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Cet a ti le est dig pa des l ves. Il peut o po te des ou lis et i pe fe tio s, auta t ue possi le sig al s pa os ele teu s da s les otes d' ditio .
Des Espions au téléphone Année 2018 – 2019
Elèves : Gaël Bouveron, Théo Pellarin, Julien Ribiollet, élèves de la classe de Terminale S2 Encadrés par : Mme Dauvier, Mme Castillon-Lemettais, Mme Pégeot
Établissements : Lycée Charles Baudelaire (Cran-Gevrier) en collaboration avec le collège Ernest Perrier de la Bathie (Ugine)
Chercheuse : Ariadna Fossas-Tenas, de l'Université de Genève (Suisse) I/ Le problème
1) L’ o du p o l e Soit un nombre �d’espio s.
Chaque espion, en mission dans un endroit différent, doit récupérer une information secrète.
U e a tio o u e se a alo s e gag e pa tous les age ts se ets, u e fois u’ils au o t tous récupéré les informations de tous leurs collègues. Pour communiquer leurs informations, les agents o t la possi ilit d’appele pa t l pho e UN “EUL age t à la fois, et durant cette communication, les deux correspondants se partageront toutes les informations dont ils disposent.
L’o je tif est do de savoi o ie d’appels au i i u so t essai es pou ue tous les espions puissent détenir toutes les informatio s. Cepe da t o e le sujet p ise u’il a espio s ous devo s d te i e u e fo ule g ale pe etta t d’e p i e le o e d’appels
i i u e fo tio du o e d’espio s.
A ote u’u espio peut appele u aut e espio plusieu s fois.
2) Conjecture et résultats obtenus
Nous avo s d’a o d o je tu puis d o t u’il suffit de � − appels pour que toutes les i fo atio s soie t t a s ises, ais ous e pouvo s pas affi e u’il s’agit du o e i i u . Dans la suite de cet article, nous allons expliquer ce qui nous a amené à affirmer ces résultats.
II/ Résultats expérimentaux
O appelle i i R sultats e p i e tau le o e d’appels i i u ue ous avo s ussi à obtenir grâce aux méthodes présentées ci-après.
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1) Schématisation du problème
Il est possible de représenter géométriquement le problème : on place dans un plan n points (nommés A, B, C, ...) correspondants aux n espions et on représente chaque appel par des segments reliant les deux espions concernés.
On numérote ha ue seg e t pou i di ue l’o d e des appels et o d e ta t i po ta t a u age t e d tie d a pas les es i fo atio s s’il a appel e tai s de es oll gues e p e ie ou non).
Afin de
représenter les informations détenues par chaque espion, nous avons créé des tableaux les p se ta t à ha ue tape. Les i fo atio s po te t les es o s ue l’espio , o e suit :
Informations détenues par l’espio A
Informations détenues pa l’espio B
Informations détenues pa l’espio C
Etat initial A B C
Appel n°1 AB AB C
Appel n°2 ABC AB ABC
Appel n°3 ABC ABC ABC
Informations détenues par chaque espion (� = d’ap s le od le i-dessus
2) Résultats
No e d’espio s 2 3 4 5 6 7 8 9
No e d’appels
trouvés 1 3 4 6 8 10 12 14
1
2 3
Représentation géométrique des appels pour n=3 A B
C
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No e d’appels t ouv s e p i e tale e t(1)
Nous e pouvo s pas affi e ue es valeu s so t les o es i i u s d’appels he h s pou
� a es valeu s este t e p i e tales et ous ’avo s pas pu essa e toutes les o figu atio s uels appels et da s uel o d e , d’auta t plus u’à esu e ue aug e te, le nombre de configurations augmente considérablement(2).
Cependant, nous pouvons dire que les valeurs pour � = et � = so t les o es d’appels minimums pour que toutes les informations soient communiquées :
- pour � = : le seul contact possible est entre les deux espions, et une fois ces contacts effectués, ils détiennent tous deux toutes les informations
- pour � = : u o ta t e suffit pas a u espio ’au ait alo s o u i u ave pe so e et deu o ta ts e suffise t pas o plus, o e l’i di ue le dessi suiva t
Nous so es do sû s u’il est essai e de passe au i i u appel si ous avo s espio s et 3 appels si nous avons 3 espions(3).
III/ Démarche de recherche du nombre minimum
Dans cette partie, nous cherchons à vérifier mathématiquement si les valeurs trouvées e p i e tale e t o espo de t au o es d’appels i i u s.
1) No e d’appels essai es
Nous allo s da s ette pa tie d te i e u o e i i u d’appels nécessaires pour
’i po te uel o e d’espio s do , ais e o e d’appels peut e pas t e suffisa t pou pe ett e au espio s d’avoi toutes les i fo atio s.
Nous savons que les espions peuvent obtenir des informations uniquement en contactant un autre espion. Par conséquent, il est nécessaire que tous les espions communiquent au moins une fois.
Cela i pli ue u’il faut � − o ta ts, puis u’ai si, ha u a appel au oi s u e personne.
1
2
L’espio B e o aît pas l’i fo atio C
A B
C
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2) Graphes complets
De manière évidente, si tous les espions contactent tous les autres, alors chacun détiendra toutes les informations. Cela revient à ce que chaque espion ne communique que sa propre information, et pas celle des autres.
Géométriquement, cela revient à déno e le o e de seg e ts diff e ts ue l’o peut t a e dans un polygone à n sommets distincts.
Conjecture : Soit � la suite qui dénombre le nombre de segments différents dans un polygone à n sommets, avec � .
On conjecture que : � =� �−
D o st atio : O s’i t esse i i au o e de diago ales � avec � .
On cherche à prouver que le nombre de diagonales vaut : �=� �− . Pour cela, nous allons utiliser une démonstration par récurrence(4).
Initialisation ; pour � = : = × =
On peut tracer 2 diagonales dans un polygone à 4 sommets :
Hérédité : Soit un entier � .
O ad et u’u pol go e à � sommets a exactement � �− diagonales.
O he he à o t e u’u pol go e à � + sommets a exactement �+ =� �+ �+ − diagonales.
Un polygone à � + so ets a u so et de plus u’u pol go e à � sommets. On peut donc le voir comme un polygone à � côtés accolé à un triangle.
Il a par conséquent � �− diago ales au uelles o ajoute toutes elles u’o peut t a e à pa ti de ce sommet supplémentaire. Il y a � − telles diagonales (on relie le sommet supplémentaire à tous les sommets sauf aux deux qui lui sont adjacents et à lui-même, car ce sont alors des côtés du polygone). Il faut ajouter le segment servant de côté commun au polygone à n sommets et au triangle.
Il y a donc au total : � �− + � − + Or, � �− + � − + =� �− + �− +
=�²−�− = �+ �−
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : La p op i t est v aie au a g et est h ditai e, do , d’ap s le p i ipe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier � .
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Retour à � : � est gal au o e de diago ales ajout au o e de ôt s d’u pol go e à � sommets (soit � côtés).
Donc : �=� �− + � =�²− �+ �=� �−
Pour conclure, il est possible que tous les espions obtiennent toutes les informations en
� �− appels, si ha ue espio appelle tous les aut es ave ui il ’a pas e o e eu de contact).
3) Conjecture
La suite � est certes une solution qui fonctionne mais elle ne désigne pas le nombre minimal d’appels pou � espions. Par exemple, pour � = : = alors que nous avons trouvé une solution en 4 appels.
En observant le tableau présentant les résultats, nous pouvons observer que, pour tout � , il suffi ait d’ajoute deu appels lo s u’o ajoute espio pou ue toutes les i fo atio s soie t transmises.
O peut do o je tu e ue le o e i i u d’appels, ue l’o va ote �� par la suite, est égal à : ��= � − pour tout � .(5)
4) Démonstration de la conjecture
Nous utilisons une nouvelle fois une démonstration par récurrence pour montrer que la propriété
�� = � − est vraie pour tout � .
Initialisation : On souhaite montrer que �₄ est le i i u d’appels pou � = . Pour cela, nous allo s o t e u’il est i possi le ue les espio s poss de t toutes les i fo atio s e faisa t , 2 ou 3 appels, alors que 4 appels sont suffisants.
Afi de si plifie la d o st atio , ous o t e o s si ple e t à l’aide de s h as ue os affirmations sont correctes. De plus, nous ne considérerons pas la possibilité de faire deux fois le
e appel d’affil .(6)
● Avec 1 appel : On voit que seuls les espions B et C peuvent communiquer entre eux, et donc les espions A et D ne peuvent pas avoir toutes les informations.
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● Ave appels : O voit u e fois de plus u’u espio e peut pas communiquer avec les autres.
● Avec 3 appels : Nous avons 4 configurations possibles permettant de relier les 4 espions e t e eu il e e iste d’aut es ais ui laisse t au oi s u espio de ôt :
Cependant, on se rend compte que les trois premières figures sont équivalentes : en inversant les espions C et D de la première figure, on retrouve la deuxième, de même en inversant les espions A et B de la troisième figure on obtient la deuxième figure (tournée à 90° vers la gauche) :
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Puis ue le o des espio s ’est pas i po ta t et ue seul la o figu atio et l’o d e des appels est i po ta t, il ous suffit d’ tudie la figu e .
Nous allo s do ette fois teste tous les o d es d’appels possibles avec cette configuration, puis ave la deu i e o figu atio . Pou p ouve ue le o e d’appels ’est pas suffisa t, ous allo s o t e u’u espio ’a pas toutes les i fo atio s à la fi des appels.
Première configuration : 1. Premier ordre
Espion A Espion B Espion C Espion D
Appel 1 AB AB C D
Appel 2 ABD AB C ABD
Appel 3 ABD AB ABCD ABCD
2. Deuxième ordre
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Espion A Espion B Espion C Espion D
Appel 1 AB AB C D
Appel 2 AB AB CD CD
Appel 3 ABCD AB CD ABCD
3. Troisième ordre
Espion A Espion B Espion C Espion D
Appel 1 AD B C AD
Appel 2 AD B ACD ACD
Appel 3 ABD ABD ACD ACD
Nous avons donc essayé 3 ordres différents, mais il en e iste d’aut e ue ous ’avo s pas tudi s dans cette partie car ils sont identiques à ceux présentés ci-dessus, par symétrie.(7)
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Deuxième configuration :
Cette o figu atio i e pe et u’u seul o d e d’appel possi le a il suffit de permuter différents espions pour revenir à celle-ci :
Espion A Espion B Espion C Espion D
Appel 1 AB AB C D
Appel 2 ABC AB ABC D
Appel 3 ABCD AB ABC ABCD
Ai si, les t ois o d es de la p e i e o figu atio ai si ue l’u i ue ordre de la deuxième o figu atio ue ous avo s essa e pe ette t pas au espio s d’o te i toutes les informations. 3 appels ne sont donc pas suffisants, et comme nous avons déjà trouvé expérimentalement que 4 appels suffisent, on en déduit que le no e i i u d’appels nécessaires pour 4 espions est de 4 appels.
Nous avons bien � = do l’i itialisatio est v ifi e.
Hérédité : Soit un entier � .
On admet que la propriété est vraie au rang �, ’est à di e ��= � − . On cherche à montrer que la propriété est vraie au rang � + , ’est à di e ��+ = � + − = � − + = ��+ . Lo s u’o ajoute u espio , il suffit d’ajoute u o ta t e t e e ouvel espio et la haî e fo e à � espions, puis former la chaîne à � espions, puis refaire le premier contact.
De cette façon, le nouvel espion transmet son information, puis toutes les informations sont transmises comme précédemment (car le modèle avec n espions permet la transmission de toutes les information). Puis le dernier contact permet au nouvel espion de récupérer toutes les i fo atio s u’il ’avait pas e o e.
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Exemple pour � = espions.
On reconnaît la configuration pour n=4 ad ise da s l’i itialisatio à gau he .
Conclusion : La propriété ��= � − est vraie au rang � = et elle est héréditai e. D’ap s le principe de récurrence, cette propriété est vraie pour tout � .
Nous pouvons donc affirmer que ��est u o e suffisa t d’appels.
Nous conjecturons que �� est gale e t essai e. Cepe da t, ous ’avo s pas ussi à le démontrer.(8)
IV/ Algorithme
Si la suite définie par ��= � − semble donner une réponse satisfaisante au problème, elle e pe et toutefois pas d’ t e e tai ue la valeu o te ue pou espio s o espo d au st i t i i u d’appels. Le plus juste se ait de di e ue ette suite pe et d’o te i , pou espio s, u o e d’appels fai le, p o he du o e i i al d’appels.
De même, en ajoutant des espions et en utilisant le même procédé on peut créer une figure permettant la transmission de toutes les informations en
� − appels.
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N a oi s, il faut e o aît e à ette suite u’elle siste ie à tous les tests e p i e tau au uels ous l’avo s sou ise : ous ’avo s toujou s pas t ouv de o t e-exemple p ouva t u’elle e do e pas le i i u d’appels.
Nous avons élaboré un programme en langage Python qui, justement, est chargé de trouver, s’il e e iste, un contre-e e ple à ette suite. “o o je tif est si ple : pou u o e d’espio s saisi pa l’utilisateu , le p og a e att i ue u e i fo atio à ha ue espio et les fait s’appele au hasa d jus u’à ue tous les espio s aie t toutes les i fo atio s. Il o pte le o e d’appels effe tu s et l’e egist e da s u e va ia le. A ha ue si ulatio , le o e d’appels effe tu s est o pa à ette va ia le, et s’il est i f ieu , la va ia le est ise à jou ave la plus petite valeu . O esti e u’au out d’u o e t s i po ta t de si ulatio s, d fi i a it ai e e t pa l’utilisateu , le p og a e fi i a pa si ule la situatio opti ale d’appels et pa t ouve le o e i i al d’appels pou espio s.
Jus u’alo s, le p og a e se le o fi e les sultats obtenus avec la suite �� , et ce jus u’à espio s pou illia ds de si ulatio s effe tu es e jou s e vi o .
Vous trouverez ci-dessous le détail du programme avec les commentaires du codeur pour bien le comprendre.(9)
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V/ Conclusion et résultats
Nous avons ainsi prouvé que la suite �� pe et de al ule u o e d’appels suffisa ts pou ue tous les espio s poss de t toutes les i fo atio s, pou ’i po te uel o e d’espio s supérieur à 4.
Cependant nous ne pouvons pas affirmer que ces valeurs sont minimales car la suite se base sur une seule configuration (qui est possible uniquement à partir de 4 espions). On ne peut pas être e tai ue ette o figu atio est la plus opti is e pou u plus g a d o e d’espio s, d’auta t plus u’il ous est t s diffi ile de le v ifie . Malg tout, le p og a e d it p de e t a confirm toutes les valeu s de la suite, jus u’à = .
Théorème : �� = � − avec � est suffisant Conjecture : ��est nécessaire
Nous pouvo s fi ale e t d te i e u e ad e e t du o e i i u d’appels nécessaires pour que tous les espions aient toutes les informations.
Pour tout � :
� − o e i i u d'appels �� �
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Notes d’édition
(1) Ce ta leau p se ta t les sultats est sû e e t le f uit d’u e e he he o ga is e et
structurée. Il est fort probable que ce soit elle qui soit à la source des démonstrations qui ont été p opos es. Il peut t e i t essa t da s u e p e i e le tu e d’alle voir p 6 à 9 comment les différents cas ont été organisés.
(2) Question subsidiaire : qu'est ce que « considérablement » : doubler à chaque étape, multiplier par 10, ... ?
(3) Effectivement les rôles de A, B et C e d pe de t pas de e u’ils ep se te t : le nombre ne d pe d pas de l’o d e da s le uel o p e d les espio s.
(4) La récurrence est initialisée à � = mais on peut remarquer que si � = , = � − / = : ’est le ombre trouvé dans le II-2 et si � = , on a = � − / = et là e o e ’est le résultat trouvé précédemment. Lecteur, lectrice, saurez-vous adapter la démonstration en
raisonnant directement sur le nombre de segments joignant les sommets du polygone ?
(5) La conjecture « �� = � − » rejoint la remarque faite à la p 2. Les études de cas p 6 à 9 permettent de bien comprendre comment le cas � = a été utilisé pour construire le cas général.
(6) Comme pour le cas � = (page 3), il faudrait préciser que les rôles sont symétriques et le choix des espio s ’a pas d’i flue e. La si ilitude des statuts des diff e ts espio s se le d’ailleu s au cœur du aiso e e t o e ’est dit p . “u le as des 3 appels, est-ce que la présentation ga a tit ue tous les as o t ie t tudi s, u’elle a t e haustive ?
(7) La remarque est judicieuse. Elle justifie de nombreux développements mathématiques et en pa ti ulie l’alg isatio des p o l es. L’utilisatio des ep se tatio s g o t i ues est pe ti e te a elle pe et d’o ga ise et de voi u p o l e. Elle favo ise l’i tuitio , ais lo s ue l’o veut t e igou eu , l’i tuitio a alo s u e t op g osse e p ise da s les ep sentations g o t i ues. La od lisatio du p o l e à l’aide de l’alg e pe et d’ vite e tai es évidences. Ces deux modes de pensée sont décrits par Henri Poincaré, dans « La valeur de la science » avec les « analystes » et les « géomètres ». Question subsidiaire (pour ceux qui veulent aller plus loin) : quelle théorie mathématique permet de modéliser cette situation ?
(8) La question de la nécessité est intéressante. Car dans cette démonstration : la condition est minimale sur , puis u’e ajouta t seule e t deu liaiso s à ha ue ouvel espio , o pou ait pe se ue l’o e peut e ajoute oi s. Co e t opti ise e o e es ha ges : est-ce en trouvant une nouvelle démonstration ? En montrant que si on enlève une liaison alors il y a un manque ? …
(9) C’est do age ue le p og a e soit u e opie d’ a a il faut le essaisi pou pouvoi insérer des affichages et bien comprendre ce que contiennent les différentes variables.
