L1-MS2 - 2012/2013 - Examen du 15 mai 2013 - Session 1
Examen de Mathématiques pour les Sciences (MS2)
Durée: 3 heures Les documents, les calculatrices, les téléphones, smartphones et tablettes ne sont pas autorisés Le barème est donné à titre indicatif : 7+3+5+5
Exercice 1 : 1. (a) Décomposer en éléments simples surRla fraction rationnelle X4−6 (X+ 2)(X2+ 1). (b) En déduire la valeur de l'intégrale :I =
Z 1
0
x4−6
(x+ 2)(x2+ 1)dx. 2. Préciser le domaine de dénition, puis calculer les primitives suivantes :
(a) Z
ln(x)dx puis Z
ln(x) ln(x2)dx. (Indication : IPP) (b)
Z sinx dx
sin2x − 5. (Indication : règles de Bioche)
Exercice 2 : On veut trouver l'ensembleS des fonctionsy:R→Rqui vérient l'équation diérentielle : (E) y00+ 2y0−3y =xe2x.
1. Si (E0) est l'équation sans second membre attachée à (E), écrire l'équation caractéristique et en déduire l'ensemble S0 des solutionsy0 de (E0).
2. Déterminer l'ensembleS des solutions de (E).
Exercice 3 : Soit f : R2 → R dénie par f(x, y) = x2 + 2xy2. Notons par Gf le graphe de f, déni par Gf ={(x, y, z)∈R3|(x, y)∈R2 etz=f(x, y)}.
1. Tracer dans le plan la courbe de niveauz= 0 pourf. 2. Calculer les dérivées partielles def (notées ∂f
∂x et ∂f
∂y) en un point arbitraire (x, y)∈R2. 3. En déduire l'expression du vecteur gradient def en un tel point (il sera noté gradf(x, y)).
4. Déterminer une équation cartésienne du plan tangent àGf au pointM(1; 1; 3). 5. Déterminer le ou les points critiques de la fonctionf.
6. En étudiantf(−y2, y), montrer que f ne possède pas de minimum local en(0,0). 7. Montrer quef ne possède pas de maximum local en(0,0).
8. Étudier les extrema def.
Exercice 4 : Soientf : [0,1]→Rune fonction continue, strictement croissante sur[0,1],gla fonction réciproque def, (en particulier,∀x∈[0; 1], g(f(x)) =x). On note Gune primitive deg, etF une primitive def.
SoitΦ : [0,1]→Rla fonction dénie par :
∀x∈[0,1], Φ(x) = Z x
0
f(t)dt+ Z f(x)
0
g(t)dt−xf(x).
1. On suppose dans cette question quef est dérivable. Montrer queΦ est dérivable et que Φ0 = 0.
2. Dans la suite on suppose quef est continue, strictement croissante, mais pas nécessairement dérivable. Soit x∈[0,1].
(a) Déterminer lim
h→0
1 h
Z x+h
x
f(t)dt.
(b) Montrer queg est strictement croissante.
(c) Justier l'inégalité(f(x+h)−f(x))x≤Rf(x+h)
f(x) g(t)dt≤(f(x+h)−f(x))(x+h) (d) En déduire l'inégalité suivante 1
h Z x+h
x
f(t)dt−f(x+h)≤ Φ(x+h)−Φ(x)
h ≤ 1
h Z x+h
x
f(t)dt−f(x). (e) En déduire que Φest dérivable en xet calculer sa dérivée.
3. On suppose de plus quef(0) = 0. (a) Montrer que ∀x∈[0,1],
Z x
0
f(t)dt+ Z f(x)
0
g(t)dt=xf(x). (b) Dans le cas oùf(x) = 2√
x, représenter les trois quantités de l'égalité précédente en termes d'aires de trois surfaces deR2 et interpréter l'égalité.
