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TD A: complexit´e de circuits

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Academic year: 2022

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TD A: complexit´e de circuits

DEA d’Algorithmique – Complexit´e A pr´eparer vers le 14/10/03

1. Prouvez que chaque fonction bool´eenne f : {0,1}

n

→ {0,1} peut ˆetre repr´esent´ee par un circuit

2. Donnez une borne sup pour la taille d’un tel circuit (la meilleure que vous pouvez trouver).

3. Estimez grossi`erement le nombre de circuits de la taille m avec n va- riables.

4. Trouvez le nombre de fonctions bool´eennes f : {0,1}

n

→ {0,1}.

5. Utilisez 3 et 4 pour montrer que certaines fonctions de n variables n´ecessitent au moins 2

n

/(2n) portes dans le circuit qui le calcule (c’est une borne inf!)

6. Montrez que la majorit´e de fonctions de n variables n´ecessitent un grand (> 2

n

/(2n) portes) circuit.

7. Trouvez une famille “naturelle” de fonctions bool´eennes n´ecessitant un assez grand (> n

2

par exemple) nombre de portes dans le circuit (probl`eme ouvert?)

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