ÉCS2
Devoir Libre n
o1
septembre 2016Exercice 1.
Inégalités de Kolmorogov
PartieI. Lorsque f et f ” sont bornées.
Soitf :R→Rde classeC2, avecf etf00 bornées.
On poseM0
déf.= sup
R
|f| etM2 déf.= sup
R
|f00| On veut montrer quef0 est aussi bornée.
1. Par la formule de Taylor avec reste intégrale.
a)Soitx∈Reta >0. Écrire la formule de Taylor entrexet x+a, à l’ordre 1.
b)Écrire alorsf0(x)en fonction def(x+a),f(x)et d’une intégrale faisant apparaître f00.
Majorer pour aboutir à|f0(x)|6 2M0
a +M2a 2 . c) Qu’en déduit-on pourf0?
2. Par la formule de Taylor-Lagrange.
a)Soitx∈Reta >0. Écrire l’égalité de Taylor-Lagrange entrexetx+a, à l’ordre 1.
b)Exprimer alorsf0(x)pour aboutir à|f0(x)|62M0
a +M2a 2 . 3. Une première inégalité.
Quel est le minimum du membre de droite de la majoration précédente lorsquea varie dans] 0 ; +∞[?
En déduire l’inégalité de Kolmogorov M162√
M0M2. oùM1 désigne naturellementsup
R
|f0|.
4. Une amélioration.
a)Soitx∈Reta >0. En écrivant l’inégalité de Taylor-Lagrange entrexetx+a, à l’ordre1, puis entrexetx−atoujours à l’ordre1, montrer que|f0(x)|6 M0
a +M2a 2 . b)En déduire l’inégalité de Kolmogorov(1)
M16√
2M0M2. PartieII. Et à l’ordre supérieur ?
En s’inspirant de la première partie, montrer que, si f : R → R est de classe C3 telle quef etf(3) soient bornées surRrespectivement parM0et M3, on a :
∀x∈R, |f0(x)|6 1
2(9M20M3)1/3. f00 est-elle bornée surR?
(1). Cette égalité est optimale : on peut construire des fonctions pour lesquelles l’égalité a lieu.
Exercice 2.
Pour toutxdeR, on poseG(x) = Z x
0
et2dt.
1. Montrer queGétablit une bijection de classeC∞deRsurR. La bijection réciproqueG−1 est-elle dérivable ?
Pour toutxdeR, on définitf(x)par Z f(x)
x
et2dt= 1.
2. Montrer quef est effectivement définie surR, et qu’elle est dérivable.
3. Montrer que la courbeCf de f admet la droite d’équation y =−xpour axe de symétrie.
4. Montrer queCf admet la droite d’équationy =xpour asymptote en −∞et en +∞et tracer l’allure du graphe def.
Exercice 3.
Dans cet exercice,f désigne une fonction numérique de classeC1 sur[ 0 ; 1 ]véri- fiantf(0) = 0 et06f061.
1. Montrer que Z 1
0
f3(x)dx6 Z 1
0
f(x)dx 2
.
On pourra s’intéresser à la fonctionx7→
Z x
0
f(t)dt 2
− Z x
0
f3(t)dt...
Est-il possible qu’il y ait égalité ? Si oui, pour quelle(s) fonction(s) ? 2. Et avec
Z 1
0
f2(x)dxou Z 1
0
f4(x)dxà la place de Z 1
0
f3(x)dx? Étudier là aussi les éventuels cas d’égalité.
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