donc la propriété est héréditaire.

2) un+1−un= 1

4u²_n−un= 1

4un(un−4)60 carun<4, donc(un)est décroissante.

3) (u_n)est décroissante et minorée, donc elle converge.

Sa limite vérifie : l= 1

4l², soitl²−4l= 0, soit encorel = 0 ou l= 4. La deuxième limite est impossible, ne reste que la première possibilité : lim

n→∞u_n= 0.

Exercice 3 (∗)

Pour toutn∈N^∗, on pose : u_n= n

n²+ 1+ n

n²+ 2+ n

n²+ 3+· · ·+ n n²+n. 1) (a) un est la somme dentermes.

(b) Pour16k6n, n

n²+k = 1

n+_n^k −−−→

n→∞ 0.

Chaque terme de la somme tend vers 0, mais le nombre de termes tend vers +∞. On

“tombe” donc sur une forme indéterminée, qui ne permet pas de conclure.

2) (a) 16k 6nentraîne n²+ 16n²+k6n²+n, donc en inversant et en multipliant par n, on obtient bien : n

n²+n 6 n

n²+k 6 n n²+ 1.

(b) En sommant les inégalités précédentes pour k compris entre 1 et n, on obtient au milieuun, d’où :

n²

n²+n 6un6 n² n²+ 1 (c) n²

n²+n = 1

1 +¹_n −−−→

n→∞ 1, et de même n²

n²+ 1 = 1 1 +_n¹2

−−−→n→∞ 1.

Par le théorème des gendarmes, on déduit la convergence vers1de la suite(u_n).