ECE2 TD n ◦ 5 : Variables al´ eatoires discr` etes
Exercice 1. Calcul de P(X=Y),P(X < Y),P(X > Y)
On consid`erenboˆıtes num´erot´ees de 1 `an(avecn>2). La boˆıtekcontientk boules num´erot´ees de 1 `ak.
On choisit au hasard une boˆıte puis dans cette boˆıte une boule.
SoitX le num´ero de la boˆıte etY le num´ero de la boule.
1. D´eterminer la loi du couple (X, Y).
2. Les variables al´eatoiresX etY sont-elles ind´ependantes ? 3. CalculerP(X =Y) en fonction de la sommeSn = 1 +1
2 +· · ·+ 1 n. 4. D´eterminer la loi deY et l’esp´erance deY.
Exercice 2. Couple de variables al´eatoires discr`etes (Edhec 2007)
On lance une pi`ece ´equilibr´e et on noteZ la variable al´eatoire ´egale au rang du lancer o`u l’on obtient le premier Pile.
Apr`es cette s´erie de lancers, siZ a pris la valeurk (k∈N∗), on remplit une urne dekboules num´erot´ees 1,2, . . . , k, puis on extrait au hasard une boule de cette urne.
On noteX la variable al´eatoire ´egale au num´ero de la boule tir´ee apr`es la proc´edure ci-dessus.
1. ´Etablir la convergence de la s´erie de terme g´en´eral 1 k
1 2
k
(k∈N∗).
2. Rappeler la loi deZ ainsi que son esp´erance et sa variance.
3. (a) Pour tout couple (i, k) deN∗×N∗, d´eterminer la probabilit´eP[Z=k](X =i).
(b) En d´eduire que : ∀i∈N∗, P(X=i) =
+∞
X
k=i
1 k
1 2
k
(c) On admet dans cette question que
+∞
X
i=1 +∞
X
k=i
=
+∞
X
k=1 k
X
i=1
. V´erifier que
+∞
X
i=1
P(X=i) = 1.
4. (a) Montrer que, pour tout entier naturelinon nul, on a : iP(X =i)6 1
2 i−1
(b) En d´eduire queX poss`ede une esp´erance.
(c) Montrer, en admettant qu’il est licite de permuter les symbolesX
comme en 3.(c), queE(X) = 3 2. 5. (a) Utiliser le r´esultat de la question 4.(a) pour montrer queX a un moment d’ordre 2.
(b) ´Etablir alors, toujours en admettant qu’il est licite de permuter les symbolesX
comme en 3.(c), que :
E(X2) = 1 6
+∞
X
k=1
(k+ 1)(2k+ 1) 1
2 k
(c) D´eterminer des r´eelsa,b etc tels que : ∀k∈N∗, (k+ 1)(2k+ 1) =ak(k−1) +bk+c (d) En d´eduire la valeur deE(X2) et v´erifier queV(X) =11
12. Exercice 3. Couple de variables de Bernoulli
X et Y sont deux variables al´eatoires ind´ependantes telles queX ,→ B(p) et Y ,→ B(p0).
D´eterminer la loi des variables al´eatoiresM = max(X, Y),m= min(X, Y),R=XY etS =X+Y. Exercice 4. Min/Max (cas de la loi uniforme)
On consid`erepurnes num´erot´ees de 1 `apcontenant chacunenboules num´erot´ees de 1 `an.
On extrait une boule de chaque urne et on noteXi le num´ero de la boule tir´ee de l’urne num´erot´eei.
On poseY = max
i∈[[1,p]](Xi).
1. D´eterminer la loi deXi et calculer, pour tout entier kde [[1, n]],P(Xi6k).
2. Calculer, pour tout entierkde [[1, n]],P(Y 6k). En d´eduire la loi deY. 3. Montrer queE(Y) =n−
n−1
X
k=1
k n
p
. Simplifier cette expression dans le cas o`up= 2.
4. On suppose dans cette question quep= 2. On poseZ= min(X1, X2).
Montrer queY +Z =X1+X2. En d´eduire l’expression deE(Z).
Exercice 5. Pair/Impair (cas de la loi binomiale)
SoitX une variable al´eatoire suivant la loi binomiale de param`etresnet p.
X a-t-elle plus de chances de prendre une valeur paire ou une valeur impaire ? Exercice 6. Loi d’un couple
On tire simultan´ement trois boules dans une urne en contenant 5 num´erot´ees de 1 `a 5.
On appelleX et Y les variables al´eatoires respectivement ´egales au plus petit et au plus grand num´ero tir´e.
1. D´eterminer la loi conjointe deX etY.
2. En d´eduire les lois marginales. Calculer leur esp´erance et leur variance.
3. Les variables al´eatoiresX etY sont-elles ind´ependantes ? 4. Calculer la covariance deX et Y.
5. D´eterminer la loi deZ =Y −X. Calculer son esp´erance et sa variance.
Exercice 7. Loi d’un couple (bis)
Soit (X, Y) un couple de variables al´eatoires tel que :
X(Ω) ={1,2}, Y(Ω) =N et ∀(i, j)∈ {1,2} ×N, P(X =i, Y =k) = qk 2i 1. En admettant que 0< q <1, d´eterminer le r´eel q.
2. D´eterminer les lois marginales. Calculer l’esp´erance de X.
3. Reconnaˆıtre la loi deY0=Y + 1.
En d´eduire sans calcul queY admet une esp´erance et une variance dont on pr´ecisera la valeur.
4. Montrer queX etY sont ind´ependantes.
5. On poseZ=XY et T =Y /X. CalculerE(Z) etE(T).
6. D´eterminer la covariance de Z etT. 7. D´eterminer la loi deZ.
Exercice 8. Simplification de la covariance
SoientX, Y, Z, T des variables al´eatoires admettant un moment d’ordre 2.
1. D´emontrer la formule : ∀λ, µ∈R, Cov(λX+µY, Z) =λCov(X, Z) +µCov(Y, Z) 2. Pour tous r´eelsa, b, c, d, simplifier Cov(aX+b, cY +d).
3. On suppose queX etZ sont ind´ependantes. De mˆeme pourY etT. Pour tous r´eelsa, b, c, d, simplifier Cov(aX+bY, cZ+dT).
Exercice 9. Simplification du coefficient de corr´elation lin´eaire Soienta, cdeux r´eels non nuls etb, ddeux r´eels quelconques.
SoientX et Y deux variables al´eatoires discr`etes non constantes admettant un moment d’ordre 2.
Exprimerρ(aX+b, cY +d) en fonction deρ(X, Y).
Exercice 10. Une interpr´etation du coefficient de corr´elation lin´eaire
SoientX et Y deux variables al´eatoires discr`etes non constantes admettant un moment d’ordre 2.
1. (a) On consid`ere la fonction f d´efinie surRpar : f(a) =V(aX+Y)
Pr´eciser le signe def(a), puis exprimerf(a) en fonction deV(X),V(Y) et Cov(X, Y).
(b) En d´eduire la formule de Cauchy :
|Cov(X, Y)|6p
V(X)V(Y) 2. (a) D´eduire de la formule de Cauchy que :
−16ρ(X, Y)61 (b) Calculerρ(X, Y) dans le cas o`u Y =aX+b.
(c) On suppose que|ρ(X, Y)|= 1.
Montrer qu’il existe deux r´eels aet btels que Y =aX+b presque sˆurement.
Exercice 11. Loi de Poisson conditionn´ee binomiale
Le nombre de personnes se pr´esentant `a un bureau de poste en une journ´ee est une variable al´eatoireN suivant une loi de Poisson de param`etreλ.
Une personne vient pour poster un envoi avec la probabilit´e p (0 < p < 1), ou pour une autre op´eration (retrait d’argent, gestion d’un compte...) avec la probabilit´eq= 1−p.
On suppose que chaque personne n’effectue qu’une op´eration et qu’elles effectuent ces op´erations ind´ependamment les unes des autres.
On noteX le nombre de personnes qui viennent poster un envoi etY le nombre de personnes qui viennent pour une autre op´eration.
1. Pour tout entierj, d´eterminer la loi deX sachant que l’´ev´enement [N=j] est r´ealis´e.
2. D´eterminer la loi du couple (X, N).
3. En d´eduire la loi deX, son esp´erance et sa variance.
4. D´eterminer la loi deY.
5. Les variables al´eatoiresX etY sont-elles ind´ependantes ? 6. En utilisant la relationX+Y =N, calculer Cov(X, N).
Quel est son signe ? Pouvez-vous l’expliquer ?
7. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire deX et N.
N est-elle une fonction affine deX?
Exercice 12. Somme (cas de la loi g´eom´etrique)
X et Y sont deux variables al´eatoires ind´ependantes telles queX ,→ G(a) et Y ,→ G(b).
1. On suppose que a= b. D´eterminer la loi de X+Y, puis la loi deX sachant que l’´ev´enement [X+Y =n] est r´ealis´e.
2. On suppose quea6=b. D´eterminer la loi deX+Y. Exercice 13. Somme (ne pas confondre)
Dans chacun des cas suivants, d´eterminer la loi deX, deY, deX+Y, ´etudier l’ind´ependance deX etY et d´eterminer la covariance deX etY.
1. Premier cas : On lancenfois une pi`ece ´equilibr´ee.
X (resp.Y) est le nombre de piles (resp. de faces) obtenus au cours desnlancers.
2. Deuxi`eme cas : On lancenfois deux pi`eces ´equilibr´ees.
X (resp.Y) est le nombre de piles obtenus au cours desnlancers de la premi`ere (resp. deuxi`eme) pi`ece.
Dans ce cas, calculer de plusP(X =Y) et P(X < Y).
Exercice 14. Fonctions d’une variable de Bernoulli (HEC 2011)
Soientf une fonction d´efinie surR,xun r´eel ethun r´eel strictement positif.
SoitX une variable al´eatoire suivant la loi de Bernoulli de param`etre 1/2.
On s’int´eresse au coefficient de corr´elation lin´eairerx(h) entre les variables al´eatoireshX et f(hX+x).
1. Rappeler la valeur deE(X) et deV(X). En d´eduire la valeur deE(hX) etV(hX).
2. Montrer queE(f(hX+x)) = 1
2(f(x+h) +f(x)). CalculerV(f(hX+x)) et Cov(hX, f(hX+x)).
3. On suppose quef(x+h)6=f(x). Calculer rx(h). En d´eduire l’existence d’une relation affine entref(hX+x) et hX. Expliciter cette relation en fonction def(x) et f(x+h).
4. V´erifier la validit´e de la relation pr´ec´edente lorsquef(x+h) =f(x).
Exercice 15. Somme de variables al´eatoires de Bernoulli
On consid`ere un sac contenantnjetons rouges etmjetons blancs. On effectuektirages dans ce sac.
Pour 16i6k, on note Xi la variable al´eatoire de Bernoulli qui prend la valeur 1 si lei-i`eme tirage am`ene un jeton rouge, et 0 sinon.
On poseX =
k
X
i=1
Xi.
1. Cas de tirages avec remise.
D´eterminer la loi deX. Donner l’esp´erance et la variance deX. 2. Cas de tirages sans remise.
D´eterminer la loi deX. Quelle formule retrouve-t-on en explicitant l’´egalit´e
k
X
i=1
P(X =i) = 1 ?
Exercice 16. Urne `a cat´egories
Une urne contient des jetons num´erot´es de 1 `as(avecs>2).
Pour tout entiericompris entre 1 et s, il y a une proportionpi de jetons num´erot´esidans l’urne (avec 0< pi<1).
On effectuentirages d’un jeton avec remise dans l’urne.
1. SoitNi la variable al´eatoire ´egale au nombre de jeton n◦iobtenus `a l’issue des ntirages.
D´eterminer, pour tout i∈ {1,2, . . . , s}, la loi deNi. Combien valent
s
X
i=1
pi?
s
X
i=1
Ni? 2. Soit (i, j)∈ {1,2, . . . , s}2 tel quei6=j.
D´eterminer la loi deNi+Nj et sa variance.
En d´eduire que Cov(Ni, Nj) =−npipj.
V´erifier que le coefficient de corr´elation lin´eaire de (Ni, Nj) est bien compris entre−1 et 1.
Dans quel cas vaut-il−1 ? ´Etait-ce pr´evisible ? Exercice 17. Ind´ependance
(Xi)i∈Nest une famille de variables de Bernoulli de mˆeme param`etrep(avec 0< p <1) mutuellement ind´ependantes.
1. On poseYi=Xi×Xi+1. D´eterminer la loi de la variable al´eatoireYi. 2. Calculer l’esp´erance et la variance deSn =
n
X
i=1
Yi.
Exercice 18. Ind´ependance
Soitpetndeux entiers naturels non nuls tels que 26p6n.
On tire une poign´ee de pjetons dans une urne en contenantn, num´erot´es de 1 `a n.
1. Pour toutk compris entre 1 etn, on appelle Xk la variable al´eatoire ´egale `a k si le jeton num´ero k est dans la poign´ee et 0 sinon.
D´eterminer la loi et l’esp´erance deXk.
2. On appelleS la variable al´eatoire ´egale `a la somme des num´eros tir´es.
ExprimerS en fonction des variables Xk et en d´eduireE(S).
3. Soientiet j deux entiers distincts compris entre 1 etn.
Les variables al´eatoiresXi etXj sont-elles ind´ependantes ? Exercice 19. Loi du rang du n-i`eme succ`es
On effectue une suite illimit´ee d’´epreuves identiques et ind´ependantes.
Chaque ´epreuve peut conduire `a deux issues : succ`es (de probabilit´ep) ou ´echec (de probabilit´eq= 1−p).
On note :
• Xk la variable al´eatoire donnant le nombre de succ`es obtenus lors desk premi`eres ´epreuves (k>1).
• Sn la variable al´eatoire donnant le nombre d’´epreuves effectu´ees jusqu’`a l’obtention dun-i`eme succ`es (n>1).
• Ak l’´ev´enement :Lak-i`eme ´epreuve am`ene un succ`es(k>1).
1. On poseY1=S1 et pour toutk>2,Yk =Sk−Sk−1. (a) Que repr´esente la variable al´eatoire Yk?
En d´eduire que les Yk suivent toutes la mˆeme loi et sont ind´ependantes.
(b) ExprimerSn en fonction desYk.
(c) En d´eduire l’existence et la valeur de l’esp´erance et de la variance deSn. 2. (a) D´eterminerSn(Ω).
(b) Soitk∈Sn(Ω). Prouver l’´egalit´e des ´ev´enements [Sn=k] et [Xk−1=n−1]∩Ak. (c) En d´eduire la loi deSn.
(d) Retrouver ce r´esultat dans le cas o`un= 2 par un calcul direct en exprimant [Sn =k] en fonction de certains des ´ev´enementsAk etAk.
3. D´eterminer le coefficient de corr´elation lin´eaire deS1 et de S2.
