Fiche n 2. ´ Equations di↵´erentielles d’ordre un non lin´eaire.

IUT Villetaneuse - Universit´e Paris 13

S4 Ann´ee 2015-2016

Fiche n 2. ´ Equations di↵´erentielles d’ordre un non lin´eaire.

Exercice 1.R´esoudre les ´equations di↵´erentielles ci-dessous.

a) y⁰ y= 1 b) y⁰ y=e^x

c) y⁰+y= sin(e^x)

d) (1 +x)y⁰+y= 1 +x, x >0

e) xy⁰ 4y=x⁶e^x f) 4x³y+x⁴y⁰= sin³x

Exercice 2.R´esoudre les probl`emes de Cauchy ci-dessous.

a) x²y⁰+ 2xy= lnx, x >0, y(1) = 2 b) y+xy⁰ =x²+ 3x, x >0, y(2) = 4

c) 2xy⁰+y= 6x, x >0, y(4) = 20 d) x³y⁰+ 3x²y= cosx, x >0, y(⇡) = 0

Exercice 3. R´esoudre l’´equation di↵´erentielle du second ordre xy⁰⁰+ 2y⁰ = 12x² en e↵ectuant le changement de variable u=y⁰.

Exercice 4.Une ´equation deBernoulliest de la forme

y⁰(x) =a(x)y(x) +b(x)y^m(x),

o`u mest un r´e´el non nul, etaetb sont des fonctions continues. En supposant quey ne s’annule pas, on pose z(x) =y ^m+1(x).

1. Montrer quez v´erifie l’´equation di↵´erentielle lin´eaire de degr´e 1 suivante : z⁰(x) = (m 1)(a(x)z(x) +b(x)).

2. R´esoudre les ´equations di↵´erentielles ci-dessous.

a) xy⁰+y= xy² b) y⁰+_x²y=^y_x³2

Exercice 5.On lˆache un objet de massemsans vitesse initiale. On suppose que que la r´esistance de l’air est proportionnelle `a la vitesse de l’objet. Sis(t) est la distance parcourue par l’objet apr`estsecondes, alors la vitesse estv=s⁰(t) et l’acc´el´eration est a=v⁰(t). Si g est l’acc´el´eration due `a la gravit´e, alors la force ext´erieure qui s’exerce sur l’objet estmg cv, o`u c est une constante positive. La seconde loi de Newton s’´enonce alors comme suit :

m v⁰(t) =mg cv(t).

1. R´esoudre cette ´equation lin´eaire et montrer que

v(t) =mg c

⇣1 e ^ct/m⌘ . 2. Quelle est la vitesse limite ?

3. Calculer la distance parcourue par l’objet apr`est secondes.

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