Correction de la Série 4

Faculté Polydisciplinaire Safi

Département de Mathématiques-Informatique SMA-SMI (S₄)

Prof : M. Khiddi

Correction de la Série 4

Analyse Numérique(1)

Exercice 1

Appiquer la méthode de Jacobi au système

( x₁ −2x₂ =−1

3x₁+x₂ = 4 (1)

1. En partant de x⁰ = (0,0),remarquer que la méthode ne converge pas.

2. Refaire le même travail par la méthode de Gauss-Seidel et dire la quelle des deux méthodes diverge plus vite.

3. Reprendre ce système en permutant les deux équations. Que remarquer vous ? Solution 1/ La matrice du système est

A= 1 −2 3 1

!

Sa solution est (1,1).La mèthode de Jacobi appliquée au système donne

( x^m+1₁ =−1 + 2x^m₂

x^m+1₂ = 4−3x^m₁ (2)

En partant de x⁰₁ =x⁰₂ = 0, on obtient les résultats







m = 1, m= 2, ..., m= 9

x¹₁ =−1, x²₁ = 7, ..., x⁹₁ =−2591 x¹₂ = 4, x²₂ = 7, ..., x⁹₂ = 3889

(3) 2/La méthode de Gauss-Seidel appliquée au système donne

( x^m+1₁ =−1 + 2x^m₂

x^m+1₂ = 4−3x^m+1₁ (4)

En partant de x⁰₁ =x⁰₂ = 0, on obtient les résultats







m= 1, m = 2, ..., m= 9

x¹₁ =−1, x²₁ = 13, ..., x⁹₁ =−3359231 x¹₂ = 7, x²₂ =−35, ..., x⁹₂ = 10077697

(5) Les deux méthodes divergent et la méthode de Gauss-Seidel diverge plus vite que celle de Jacobi.

3/ Si on permute les deux équations, le système devient

( 3x+y = 4

x−2y=−1 (6)

La matrice du système est

A⁰ = 3 1 1 −2

!

la méthode de Jacobi donne

( x^m+1₁ = ¹₃(4−x^m₂ )

x^m+1₂ = ¹₂(1 +x^m₂ ) (7)

En partant de x⁰₁ =x⁰₂ = 0, on obtient les résultats







m = 0, m= 1, m= 10

x^m₁ = 0, x²₁ = 1,33333, x¹⁰₁ = 1,00013 x¹₂ = 0, x²₂ = 0.5, x¹⁰₂ = 1,00013

(8) La suite des valeurs itérées semble converger vers la solution du système x₁ = 1 et x₂ = 1. La méthode de Gauss-Seidel appliquée au système donne

( x^m+1₁ = ¹₃(4−x^m₂ )

x^m+1₂ = ¹₂1 +x^m+1₂ (9)

En partant de x⁰₁ =x⁰₂ = 0, on obtient les résultats à 10⁻⁵ prés







m= 1, m = 2, ...., m= 10 x¹₁ = 1,33333, ...., x¹⁰₁ = 1,33333 x¹₂ = 1,16667, ...., x¹⁰₂ = 1.00000

(10)

Les deux méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel sont convergentes.

Exercice 2

On considère le système d’equations linèaires







4x₁−x₂ = 6

−x₁+ 4x₂−x₃ = 4

−x₂+ 4x₃ = 6

(11) 1. Résoudre le système par la méthode de Gauss.

2. Montrer que les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel sont convergentes.

3. En utilisant la méthode de Jacobi avec x⁰ = (0,0,0), calculer les cinq premiers itéra- tions.

4. Reprendre la question précédente avec la méthode de Gauss-Seidel.

Solution 1/ La solution par la mèthode de Gauss est







x₁ = 2 x₂ = 2 x₃ = 2

(12) 2/ La matrice du système est à diagonale strictement dominante, donc les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel sont convergentes. 3/La méthode de Jacobi donne







x^m+1₁ = ¹₄(6 +x^m₂ ) x^m+1₂ = ¹₄(4 +x^m₁ +x^m₃ ) x^m+1₃ = ¹₄(6 +x^m₂ )

(13)

Pour x⁰ = (0,0,0) on obtient les résultats







m= 1 :x¹₁ = 1.5;m = 5 :x⁵₁ = 1.9921875 x¹₂ = 1;x⁵₂ = 1.984375

x¹₃ = 1.5;x⁵₃ = 1.9921875.

(14)

5/ La méthode de Gauss-Seidel donne







x^m+1₁ = ¹₄(6 +x^m₂ )

x^m+1₂ = ¹₄(4 +x^m+1₁ +x^m₃ ) x^m+1₃ = ¹₄(6 +x^m+1₂ )

(15)

Pour x⁰ = (0,0,0) on obtient les résultats







m= 1 :x¹₁ = 1.500000000;m= 5 :x⁵₁ = 1.999694824 x¹₂ = 1,37500000000;x⁵₂ = 1.999847412

x¹₃ = 1.843750000;x⁵₃ = 1.999961853.

(16) On voit que les deux mèthodes convergent vers la solution et que la méthode de Gauss-Seidel converge plus vite que celle de Jacobi

Exercice 3

En partant de x⁰ = (0,0,0), déterminer les trois premiers itérés obtenus par les méthode de Jacobi et Gauss-Seidel pour le système d’equations linèaires







9x+ 4y+z =−17 x−2y−6z = 14 x+ 6y= 4

(17) Solution La matrice du système est







9 4 1

1 −2 −6

1 6 0







En permutant les lignes deux et trois, on obtient la matrice







9 4 1

1 6 0

1 −2 −6







Cette matrice est à diagonale àstrictement dominante. La méthode de Jacobi donne











x⁰₁ =x⁰₂ =x⁰₃ = 0

x^m+1₁ = ¹₉(−17−4x^m₂ −x^m₃ ) x^m+1₂ = ¹₉(4−x^m₁ )

x^m+1₃ =−¹₆(14−4x^m₁ + 2x^m₂ )

(18)

La méthode de Gauss-Seidel donne











x⁰₁ =x⁰₂ =x⁰₃ = 0

x^m+1₁ = ¹₉(−17−4x^m₂ −x^m₃ ) x^m+1₂ = ¹₉(4−x^m+1₁ )

x^m+1₃ =−¹₆(14−4x^m+1₁ + 2x^m+1₂ )

(19)

Le résultat obtenus par la méthode de Jacobi a 10⁻⁴ prés est







x³₁ =−2.0062 x³₂ = 0.9877 x³₃ =−2.8704

(20) Le résultat obtenus par la méthode de Gauss-Seidel a 10⁻⁴ prés est







x³₁ =−1.999729 x³₂ = 0.99955 x³₃ =−2.9999940

(21) Dans ce cas la méthode Gauss-Seidel converge plus vite que la méthode de Jacobi vers la solution du système.

Exercice 4

On considére les matrices suivantes A=







1 2 −2 1 1 1 2 2 1





 et B =







2 −1 1

2 2 2

−1 −1 2







1. Montrer que ρ(A_J)<1 < ρ(A_GS). Que peut-on en déduire concernant la convergence des méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel ?

2. Montrer que ρ(B_J)> 1> ρ(B_GS). Que peut-on en déduire concernant la convergence des méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel ?

Où M_J la matrice d’itération de Jacobi, M_GS la matrice d’itération de Gauss-Seidel.

Solution

1/Pour la méthode de Jacobi, on a A_J =







0 −2 2

−1 0 −1

−2 −2 0







La seule valeur propre de A_J est 0. Doncρ(A_J) = 0.Pour la méthode de Gauss-Seidel, on a A_GS =







1 0 0

−1 1 0 0 −2 1





×







0 −2 2

0 0 −1

0 0 0





=







0 −2 2

0 2 −3

0 0 2







L’ensemble des valeurs propres sont {0,2} etρ(A_GS) = 2.On voit que ρ(A_J)<1< ρ(A_GS).

La méthode de Jacobi converge alors que celle de Gauss-Seidel diverge. 2/ Pour la matrice B on a les résultats

B_J = 1 2







0 1 −1

−2 0 −2

1 1 0





, B_GS = 1 4







0 2 2

0 −2 0

0 0 −2





, σ(B_J) ={0, i

√5 2 ,−i

√5

2 }, σ(B_GS) ={0,−1 2}, ρ(B_J) =

√5

2 et ρ(B_GS) = 1 2. On voit que

ρ(BJ)>1> ρ(BGS).

Donc ce cas est contrairement au 1/. La méthode de Gauss-Seidel converge alors que celle de Jacobi diverge.

Exercice 5

Soit a ∈R on considére la matrice

A=







1 a a a 1 a a a 1







1. Pour qu’elles valeurs dea A est-elle définie positive ?

2. Pour qu’elles valeurs dea la méthode de Gauss-Seidel est-elle convergente ? 3. Ecrire la matrice J de l’itération de Jacobi.

4. Pour qu’elles valeurs dea la méthode de Jacobi ?

5. Ecrire la matrice L₁ de l’itération de Gauss-Seidel. Calculerρ(L₁).

6. Pour qu’elles valeurs deala méthode de Gauss-Seidel converge-t-elle plus vite que celle de Jacobi ?

Solution

1/On calcul les valeurs propres de A

det(A−λI) = (1−λ)^h(1−λ)²−a²ⁱ−a[a(1−λ)]⇔λ= 1, λ= 1±a√ 2.

Si −

√ 2

2 < a <

√ 2

2 toutes les valeurs propres sont strictement positives et la matrice A est symétrique définie positive. 2/ |a|< 1/2. 3/Cette question est triviale. la matrice d’itération B de la matrice de Jacobi s’écrit B =D⁻¹(E+F), soit

B =







0 −a 0

−a 0 −a

0 −a 0







4/Calculons les valeurs propres de B, c’est-à -dire les racines du polynôme caractéristique de B.

det(B−λI) =λ(−λ²+ 2a²) alors

σ(B) ={0,−a√ 2, a√

2}.

Donc ρ(B) =|a|√

2. la méthode de Jacobi converge si |a|<1/2.

5/ On a

L₁ = (D−E)⁻¹F L₁ =







0 −a 0

0 a² −a 0 −a³ a²







6/

det det(L₁−λI) = −(a²−λ)²−a⁴= 0⇔λ= 0,2a². On a donc ρ(L₁) = 2a² Gauss-Seidel converge si

ρ(L1) = 2a² <1⇔ −√

2/2< a <√ 2/2 On a

ρ(L₁) = (√

2|a|)² = (ρ(B))².

La méthode de Gauss-Seidel converge deux foix plus vite que la méthode de Jacobi.

Des Notes : Proposition :

Une méthode itérative converge si et seulement si le rayon de convergence de la matrice d’itération B vérifie

ρ(B)<1.

Définition

Une matrice est á diagonale strictement dominantes si

|aii|>^X

j6=i

|aij|.

Exemple : Pour n= 3

|a₁₁|>|a₁₂|+|a₁₃|, |a₂₂|>|a₂₁|+|a₂₃| et |a₃₃|>|a₃₁|+|a₃₂|.

Théorème :

SiAest une matrice á diagonale strictement dominante, les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel Sont convergentes.