Correction de la série

www.etude-generale.com 2 BAC PC–SVT Matiére : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Correction de la série

Exercice 1 On considère la fonction f dé…nie par : 8<

:

f(x) = ^p1+x_x^{p1 x} f(0) = 1

1. Montrons que : lim

x !0f(x) = f(0):

xlim!0f(x) = lim

x !0

p1 +x p 1 x x

= lim

x !0

p1 +x p

1 x p

1 +x+p 1 x x p

1 +x+p 1 x

= lim

x !0

1 +x (1 x) x p

1 +x+p 1 x

= lim

x !0

2x x p

1 +x+p 1 x

= lim

x !0

p 2

1 +x+p

1 x = 1 = f(0):

2. Montrons que f est dérivable en x0 = 0:

xlim!0

f(x) f(0)

x 0 = lim

x !0

p1+x p 1 x

x 1

x

= lim

x !0

p1 +x p

1 x x

x²

= lim

x !0

p1 +x 1 p

1 x 1 x

x²

= lim

x !0

px+ 1 1 x²

p1 x 1 x²

1 x

= lim

x !0

1 x p

x+ 1 + 1 + 1 x p

1 x+ 1 1 x

= lim

x !0

1 x

p 1

x+ 1 + 1 + 1

p1 x+ 1 1

= lim

x !0

1 x

p 1

x+ 1 + 1

p1 x p1 x+ 1

= lim

x !0

1 x

p1 x+ 1 p

x+ 1 + 1 p 1 x px+ 1 + 1 p

1 x+ 1

!

= lim

x !0

1 x

p1 x+ 1 p

(x+ 1) (1 x) p 1 x px+ 1 + 1 p

1 x+ 1

!

= lim

x !0

1 x

1 p

(x+ 1) (1 x) px+ 1 + 1 p

1 x+ 1

!

= lim

x !0

1 x

0

@ 1 (x+ 1) (1 x)

px+ 1 + 1 p

1 x+ 1 1 +p

(x+ 1) (1 x) 1 A

= lim

x !0

1 x

0

@ 1 + (x+ 1) (x 1)

px+ 1 + 1 p

1 x+ 1 1 +p

(x+ 1) (1 x) 1 A

= lim

x !0

1 x

x² px+ 1 + 1 p

1 x+ 1 1 +p

(x+ 1) (1 x)

= = lim

x !0

x px+ 1 + 1 p

1 x+ 1 1 +p

(x+ 1) (1 x)

= 0 =f⁰(0)

La fonction f est dérivable en 0:

La courbe(C_f) admet une tangente horizontale en A(0;1) d’équation : y = 1:

Exercice 2 :

Soient a2R et f une fonction dérivable en a:

1.

xlim!a

a:f(x) x:f(a)

x a = lim

x !a

a:f(x) (x+a a)f(a) x a

= lim

x !a

a:f(x) xf(a) +af(a) af(a) x a

= lim

x !aa f(x) f(a)

x a f(a) x a

x a

= af⁰(a) f(a) 2. La valeur de la limite :

On considère la fonction f dé…nie sur R par : f : x 7 ! x²⁰¹⁹: La fonction f est dérivable sur R donc elle est dérivable sur a2R:

Soit x2R:

f⁰(x) = 2019x²⁰¹⁸ Donc

xlim!a

a:f(x) x:f(a)

x a = lim

x !a

a:x²⁰¹⁹ x:a²⁰¹⁹ x a

= 2019a a²⁰¹⁸ a²⁰¹⁹

= 2019a²⁰¹⁹ a²⁰¹⁹

= 2018a²⁰¹⁹ Exercice 3 .

1. Soit x2In fx₀g:

f(x) f(x0) x x0

g(x) g(x0) x x0

= f(x)

g(x) avec f(x₀) = g(x₀) = 0 Comme f et g sont dérivables en x₀ alors

xlim!x0

f(x) f(x₀)

x x₀ =f⁰(x₀) et lim

x !x0

g(x) g(x₀)

x x₀ =g⁰(x₀) puisque g⁰(x₀)6= 0 alors :

xlim!a

f(x)

g(x) = f⁰(x₀) g⁰(x₀) 2. Calculons : lim

x !1

x³cos(x 1) 1 x³ p

x :

On considère les fonctionsu et v dé…nies par :

u(x) =x³cos (x 1) 1 et v(x) = x³ p x u et v sont dérivables en 1 tels que: u(1) =v(1) = 0:

et

u⁰(x) = 3x²cos (x 1) x³sin (x 1) et v⁰(x) = 3x² 1 2p

x et v⁰(1) = 5 2 6= 0 Donc

xlim!1

x³cos (x 1) 1 x³ p

x = u⁰(1) v⁰(1) = 3

5 2

= 6 5: Calculons : lim

x ! 1

(2x+1)²⁰ 1 x¹⁰ 1 :

On considère les fonctionsu et v dé…nies par :

u(x) = (2x+ 1)²⁰ 1 et v(x) =x¹⁰ 1 u et v sont dérivables en 1 tels que: u( 1) =v( 1) = 0:

et

u⁰(x) = 40 (2x+ 1)¹⁹ et v⁰(x) = 10x⁹ et v⁰( 1) = 106= 0 Donc

xlim! 1

(2x+ 1)²⁰ 1

x¹⁰ 1 = u⁰( 1)

v⁰( 1) = 40 10 = 4:

Calculons : lim

x !₄

cos(^2x₃) ^{p3 sin}(^2x ₃)

cos(2x) :

On considère les fonctionsu et v dé…nies par : u(x) = cos 2x

3

p3 sin 2x

3 et v(x) = cos (2x) u et v sont dérivables en ₄ tels que : u ₄ =v ₄ = 0:

et

u⁰(x) = 2

3sin 2

3x 2p 3 sin

6 + 2x et v⁰(x) = 2 sin (2x) et v⁰

4 = 26= 0 Donc

xlim!₄

cos ^2x₃ p

3 sin 2x ₃

cos (2x) = u⁰ ₄ v⁰ ₄ =

10 3

2 = 5 3: Exercice 4 .

On considère la fonction f dé…nie par :

f(x) =x² 4x+ 5 1. La fonction f est dérivable sur R.

Soit x2R:

f⁰(x) = 2x 4

L’équation de la tangente (Ta) à (Cf) au point d’abscissea où a2R: y =f⁰(a) (x a) +f(a)

Comme f⁰(a) = 2a 4 et f(a) = a² 4a+ 5: Alors : (T_a) : y = a²+ 2xa 4x+ 5 2.

O (Ta) () 0 = a²+ 2 0 a 4 0 + 5 () 0 = a²+ 5

() a² = 5 () a=p

5 ou a= p 5 La tangente passe par l’origine pour les points d’absicsses p

5 et p 5.

3. Soit (T) la droite tangente à la courbe (C_f) en point d’abscisse où 2R: Alors : y =f⁰(x) (x ) +f( )

Si la tangente (T) passe par le point A(1; 1) alors : 1 = f⁰(1) (1 ) +f( )

() 1 = 2 (1 ) + ² 4 + 5 () 1 = 2 + 2 + ² 4 + 5

() 1 = ² 2 + 3

() ² 2 + 4 = 0

Calculons le discriminant de l’équation : ² 2 + 4 = 0:

= 4 4 1 4 = 12<0

Ceci signi…e que l’équation n’admet aucune solution dans R: Donc n’existe aucune tangente à (C_f) passe par le point A(1; 1):

Exercice 5 .

On considère la fonction f dé…nie par : f(x) = 3x²+ax+b

x²+ 1 ou (a; b)2R²

1. On a la tangente à la courbe (C_f) au point d’abscisse 0 d’équation y = 4x+ 3 ,ceci signi…e que :

f⁰(0) = 4 et f(0) = 3

D’autre part, la fonction f est dérivable sur R car c’est une fonction rationnelle et pour tout x de R:

f⁰(x) = 3x²+ax+b x²+ 1

0

= (3x²+ax+b)⁰(x²+ 1) (3x²+ax+b) (x²+ 1)⁰ (x²+ 1)²

= (6x+a) (x²+ 1) 2x(3x²+ax+b) (x²+ 1)²

= a+ 6x ax² 2bx (x²+ 1)² et comme

f⁰(0) = 4 =) a= 4 et

f(0) =b =) b= 3 On en déduit que:

a = 4 et b= 3 2. On prend dans cette question : a= 4 et b= 3:

a)

x lim! 1f(x) = lim

x ! 1

3x² + 4x+ 3

x²+ 1 = lim

x ! 1

3x² x² = 3

x lim!+1f(x) = lim

x !+1

3x² + 4x+ 3

x²+ 1 = lim

x !+1

3x² x² = 3 Et

(8x2R); f⁰(x) = 4x²+ 4 (x²+ 1)²

On a : (x²+ 1) 0 pour toutx2R, donc le signe de f⁰(x) est celui de 4x²+ 4 sur R:

b) Sur l’ensemble de dé…nition on a :

1 est une valeur minimale absolue de la fonction f en 1:

5 est une valeur maximale absolue de la fonction f en 1:

c) Soit x2R:

Étudions le signe de: f(x) (4x+ 3) : f(x) (4x+ 3) = 3x²+ 4x+ 3

x² + 1 (4x+ 3)

= (3x² + 4x+ 3) (4x+ 3) (x²+ 1) (x²+ 1)

= (3x² + 4x+ 3) 4x³ 4x 3x² 3 (x²+ 1)

= 4x³ (x²+ 1)

On a : (x²+ 1) 0 pour tout x 2 R, donc le signe de f(x) (4x+ 3) est celui de 4x³ sur R. Donc

8x2R⁺ ; f(x) (4x+ 3) 0 et 8x2R ; f(x) (4x+ 3) 0 Six2]0;+1[ alors f(x) (4x+ 3)<0. Ceci signi…e que(C_f)est au dessous

de la tangente (D):

Si x2] 1;0[alors f(x) (4x+ 3) 0. Ceci signi…e que (C_f) est au dessus de la tangente (D):

(C_f) et (D) se coupent en point d’abscisse 0:

Exercice 6 .

On considère la fonction f dé…nie par :

f(x) = x³ (x 1)² 1. a) La fonction f est dérivable sur Rnf1g:

Soit x2Rn f1g:

f⁰(x) = x³ (x 1)²

0

= 3x²(x 1)² x³ 2 (x 1) (x 1)⁴

= (x 1) [3x²(x 1) 2x³] (x 1)⁴

= 3x²(x 1) 2x³ (x 1)³

= x³ 3x² (x 1)³ Donc

(8x2Rn f1g); f⁰(x) = x³ 3x² (x 1)³

b) Soit (T) la droite tangente à la courbe (Cf) en point d’abscisse x son coe¢ cient directeur est : f⁰(x):

Si (T) et (D) sont parallèles alors :

f⁰(x) = 1 Soit x2Rn f1g

f⁰(x) = 1

() x³ 3x² (x 1)³ = 1 () x³ 3x² = (x 1)³ () x³ (x 1)³ = 3x²

() x² +x(x 1) + (x 1)² = 3x² () x²+x² x+x² 2x+ 1 3x² = 0 () 3x+ 1 = 0

() x= 1 3

Ceci signi…e qu’il existe une et une seule tangente parallèle à la droite (D): L’équation de la tangente (T) est :

y=f⁰ 1

3 x 1

3 +f 1 3 c’est-à-dire

(T) :y =x 1 4 2.

xlim!+1f(x) = lim

x !+1

x³

(x 1)² = lim

x !+1

x³

x² 2x+ 1 = lim

x !+1

x³

x² = lim

x !+1x= +1

xlim! 1f(x) = lim

x ! 1

x³

(x 1)² = lim

x ! 1

x³

x² 2x+ 1 = lim

x ! 1

x³

x² = lim

x ! 1x= 1

lim

x !1⁺f(x) = lim

x !1⁺

x³

(x 1)² = +1 et lim

x !1 f(x) = lim

x !1

x³

(x 1)² = +1

Soit x2Rn f1g:

f⁰(x) = x³ 3x² (x 1)³

x³ 3x² = 0 () x²(x 3) = 0 () x= 0 oux= 3:

(x 1)³ = 0 () x= 1:

Donc

3. ²⁷₄ est une valeur minimale relative de la fonction f en 3 sur l’intervalle]2;4[:

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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